中美小學(xué)數(shù)學(xué)教材平均數(shù)概念比較研究

吳駿++丁雪艷

平均數(shù)是小學(xué)統(tǒng)計內(nèi)容中的重要概念，在教學(xué)中備受關(guān)注。在我國人教實驗版教材中，平均數(shù)的內(nèi)容安排在三年級下冊，2011版課程標(biāo)準(zhǔn)頒布后，修訂版教材安排在四年級下冊。美國加州小學(xué)數(shù)學(xué)教材中（California Mathematics），平均數(shù)內(nèi)容安排在五年級和六年級。為了更好地了解兩國小學(xué)數(shù)學(xué)教材平均數(shù)內(nèi)容的編排，本文選擇我國人教修訂版和美國加州版小學(xué)數(shù)學(xué)教材對平均數(shù)概念進(jìn)行比較，以期對我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有所啟示。

一、兩國教材平均數(shù)概念的比較

1.平均數(shù)的引入。

兩國教材都采用問題情境引入平均數(shù)。我國教材給出一個小隊中四個小朋友收集的礦泉水瓶數(shù)量分別為14、12、11、15，問平均每人收集了多少個？教材中通過把數(shù)量較多的14瓶分1瓶到12瓶，15瓶分2瓶到11瓶，直觀看出平均每人收集了13瓶。也就相當(dāng)于，把該小隊收集的礦泉水瓶平均分成4份，即（14+12+11+15）÷4=52÷4=13。

美國加州五年級教材中，把五天降雪的厚度用立方體直觀地表示出來（如下圖），要求學(xué)生動手移動立方體，使得每堆立方體的數(shù)量相同，并回答下面兩個問題：

問題一：這五天平均每天降雪的厚度是多少？你是怎樣移動立方體得出結(jié)果的？

問題二：如果第六天的降雪厚度是 9 英尺，那么這六天平均每天降雪的厚度又是多少？

圖1 五天降雪的厚度

美國教材更強調(diào)學(xué)生的動手操作（Hands-on Mini Lab），首先采用“移多補少”的方法直觀引入平均數(shù)，之后再給出平均數(shù)的定義：一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是這組數(shù)據(jù)之和除以數(shù)據(jù)個數(shù)。最后，解答五天降雪的平均厚度是：（4+3+5+1+2）÷5=3。我國教材利用生活情境引入平均數(shù)，但沒有給出平均數(shù)的定義，而是通過以境會意，自己理解平均數(shù)的意蘊。

2.平均數(shù)的計算。

我國教材除了上述計算礦泉水瓶的平均數(shù)外，還給出了另外一個情境問題：男生和女生踢毽比賽，男生5人，女生4人，在兩隊人數(shù)不等的情況下，需要用平均數(shù)表示各隊的成績才公平。這個問題給出了平均數(shù)的計算方法，即數(shù)據(jù)之和除以個數(shù)，此外，還強調(diào)了平均數(shù)的使用條件。

美國教材對于如何求平均數(shù)，明確給出了兩種方法：第一種方法采用“移多補少”的圖示法，見下圖；第二種方法采用定義法。

圖2 移多補少圖示法

由此可見，美國教材更強調(diào)平均數(shù)的直觀計算方法，與平均數(shù)引入銜接較好。我國教材雖然在引入部分體現(xiàn)了“移多補少”的思想，但沒有明確指出其意蘊，在后續(xù)的計算中也對此重視不夠。

3.平均數(shù)意義的理解。

我國實驗版教材中指出，平均數(shù)能較好地反映一組數(shù)據(jù)的總體情況，但修訂版教材中沒有明確給出平均數(shù)的意義，而是通過后面的練習(xí)和習(xí)題來加強學(xué)生對平均數(shù)概念的理解，這主要表現(xiàn)在以下幾個方面：一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)不一定都等于平均數(shù)；數(shù)據(jù)可能大于平均數(shù)，也可能小于平均數(shù)；兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大小并不代表這兩組數(shù)據(jù)中單個數(shù)據(jù)的大小。典型問題如下：一個水池的平均水深1.1m，李兵身高1.4m，下去游泳沒有危險，他說的對嗎？

美國教材給出了極端值的概念，即一組數(shù)據(jù)中與其余數(shù)據(jù)差異很大的數(shù)據(jù)，并強調(diào)極端值對平均數(shù)的影響。典型例子如下：周一至周五的最高氣溫分別是80、81、60、77和82（°F），識別這組數(shù)據(jù)的極端值，求出有極端值和無極端值時的平均數(shù)，說明極端值是如何影響平均數(shù)的。通過比較看出，60相對很小，是極端值。含有極端值的平均數(shù)是：（80+81+60+77+82）÷5=76，不含極端值的平均數(shù)是：（80+81+77+82）÷4=80。因此，含有極端值的平均數(shù)除一個數(shù)據(jù)之外，小于其余的所有數(shù)據(jù)；不含極端值的平均數(shù)能更好地代表這組數(shù)據(jù)。

可見，兩國教材對平均數(shù)意義的編排采用了不同的途徑。美國教材借助于極端值來強化平均數(shù)的意義。平均數(shù)對極端值比較敏感，而中位數(shù)比平均數(shù)更穩(wěn)健（穩(wěn)健性用于描述對極端值的不敏感性）。我國小學(xué)教材通過設(shè)置練習(xí)題來加強對平均數(shù)意義的理解，在修訂版小學(xué)教材中沒有中位數(shù)的概念，直至八年級學(xué)習(xí)中位數(shù)時才出現(xiàn)極端值。

