一節別開生面的數學研究型課

趙平

摘 要：本文給出了在學科課程學習中滲透研究性學習方式的一次嘗試，將接受性學習和研究性學習結合起來，不僅要讓學生掌握知識和技能，而且還要讓他們體驗知識的探究過程和學會探究方法，培養他們的情感、態度與價值觀。

關鍵詞：研究性學習 體驗過程

當今已進入知識經濟和信息化社會，科學技術迅猛發展，日新月異，以科技進步為核心的綜合國力競爭日趨激烈，知識創新已經成為國家發展的重要因素。為了提高我們的綜合國力，必須培養有創新精神和實踐能力的人才，不僅要使學生掌握知識和技能，而且要讓他們體驗知識的探究過程和學會探究方法，還必須培養他們的情感、態度與價值觀。

為此必須改變學生原有的學習方式，在學科課程學習中滲透研究性學習方式，將接受性學習和研究性學習結合起來，提倡學生主動參與、樂于探究、勤于動手，培養收集信息和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析和解決問題的能力以及交流與合作的能力。

在《空間幾何體》一章的學習過程中，我們發現學生對各種多面體的幾何結構有著特別濃厚的興趣，為此特別增加了一節研究型課——“正多面體”。[1]

首先根據所選課的內容及學生已有的認知基礎確定了本節課的教學目標：

1.利用已有的“正多邊形的定義”的認知基礎，定義正多面體，并能利用定義進行判別，知道正多面體的種類。

2.在原有的側面展開和模型制作的基礎上，掌握正多面體的表面展開，并制作正多面體。

3.探索研究正多面體面數、頂點數、棱數之間的關系，掌握研究方法，提高研究意識，體驗研究成功的樂趣。

然后根據要實現的目標，進行了教法與學法的設計：

1.教法設計：創設教學情境——激發創造興趣——利用動態演示——啟發引導探索。

充分利用多媒體輔助課堂教學的特點，多角度、全方位地向學生傳遞教學信息，形象、直觀地突出教學重點，分散難點，環環緊扣，從而優化課堂教學過程，提高教學質量。

2.學法設計：觀察動態演示——呈現思維過程——誘發想象能力——加以分析概括——動手制作模型——參與創作研究。

通過動態展示優美的幾何圖形，激發情感，引入情境，同時，設置疑問，培養學生觀察、想象和邏輯思維能力。學生置身于情境交融、賞心悅目的環境中，學習興趣濃厚，研究欲望強烈，既學到了知識，學會了方法，又陶冶了情操，可謂一舉多得。[2]

最后設計具體教學程序如下：

1.創設情境，激發情感，導入新課

通過屏顯引人入勝的畫面，以帶有啟發性的語言，富于激情的講解，打破舊的教學模式，讓學生一開始就在置身于有創造性的學習氛圍中，自然地進入教學的第二環節——正多面體的定義。

各邊相等各內角也相等的凸多邊形叫做正多邊形：課件展示常見的正多邊形圖片。

平面中有至善至美正多邊形，我們日常生活中還有美輪美奐的正多面體：圖片展示食鹽晶體和明礬晶體的幾何體形狀。

正多邊形的定義使其具有特殊的不能再特殊的性質，請同學們給出正多面體的定義。

2.積極參與，主動討論，啟發引導，歸納概括正多面體定義

培養學生敢于創新的精神和語言表達能力。主要從這樣幾個環節進行：

（1）小組討論，給正多面體下定義。

（2）舉出反例。各棱相等的正三棱柱與各棱相等的正六棱錐夠特殊嗎？

各棱相等的多面體不夠特殊，不是正多面體。

（3）引導學生進行正、反例比較。

各棱相等各面也相等的多面體也不夠特殊，也不是正多面體。

（4）啟發學生歸納概括正確定義。

每個面都是全等的正多邊形，并且從每個頂點出發的棱數都相等的凸多面體叫做正多面體。

（5）應用定義進行判斷，鞏固對定義的理解和掌握。

例1 利用定義說明正方體是正六面體.

例2 各棱都相等的三棱錐是正多面體嗎？正多面體一定是正三棱錐嗎？反之呢？ 圖片顯示正反例。

3.動態演示正多面體，虛實轉化，提高空間想象能力。

首先，給出正多面體的五種類型的直觀圖，通過實體到直觀圖的轉化，充分展示正多面體的美麗，培養學生審美意識。然后，在學生已熟練地掌握了多面體展開方法的基礎上，利用多媒體課件的優勢，動態展開正多面體，提高學生的空間想象能力。

