兒童數學思考如何深刻與理性起來

劉瑋

思考是兒童數學認知過程中的本質特點，深刻而有理性的思維是人的核心素養之一。但在現實的數學課堂教學中，兒童數學思考的消極性、隨意性和淺表性等現象還不同程度地存在。以《乘加乘減》的教學為例：

教師先出示問題情境：5個魚缸，分別有5條、5條、5條、5條、4條金魚。

師問：孩子們，要想知道5個魚缸共有多少條金魚用什么方法呢？

生1答：加法。

師：怎么加呢？我們今天學的可是乘加乘減啊。

生2答：就是先乘再加。

師問：你說得真好，你能列個式子嗎？

生3答：能。Sx4+4。

師：對的。當我們遇到這樣的題目時，首先要去看有幾個幾，再與另一個數相加減。我們一起來讀一下好嗎？

生齊讀：先算幾個幾，再加減。

從上述教學過程可見，教師圍繞“乘加乘減”的教學任務，把“共有多少條金魚”的問題分解成一個個細碎的問題。在線性的問答中，學生的思維始終被牽引前行，最終在“先乘后加減”的齊讀中完成新知識的學習，而那些在開放情境中“5xS -1”“6x4+0”等有可能出現的思維火花，因為思考空間的封閉而熄滅。其實，教師用線性的思維方式在把一個富有開放性的問題切割成一個個瑣碎的小問題時，也就封閉了兒童發散性思維的空間，有深度和廣度的思維品質就這樣被困厄在思維的窠臼中。

此外，導致問題產生的原因還包括兒童數學思考過程的缺省、數學思考結構的模糊、課堂教學空間的封閉，等等。這些都需要我們學會真正站在兒童的立場，讓兒童從自己的數學現實出發，經歷數學知識“再創造”的過程，在“做”中學，在“問”中學，在“思”中學，不斷幫助兒童的數學思考走向深刻與理性。

由定到變，激活兒童的數學思考

克萊茵說：“數學是一種精神，一種理性精神。”數學的理性精神蘊含著無限的智慧，有的表現著規定的理性，有的表現著變化的理性。[1]數學教學中，我們需要培育學生問題思考的有序性，也要培育學生問題解決的靈活性。從有序的“規定”到看似無序的“變化”，往往能激發學生的認知沖突和解決問題的欲望。學生在這種心求通而不能、口欲言而弗達的“憤悱”之中，思維的火花被點燃，主動積極思考成為可能。

特級教師周衛東在教學《三角形的三邊關系》一課時，出示了這樣的一道探究題：“有兩根小棒，一根是9厘米，一根是7厘米，可以把其中一根小棒剪成兩段，你能將它們圍成三角形嗎？有幾種可能？”

學生探究后回答有4和5、3和6、2和7時，教師又變換問題，你能把這3種情況的圖形畫出來嗎？學生畫出3種圖形。

接著，周衛東又提出變化的條件，“如果考慮小棒的長度是小數，可能有多少種三角形呢？學生的思維開始彌散，得出4.1和4.9、3.1和5.9、2.1和6.9等無限多種可能。

此后，教師再次激發學生在想象的基礎上畫出這些圖形的景象，學生畫出圖示。如圖：

一個又一個變化的問題，激活了學生的數學思維。在這個一層深過一層的追問中，學生在加深對三角形三邊關系理解的同時，更在潛移默化中受到了極限、對應、函數等數學思想方法的浸潤。

也正是因為有了這種不斷逼近數學本質的追問，學生的思維走向了更遠的地方。第二天的數學課上，一個學生用一根筷子和一根橡皮筋演繹了本課教學發展性的精彩，在進一步理解三角形三邊關系的基礎上圖示了橢圓的軌跡運行。如圖：

在這個教學過程中，教師沒有止步于一定的三種邊長為整數的圖形可能，而是在從整數變小數、從數字變圖形的多層次變式中，引導兒童對問題進行積極思考，并在逐步深入的探究活動中，激活兒童的數學思考，引領兒童經歷問題發現、知識發生、思維發展的全過程。即便是在此課教學后的第二天，兒童仍沉浸在探究與思考的氛圍中，從而自然而然地引出了對橢圓軌跡圖示的前認識。從定到變，兒童深化理解的不僅是三角形三邊關系的認識，還多了一回科學精神理性思考的深度體驗。

