數學極限思想求解物理選擇題

李旭棟

數學不僅是解決物理問題的工具，數學思維方法也是物理學的一種重要的研究方法。近幾年高考物理試題對數學能力的要求不斷提高，采用常規思維方法，涉及到的數學運算量大且過程復雜。選擇題不同于其他題型，有時對結果的得出，不需要很嚴密的計算，只要能夠大致地了解并弄清楚結果的范圍或變化趨勢就行了。因此，在做選擇題時，合理采用極限法可使問題求解變得簡單。

極限法就是極限思維方法。物理現象的產生、存在和變化，由于涉及的影響因素較多、面較廣、變化過程較復雜，從而使問題難以求解。如果我們將問題推廣到極限狀態和極限條件下進行分析研究，并以此作出科學的推理分析，從而得出判斷或導出一般結論。極限法在進行某些物理過程的分析時，具有獨特的作用，恰當應用極限法能提高解題效率，使問題化難為易，化繁為簡。如下例：

例1：如圖，一不可伸長的輕質細繩跨過定滑輪后，兩端分別懸掛質量為和的物體A和B.若滑輪有一定大小，質量為且分布均勻，滑輪轉動時與繩之間無相對滑動，不計滑輪與軸之間的摩擦.設細繩對A和B的拉力大小分別為和，已知下列四個關于的表達式中有一個是正確的.請你根據所學的物理知識，通過一定的分析，判斷正確的表達式是（ ）

由于在高中階段所學滑輪為輕質滑輪（不考慮質量），而本題中滑輪質量不能忽略，因此用高中階段通常的方法無法求解，但如果采用極限法，即令滑輪質量為零，由牛頓第二定律可知：

將帶人題中4個選項，只有C選項與所求T表達式相同，故C正確。

例2：如圖所示，質量為，傾角為的斜面體A靜止在光滑水平地面上，現將一質量為的小滑塊B無初速的放在A的光滑斜面上后，A相對地面的加速度為，重力加速度為。下面給出的四個表達式，其中只有一個是合理的。你可能不會求解A相對地面的加速度，但是你可以通過一定的物理分析，對下列表達式的合理性做出判斷。根據你的判斷，的合理表達式應為 （ ）

正如題中所述，學生很難對A的加速度直接進行求解，但如果采用極限法則本題可以很容易找到正確答案。對的質量進行極限討論：

當時，可以認為將保持靜止，則；

當時，可以認為將做自由落體運動，即，此時A在水平面上勻加速運動。令B在時間內下落高度為，對B有：

；對A通過作圖分析可知在時間內在水平方向通過的位移，又有牛頓第二定律得

聯立解得。將上述兩種結果分別帶入驗證，可得正確選項為C。

在前面的例題中，是通過對物塊質量分別作極端假設，有時我們也可根據題中所給的物理情景，對動摩擦因素作出假設.

例3：物體A在傾角為的斜面上運動，如圖所示。若初速度為，它與斜面間的動摩擦因數為，在相同的情況下，A上滑和下滑的加速度大小之比為 （ ）

本題如采用常規方法，則應先對A進行受力分析，再用牛頓第二定律分別求出上滑、下滑的加速度表達式，最后求出比值，得出答案（解略）。這樣做費時易錯，若取為參變量，令其為最小值，即。然后進行極端分析，在的情況下，A上滑、下滑加速度大小應相等為，二者之比等于1。把此極端值帶入所給選項中，發現ACD均不符合要求，則答案為B。

應用這種方法通常是對題中所給的某些物理量進行極限值假設，有時也可用特殊值進行分析。如：

例4：如圖所示，一輕繩一端固定在O點，另一端拴著一個小球，提起小球使輕繩水平，然后無初速釋放小球，不計空氣阻力，小球在運動至輕繩達豎直位置的過程中，小球重力的瞬時功率變化情況是 （ ）

A.一直增大 B.一直減少

C.先增大后減小 D.先減少后增大

要求小球在運動過程中重力的瞬時功率的變化情況，可以先將任一時刻重力的瞬時功率的表達式寫出來，如圖所示有：，在下落過程中，逐漸增大，而卻逐漸減小，即是逐漸減小的，因此無法判斷的變化情況。本題沒有要求定量計算，所以如果采用極限分析法，則很容易得出結論。即在最高點時，因為，因此；小球在最低點時，達到最大，但因為其方向與輕繩垂直，速度的方向也垂直于重力，故P也等于0。因此，在運動中，小球在豎直方向的速度分量不為0，則P不為0，故其變化情況只能是先增大，后減小，答案為C。

極限法不僅在力學問題中經常應用，在處理電磁學部分的問題時，只要抓住其極限條件，同樣能容易而迅速地運用極限思維來求解。如：

例5：如圖1所示，半徑為R的均勻帶電圓形平板，單位面積帶電量為，其軸線上任意一點P（坐標為x）的電場強度可以由庫侖定律和電場強度的疊加原理求出：

方向沿x軸。現考慮單位面積帶電量為的無限大均勻帶電平板，從其中間挖去一半徑為r的圓板，如圖2所示。則圓孔軸線上任意一點Q（坐標為x）的電場強度為 （ ）

本題如用初等數學無法作答，但如果采用極限法，即令圖1中的R趨近于無窮大，令圖2中的r趨近于零，可分別得到無限大的均勻帶電平面，那么兩個平面的電場強度表達式也應完全相同，則很容易得出正確答案為A。

例6：如圖所示電路，電源內阻不可忽略，，.當電鍵扳到位置1時，電壓表示數為；當電鍵扳到位置2時，電壓表示數可能是（ ）

本題沒有給出電源的電動勢，也沒有給出電源的內阻，因此無法得出開關扳到位置2時電壓表的讀數究竟有多大，但我們可以用極限分析的方法來確定電壓表的讀數范圍，由題意可得：

由此可見，的取值范圍為，對照選項可得答案為BC。

例7：如圖所示，磁感應強度為B的勻強磁場有理想界面，用力將矩形線圈從有邊界的磁場中勻速拉出，在其他條件不變的情況下（ ）

A.速度越大，拉力做功越多

B.線圈邊長L 1 越大，拉力做功越多

C.線圈邊長L 2 越大，拉力做功越多

D.線圈電阻越大，拉力做功越多

以極端情況考慮：若速度極小接近于零，則線圈中幾乎沒有感應電流，就無需克服安培力做功，所以速度越大時拉力做功越多；若極小接近于零，則切割磁感線產生的感應電動勢便接近于零，線圈中同樣幾乎沒有感應電流，也無需克服安培力做功，所以越大時拉力做功越多；若極小接近于零，則將線圈拉出時的位移接近于零，所以越大時拉力做功越多；若線圈電阻趨于無限大，則線圈中幾乎沒有感應電流，亦無需克服安培力做功，所以線圈電阻越大時拉力做功越小，答案為ABC。

必須要說明的是，用極限法解題的關鍵是準確迅速地選出參量，一般原則是：（1）被選參量存在極值，否則不能選；（2）當賦予該參量某一特定值后，不改變題目所給的物理過程或狀態，否則不能選。這就要求學生在平時學習中既要培養使自己具有嚴謹的邏輯推理能力，又要有豐富的想象能力，才能出奇制勝，達到事半功倍的效果。