以正三角形為面的正多面體有：正四面體，正八面體，正十二面體。

以正方形為面的正多面體有：正六面體。以正五邊形為面的正多面體有：正十二面體。

動態展開各正多面體，其表面展開圖如下：

4.實際操作

學生動手制作五種正多面體的模型，提高實踐能力。當堂制作一到兩個正多面體。

5.數學研究

這是本節課的一個閃光點，用來滲透數學研究的思想和掌握研究的方法，使本節課的學習達到一個高潮。

（1）請同學們觀察手中制作好的正多面體模型，合作完成下列表格的填充：

提出問題：分析、研究各組數據，你發現了什么規律？

正多面體中，面數（F）+頂點數（V）-棱數（E）=2

事實上，這個結論對任何凸多面體都成立——歐拉公式。

（2）組織學生舉例驗證公式的正確性。

（3）應用歐拉公式解決實際問題：

在化學中，近年來出現了這樣一類問題：已知晶體的結構，求解晶體中的原子數、化學鍵數、鍵角等問題，這類問題統稱求解結構要素。解答這類問題須先弄清它們與幾何結構要素：頂點數、棱邊數、面數、角等的關系。必要時需運用數學中的歐拉定理。如：

1.晶體硼的基本結構單元是由硼原子組成的正二十面體，每個頂點都各有一個硼原子，此基本結構是由多少個硼原子構成？（答：由12個硼原子構成）

2.富勒烯是由60個碳原子組成的籠狀分子，其結構如足球，可以認為它是由正二十面體切掉12個頂點形成的三十二面體。問：富勒烯分子中有多少個六元環？多少個五元環？（答：有20個六元環，有12個五元環）

3.四年一屆的足球世界杯牽動著億萬人們的心，小小足球里也有大學問。足球表面由五邊型和六邊型的皮革拼成，請同學們計算一共有多少個這樣的五邊型和六邊型？（答：12塊黑皮子，20塊白皮子）

（附解答：答：把足球看作是多面體，滿足歐拉公式F+V-E=2，其中F，V，E分別表示面，頂點，棱的個數。

設足球表面正五邊形（黑皮子）和正六邊形（白皮子）的面各有x個和y個，那么

面數F=x+y

棱數E=（5x+6y）/2（每條棱由一塊黑皮子和一塊白皮子共用）

頂點數V=（5x+6y）/3（每個頂點由三塊皮子共用）

由歐拉公式，x+y-（5x+6y）/2+（5x+6y）/3=2，

解得x=12。所以，共有12塊黑皮子。

所以，黑皮子一共有12×5=60條棱，這60條棱都是與白皮子縫合在一起的。

對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。

所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的。

那么白皮子就應該一共有60×2=120條邊，120÷6=20

所以共有20塊白皮子。

（或者，每一個六邊形的六條邊都與其它的三個六邊形的三條邊和三個五邊形的三條邊連接；每一個五邊形的五條邊都與其它的五個六邊形的五條邊連接。所以，五邊形的個數x=3y/5。之前求得x=12，所以y=20）

小結與思考：

對所學知識和研究、學習方法的一個總結。

這節課結束后，學生反響很大，一致表示他們非常喜歡上這樣的課，這樣的課讓他們學會了很多學習的方法甚至是數學研究的方法，并且繼續研究的熱情高漲，有的學生利用業余時間查資料，繼續了解歐拉和歐拉公式，還試圖用自己學過的知識證明歐拉公式。（筆者也利用課外研究小組活動時間，和學生一起查資料，對該公式的證明方法作出探究。）我們認為這節課成功的原因，在于及時了解學生學習狀況，從學生的需要出發，將研究性學習和接受性學習成功結合。

可能會有人認為這節課學生研究出什么了，結論是已經存在的。需要這樣大費周折嗎？

研究性學習是學生在教師指導下，自主地發現問題、探究問題、獲得結論的過程。學生通過觀察、研究、查閱資料、獲取信息、動手操作實驗、收集分析和解讀數據、提出假說或猜想、驗證、表達和交流等活動進行探索和研究，從而獲得知識，掌握探究問題的方法和手段。我們認為研究性學習的本質是學習，是用研究的方式進行學習。主要目的是讓學生通過自主參與研究性學習活動，激發他們的好奇心和求知欲，親身經歷問題研究的實踐過程，獲得積極的情感體驗，培養發現問題和解決問題的能力，搜集信息和處理信息的能力，學會分享和合作，培養科學精神。研究性學習強調的是研究的過程，相比之下，研究過程是第一位的，研究成果是第二位的。關鍵是學生是否體驗了研究的過程，是否學會了研究，是否在知識、能力、情感、態度、價值觀等方面有所提高。而我們做到了，這才是我們研究型課要達到的最終目標。

參考文獻

[1]《普通高中數學課程標準》（實驗稿）[M].北京：人民教育出版社，2010（8）2，20.

[2] 應俊峰.《研究型課程》[X].天津教育出版社，2002（4）：15-30.