4.平均數(shù)與其他概念的聯(lián)系。

我國實驗版教材五年級上冊安排中位數(shù)內(nèi)容，五年級下冊是眾數(shù)內(nèi)容，修訂版教材刪去了這兩部分，直至八年級才學(xué)習(xí)加權(quán)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，因此，我國教材中平均數(shù)概念是孤立的，與其他概念割裂開，沒有形成集中趨勢的一個整體。美國小學(xué)數(shù)學(xué)五年級教材在學(xué)習(xí)了平均數(shù)這一章之后，緊接著下一章學(xué)習(xí)中位數(shù)、眾數(shù)和極值，并在六年級學(xué)習(xí)“集中趨勢的統(tǒng)計量”。在這部分，教材復(fù)習(xí)了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的計算，概述了三個統(tǒng)計量特點、適用范圍，以及在不同情境中的選擇使用。可見，美國教材把集中趨勢的三個統(tǒng)計量作為一個整體學(xué)習(xí)，能夠更深刻理解平均數(shù)概念。

典型例題：某班學(xué)生一次數(shù)學(xué)考試的分?jǐn)?shù)如圖所示，問平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)中哪個最能代表這次考試的成績？通過計算得到，平均數(shù)為83，中位數(shù)81.5，眾數(shù)89，因此，平均數(shù)或者中位數(shù)都能代表這次考試學(xué)生的成績。

圖3 某班學(xué)生數(shù)學(xué)考試分?jǐn)?shù)統(tǒng)計

二、對我國小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

1.滲透“移多補少”的思想。

我國《九章算術(shù)》中提出了“減多益少”的思想，如方田章第6題：今有三分之一，三分之二，四分之三。問：減多益少，各幾何而平？該題采用的方法稱為平分術(shù)，即當(dāng)各個分?jǐn)?shù)參差不齊時，為使它們齊等，可減那個分?jǐn)?shù)所多的部分，增益這個分?jǐn)?shù)所少的部分。

蔡金法考查學(xué)生對平均數(shù)概念理解時，經(jīng)常使用一個帽子平均數(shù)問題：一商店出售帽子，下圖列出了該商店在前三個星期售出的帽子數(shù)。這家商店在第四個星期應(yīng)該賣掉多少頂帽子，才能使售出帽子的平均數(shù)為7？

圖4 帽子平均數(shù)問題

這是一道考查學(xué)生對平均數(shù)概念理解的典型題目，要求學(xué)生根據(jù)圖表中已知的前三個數(shù)字和四個數(shù)字的平均數(shù)，求出第四個未知的數(shù)。為了解決這個問題，學(xué)生不能直接使用“把它們相加然后相除”的求平均數(shù)的運算法則。對該問題的正確解答要求對運算法則有一個靈活的、可逆的運用，必須憑借對平均數(shù)概念的理解來解答這道題。

蔡金法通過對中美學(xué)生解答該題的研究發(fā)現(xiàn)，中國學(xué)生采用代數(shù)方法的人數(shù)較多，而采用“移多補少”圖形表征的方法則比美國學(xué)生少，究其原因，可能與我們的教材編寫有一定的關(guān)系。因此，我國平均數(shù)概念教學(xué)中，教師要明確提出“移多補少”的思想方法，并在具體情境中運用。

2.理解平均數(shù)的代表性。

在歷史上，平均數(shù)首先是作為數(shù)據(jù)的代表出現(xiàn)。公元4世紀(jì)，在古印度有一個估計果樹上樹葉和果實數(shù)目的故事：

一棵枝葉茂盛的大樹長有兩條大的樹枝，Rtuparna需要估計這兩條樹枝上樹葉和果實的數(shù)目。他首先估計了根部的一條細(xì)枝上樹葉和果實的數(shù)目，然后乘以樹枝上所有細(xì)枝的數(shù)目，得到估計值為2095。經(jīng)過一夜的計數(shù)，證明Rtuparna的估計十分接近實際的數(shù)目。

在這個例子中，盡管我們不能確定Rtuparna如何選擇細(xì)枝，但可以猜想他可能選擇了一條平均大小的細(xì)枝，因為所選的細(xì)枝代表了其余的所有細(xì)枝，其樹葉和果實數(shù)量處于“中間”位置，應(yīng)該不是太多，也不可能太少，否則所得總數(shù)將會變得太大或太小。平均大小的細(xì)枝具有代表性，這可能是算術(shù)平均數(shù)的直覺使用即選擇枝條上樹葉和果實數(shù)量的一個代表值，再乘以枝條的數(shù)目，便得總數(shù)。這個例子啟發(fā)我們，教師在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生對平均數(shù)的直覺能力，只有在學(xué)生已經(jīng)發(fā)展了代表性的思想之后，才教給他們平均數(shù)的計算方法，而不是讓學(xué)生掌握了平均數(shù)的計算公式以后，再來理解平均數(shù)的代表性。

平均數(shù)重要的不是它們的定義和作為代數(shù)公式的運算程序，而是它們所包含的統(tǒng)計意義。我國教材中淡化平均數(shù)的定義，注重對平均數(shù)意義的理解，但忽視了平均數(shù)作為數(shù)據(jù)代表的認(rèn)識，教材中僅從微觀上讓學(xué)生理解平均數(shù)的意義，而缺乏宏觀認(rèn)識，由于沒有引入中位數(shù)和眾數(shù)的概念，因此平均數(shù)的理解是不完整的，在這種情況下，在教學(xué)中讓學(xué)生知道平均數(shù)是一組數(shù)據(jù)的代表不可或缺。

◇責(zé)任編輯：徐新亮◇

xinliang1314@sina.com