淺談分類討論思想在一次函數中的應用

摘要：分類討論思想在中學教學中占據一個很重要的地位，一次函數對于解決生活中的實際問題起到重要作用，本篇論文主要論述分類討論思想在一次函數中的應用。本篇論文主要有兩個部分組成：淺談分類討論思想和分來討論思想在一次函數中的具體應用。通過本篇論文，可以看出分類討論思想在數學這一學科里是一種很實用的思想方法；一次函數為解決生活中的實際問題，提高生活質量，促進現代文明發展作出了很大的貢獻；使用分類討論思想能幫助人們學習理解一次函數。

關鍵詞：分類討論思想；一次函數；應用

當前，數學思想和數學思想方法多種多樣。一個好的數學思想能輕松的解決生活中的實際問題，一種好的數學思想方法能便捷的使我們學習理解一個數學思想。本篇論文主要論述分類討論思想和一次函數及分類討論思想在一次函數中的應用。目前國內外論述分類討論思想在一次函數中的應用的論文不勝枚舉，大多都是從函數的概念、性質、圖像、實際應用和解題需求這五個方面分類。首先，分類討論思想是基本數學思想方法之一。它是一種解決生活中的實際問題的邏輯方法。合理地使用分類討論思想，我們可以使繁瑣的問題簡單化，使解決問題的思路更有條理。分類討論思想在教學中的應用實際就是“化整為零，各個擊破”的教學策略。這也是為什么教材每個章節需要分各個小節。同時，分類討論思想應用到數學教學中，有助于提高學生的邏輯性、條理性、概括性，對于培養學生嚴謹的科學態度和邏輯的數學思維有重要意義。使學生掌握分類討論的思想方法有助于提高學生解題能力和分析問題的效績。其次，一次函數是重要的幾類函數之一，合理的利用好一次函數可以便捷的解決生產和生活中的諸多問題。近年來的考綱都有應用書本知識解決實際問題的考點，諸如成本最小化、經濟效益最大化、方案最優化等等。可見掌握函數思想的重要性，因此學生應該學好一次函數。最后，學習一次函數常用到分類討論的思想方法。分類討論思想應用到一次函數中使教學思路更有條理，教學方案更清晰明了。

一、淺談分類討論思想

（一）分類討論思想的起源

大家都知道數學思想方法的兩大源頭分別是中國的《九章算術》和古希臘的《幾何原本》。隨著古今學者的研究發展，數學思想方法已經出現了很多種。分類討論思想方法就是眾多的基本數學思想方法之一。

分類現象自古就存在。遠古時期，人們收集到的食物會分類保存。能長時間保存的和不能長時間保存的、可以播種的和不能播種的植物，能圈養和不能圈養的動物。一個狩獵團體根據體質差異也有分工，行動敏捷的成員負責吸引獵物的注意力，身體壯實的負責對獵物造成傷害，臂力大的負責投擲標槍等等。現在分類現象隨處可見，各種各樣的職業共同推動社會發展，大小不一的零件使機器正常運行。正是因為分類思想，人們有條理的生活著，避免了很多的差錯與混亂現象。分類思想是古老文明的基本思想。

司馬遷編撰的《史記》 [1]卷六十五《孫子吳起列傳第五》曾記載“田忌賽馬”的故事，齊王與田忌賽馬，雙方按馬的速度將馬分為三等，齊王同等次的馬的速度均高于田忌。田忌將馬出場次序換位以下等馬對齊王的上等馬，以上等馬對齊王的中等馬，以中等馬對齊王的下等馬贏得比賽。田忌這種根據對方的馬出場次序而相應的對自己的馬出場次序作出調整的思想方法就是分類討論思想。正是因為這一思想，田忌巧妙地贏得了比賽的勝利。為古代人的智慧史添上了絢麗的一筆。通過這個事例我們知道分類討論思想的重要性，分類討論思想其實與我們的生活息息相關。

現在已經有很多的學者專家都有總結分類思想的含義，在《數學思想方法教學研究導論》的第253頁指出：“分類是基本的邏輯方法之一，數學中的分類是按照數學對象的相同點和差異點，將數學對象區分為不同種類的思想方法。分類以比較為基礎，通過比較識別出數學對象之間的異同點，然后根據相同點將數學對象歸并為較大的類，根據差異點將數學對象劃分為較小的類，從而將數學對象區分為具有一定從屬關系的等級系統。”

隨著數學的發展，分類討論思想方法逐漸演化成數學思想方法的主要思想方法之一。同時，也正使得數學這門學科使得分類思想方法更加地深化與細化。如今，分類討論思想方法已經是中高考試中的常考點。

（二）分類討論思想的概念界定

我們先了解分類討論思想的漢語釋義。“分類”一詞在辭海中的釋義為根據事物的特點分別歸類。“討論”一詞在辭海中的釋義為就某一問題進行商量或辯論。“思想”一詞在辭海中指思維活動的結果，屬于理性認識。從分類討論思想的漢語釋義可以知道分類討論思想先分別歸類再逐一商量討論。

分類思想和分類討論有什么區別與聯系呢？按從屬關系劃分，分類討論是一個種概念，分類思想是一個屬概念。分類思想并不專屬于數學領域，它是人們早期認識世界面貌、改善生活條件的一種思維形態，即把復雜的事物依據其種類、性質或品級進行劃分或歸類。分類討論是分類思想實際應用的一種具體形式，它要求把事物進行劃分歸類，把分類的若干個種類進行逐一的研究討論，最后把分類的若干討論結果歸納總結。

