如何使用導數研究函數的性質

李翔云

吉林省長春市農安實驗中學

如何使用導數研究函數的性質

李翔云

吉林省長春市農安實驗中學

函數作為當今數學高考的熱點，也是高中生數學學習的難點之一，在新課程學習和高三數學復習中都備受關注。而如何開展變式教學，則是函數性質研究中的重點所在。教學過程主要是通過數學問題來創設問題情境，從根本上激發學生進行學習、探討，感受不同背景下函數問題的本質，利用對函數零點典型問題加以求解，從而讓學生形成相應的數學技能，實施變式教學。本文就如何通過導數來研究函數性質展開論述。

導數；函數性質

隨著新課程標準的提出和推廣，高中數學教學方法也開始實現不斷創新和改進。“變式教學”作為當前運用較為普遍的一種方法，之前人們都將變式教學劃分成過程性和概念性兩種，但是，隨著教學思想的不斷改進，如今的變式教學開始分為原理和概念、數學技能、數學方法等幾種[1]。對于高中生來說，變式教學比較注重讓教師有意識、有目的地引導學生從“變化”現象探究到“不變”的本質，協助學生對所學的知識進行融會貫通，讓學生在變化的知識點鐘領略到教學的魅力所在，體會到高中數學知識點的魅力所在。從最近幾年高考數學例題中不難發現，通過導數求解函數屬于熱點。本文將問題作為導引，在求解函數零點探究中開展變式教學，讓學生能夠更加適時地總結、歸納規律，感受到數學知識的認知結構。

一、通過問題導引來領會問題本質

數學問題求解作為數學學習的主要活動之一，也是學生對定理、概念繼續學習的過程，而問題解決過程其實在一定程度上就是知識點之間的聯系和生成，知識結構之間的生成，要想成功的解決各種數學問題，就要能夠利用充分的數學知識和知識體系。教師在教學期間要能夠善于創設各種情境，解釋數學知識點之間的內在邏輯關系、本質特征，協助學生在探究問題過程中依托自己的思維來深刻理解各種知識點，體會到問題的本質[2]。

例如2012年天津文科高考題：

函數f（x）=（1/3）x3+1-（a/2）x2-ax-a（a＞0,x∈R）

函數f（x）在區間（-2,0）內有兩個零點，求a的取值范圍。

設函數f（x）=x3-（9/2）x2+6x-a，若f（x）=0有且僅有一個實根，求a的取值范圍。

已知函數y=x3-3x+c的圖像和x軸有兩個公共點，則c為多少。

上面三個問題都是將三次函數作為背景，從方程實根、函數零點、圖像交點等知識點入手來求得相應的取值，從表層來分析，似乎是三個不同的題目，為了能夠對問題的背景加以分析，新課程中學教材對函數零點給予全新的定義，例如函數y=f（x）（x∈D），使f（x）=0的實數x就是函數y=f（x）（x∈D）零點。

從定義中不難得到函數y=f（x）的零點所對應的就是方程f（x）=0實數根，即函數y=f（x）的圖像與x軸相交的橫坐標。通過進一步研究不難發現函數y=f（x）有零點，方程f（x）=0。從上述解析中不難發現三個問題能夠互相等價轉化，也就是說三個問題的實質一樣。將函數作為背景來考察方程實根分布、零點、圖像交點等問題，這也是教學過程中價值較高的問題，只有綜合對解題規律進行探討，并將其作為突破，才能夠獲得更大的進展。

二、探討典型，形成技巧

函數零點作為新課程標準新增加的內容，在對簡單函數零點進行求解時，可以通過二分法、定義來實現，也可以通過零點存在、函數圖象等定理來判斷相關狀況[3]。針對三次多項式函數、含有超越函數式的零點求解問題而言，其相對復雜，通過一般方法難以解決，要能夠綜合利用多種方式才能夠得以解決。

例如求方程x3-6x2+9x-10=0的實跟個數過程中，若直接對方程進行求解存在較大的難度，可以在同一坐標中畫出y=x3和y= 6x2-9x+10，并觀察交點情況，判斷原方程的實根個數，通過導數來進行研究，在推廣價值更加明顯。

設y=x3-6x2=9x-10，求導數，得到y’=3x2-12x，令y’=0，從而得到x1=1，x2=3。

解答該題的主要啟示為通過求解函數導數，來對其極值、單調性展開研究，利用等價轉化、數形結合等方式來確定函數圖象和x軸的交點情況，明確原方程根情況，從而為同類問題解決提供指導和依據。

三、主要考點歸納總結

函數作為高中數學主干知識，其衍生概念和相關概念較多，函數思想在高中數學不同板塊知識中的應用也相對廣泛。所以，高考理科函數考點相對較多，考查的形式也較為多樣化。2015年高考借助不同的題型來考查函數性質、概念、圖像、初等函數等，函數模型和應用等。

首先是對函數的概念、性質進行考察，函數概念和性質作為歷年來高考的重點考查對象，包括函數定義域、值域、單調性、奇偶性，有時也需要結合其他知識來考查函數性質。

其次，考查基本初等函數，初等函數的基礎為對數函數，也是函數研究過程中典型的對象。高考理科數學則是通過對基本初等函數的性質和應用加以考察，分析學生應用知識解決相關問題的能力。

最后考查的是函數和方程。函數和方程思想作為當前高中生需要掌握的主要函數思想，高考中獎函數作為零點、方程根存在的問題為主要的考查點，重點考察函數和方程之間的關系，利用相對應的函數性質和圖像來解決問題，也是高考的重點考察。

結語

總而言之，高三學生的經驗積累和知識結構相對完善，其思維水平也逐漸綜合化，能夠從不同側面、不同角度來思考問題[4]。在備考期間，教師可以將適當問題作為研究背景，激發學生從多方位、多角度來探究問題，加強對問題的理解程度，并且在解題過程中善于將完成的題目進行反思，理清問題的解決方法，對解題思路進行優化，提升學生的綜合解題素質，培養其創新能力和應變能力，讓他們在高考數學中取得優異的成績。

[1]劉君,陳慶文.“利用導數求函數單調性”的教學設計[J].才智, 2014,13:169.

[2]貝淑坤,朱路進,劉春平.利用導數求反三角函數的解析式[J].教育教學論壇,2014,28:94-95.

[3]林順來,楊朝熙.初等函數值域（最值）的導數求法[J].福建教育學院學報,2015,02:55-58.

[4]羅寶華,顧艷紅.一類形如f（x）|g（x）|函數的導數求法[J].科教文匯（下旬刊）,2012,10:85.