在數學領域各學者對于分類討論思想方法的概念界定幾乎大同小異，對于分類討論思想方法的概念幾乎不存在爭議。顧泠沅教授所著的《數學思想方法》有提到分類討論這一思想方法。在解答某些數學問題時，有時會遇到多種情況，需要對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合得解，這就是分類討論思想，同時也是一種重要的解題策略，它體現化整為零、集零為整的思想與歸類整理的方法。有關分類討論思想的數學問題具有明顯的邏輯性、綜合性、探索性，能訓練人的思維條理性和概括性，有關分類討論思想的數學問題是比較繁瑣復雜的，通常安排在解答題板塊，所占分值比較高。所以在高考試題中占有重要的位置。

（三）分類討論思想的分類原則與方法

分類討論思想的分類原則：（1）所要分類的對象必須是確定的（2）分類出的各級內容必須是完整的，不能犯遺漏某一級這種錯誤（3）應該按同一標準分類（4）各個集域應當是互斥的，不出現重復的集域（5）分類必須逐級進行，不能越級分類。分類討論思想的分類方法：明確分類討論的對象，確定對象的所有內容，明確分類的標準，將對象正確進行分類；逐級進行討論，獲取階段性結果，歸納小結，綜合結論。endprint

三、分類討論思想在一次函數中的應用

分類討論思想在一次函數中的應用主要體現在一次函數的概念、性質、圖像與實際應用這幾個方面。

（一）分類討論思想在一次函數概念方面的應用

如何來辨別一個函數關系是不是一次函數？前面已經給出了一次函數的概念。一般地。形如y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的函數，叫做一次函數（linear function）.當y=kx+b中的k是變量或者x的指數是變量時，該變量取不同的值會有不同的結果，因此就需要是用分類討論的思想方法逐一討論。

那么我們來看這道例題：

例4 已知函數y=（m-5）x2m-1+3x-1，當m為何值時，該函數是一次函數？

分析：根據函數概念，本題應該分為三種情況討論：當m-5=0時，函數是一次函數；當2m-1=1時，函數是一次函數；當2m-1=0時，函數是一次函數。綜上所述，m=5或1或 。

（二）分類討論思想在一次函數性質方面的應用

我們已經知道一次函數具有單調增減性，一次函數的增減性在生活中經常用到。一次函數要么遞增要么遞減，因此又是也需要用到分類討論思想。

例5 一次函數y=kx+b，當2≤ x ≤ 4時，10≤ y ≤ 14。求的值。

分析：此題中一次函數的單調性尚不明確，因此需要分為兩種情況討論：

當函數單調遞增時，即當x=5時，y=10，當x=4時，y=14，因此k=2， b=6

故=3，當函數是單調遞減時，即當x=2時，y=14，當x=4時，y=10，因此k=-2， b=18故=-9。

（三）分類討論在一次函數圖像位置方面的應用

如果一次函數y=kx+b中的k或b不明確那么一次函數圖像在平面直角坐標系中的位置也將不明確，因此很多時候需要用到分類討論思想來解決相關問題。

例6 已知正比例函數y=x和一次函數y=kx+2的函數圖像與x軸圍成了一個面積為1的三角形，求一次函數的解析式。

分析：此題中一次函數的斜率并不明確，因此函數圖像的位置需要分為兩類。因為已經知道兩個函數圖像與x軸圍成的三角形面積是1，且一次函數經過定點（0，2）根據斜率將一次函數分為遞增和遞減兩類：當一次函數單調遞增時，一次函數經過x軸上的點A（-1，0），一次函數解析式為y=2x+2；當一次函數單調遞減時，一次函數經過x軸上的點E（2，0），一次函數的解析式為y=-x+2。所以總結兩類討論，一次函數的解析式為y=2x+2或y=1x+2。作圖如圖3.1和圖3.2。

（四）分類討論在一次函數實際問題方面的應用

一次函數應用到實際問題中已經是常考點，這使數學更貼近生活，培養學生靈活運用知識的能力。而在一些典型題型中常需要用到分類討論思想。

例7 小明準備換電話卡，現在他已經了解了兩種電話卡的套餐。A卡套餐為每月通話不超過100分鐘，則按每分鐘0.2元收費，若每月通話大于100分鐘則超出時長按每分鐘0.16元收費；B卡套餐為每月通話不超過200分鐘按每分鐘0.2元收費，若每月通話超過200分鐘超出時長則按每分鐘0.12元收費。如果小明每月通話 分鐘，請問他該如何選擇套餐最劃算？

分析：此題尚不明確小明每月通話時長，因此需要分三種情況討論：

當0≤ x ≤ 100時，顯然兩種卡消費一樣。

當100≤ x ≤ 200時，A卡有優惠，B卡無優惠，因此選擇A卡。

當x>200時，設A、B兩卡消費分別為y1、y2。A卡消費為y1=0.16x+20，B卡消費為y2=0.12x+40，當y1=y2時，x=500因此又需要分三種情況討論：當x=500時，A、B兩卡消費一樣，當200y1選A卡更劃算，當x>500時，y1>y2選B卡更劃算。

分類討論思想這是數學基本思想方法之一。學生熟練掌握了這一思想方法，將更有邏輯有條理的分析處理問題。一次函數是最基本的函數，它對于解決實際生活生產需要有重要意義。教師在教學一次函數時應當科學的選取適當的教學方法，務必是學生理解掌握一次函數，并將其遷移到實際問題中去。

參考文獻：

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[7]朱成杰，數學思想方法教學研究導論，文匯出版社，2001.

作者簡介：張偉全（1994.07）男，漢，四川省南充市營山縣，本科，學生，數學與應用數學。