由點到面，生長兒童的數學思考

以教學《用字母表示數》為例，課一開始，教師通過招領啟事引出“字母可以表示數”，接著順次引導學生展開對“所有的字母都可以表示數、字母可以表示已知的數、字母可以表示未知的數、含有字母的式子可以表示數、含有字母的式子還可以表示數量關系”的探索。從具體的數，到用字母表示數，再到含有字母的代數式，是學生思維從一個個具體的點向知識的面匯聚的過程，也是學生思維從具象向抽象生長的過程。

前孕伏，將抽象的問題具體化

課前環節，教師和學生一起玩撲克24點游戲（A、2、3、4；4、8、10、Q），問學生你們是怎么算m來的。引入環節，出示失物招領啟事，啟發學生思考“A”表示什么、為什么用“A，表示等問題。

招領啟事

本人今天在公園拱橋處撿到一個黑色提包，內有現金A元，請失主到景區派出所認領。

張先生

2016.8.16

這一環節的設計意圖是讓兒童知曉生活中用字母表示數的實踐應用，并在具體情境中理解字母表示數的意義，體會用字母表示數的必要性。

中建構，將零碎的問題系統化

建構1：圍繞A可以表示丟失的金額數，教師拋出問題“A可以表示丟失的金額數，B、C、Y等可不可以？”在討論中學生得出“所有的字母都可表示數”的結論。

建構2：圍繞丟失的金額數，教師又拋出問題“這里的A表示的金額數目，真的沒有人知道嗎？誰知道？誰不知道？”通過討論，學生得出”字母可以表示未知數，也可以表示已知的數”的結論。

建構3：出示探究題：無錫到南昌鐵路全長769千米，一列火車從無錫開往南昌，你能用式子表示行駛了一段路程后剩下的千米數嗎？

已經行駛了60千米，剩下的千米數是769-60；

已經行駛了150千米，剩下的千米數是769-（ ）；

已經行駛了b千米，剩下的千米數是（

）。

在學生說出“剩下的千米數是769-b”時，引導學生歸納出“不僅是字母可以表示數，含有字母的式子也可以表示數”的結論。其中，教師還設計了“769-b”式子中b的取值范圍的討論，蘊含了函數定義域思想的滲透，學生對“符號化”的理解在深入探究中走向主動建構。

后拓展，進一步將“用字母表示數”深度數學化

在此環節，教師先出示果汁分倒的情景圖。如圖：

接著引導學生將實際問題抽象成數學問題，剝離出數量關系，并用字母表示出150-3a-60的等量關系，這一含有字母的等式即是描述客觀現象相等關系的數學模型，亦即方程。此環節的設計既是用字母表示數教學的深化，也是加深列方程解答實際問題的本初體驗，是下一階段列方程解決實際問題教學的鋪墊。

這一課的教學，教師沒有糾結于用字母表示數方法的學習，更多的是轉向對用字母表示數關系的探討。教學中著力于使學生充分感受到符號及符號化的便利，并及早孕伏代數的思想方法，意在消弭中小學數學教學之間的裂隙，加強小學初中兩個學段之間數學教學的銜接。在“字母可以表示數、所有的字母都可以表示數、字母可以表示已知的數、字母也可以表示未知的數、含有字母的式子可以表示數、含有字母的式子還可以表示數量關系”一系列點狀的問題探討中，學生的思維經歷了從具體的數到用字母表示數、再到含有字母的代數式的數學化過程，正是在一次次這樣的經歷中，兒童的數學思考由點到面不斷生長，思維能力不斷提高。

由淺入深，深化兒童的數學思考

柏拉圖說：“我們應該區分兩種不同的存在——經驗的存在和理性的存在。經驗的存在是有缺陷的，理性的存在才是完美的。”可在我們的小學數學教學中，常常見到經驗對理性的干擾和遮蔽現象。以《三角形穩定性》的教學為例，教材上對三角形穩定性的定義，是指三角形在外力的作用下，三角形具有形狀和大小都不易變化的性質，即保持相對穩定的原有狀態。但在筆者所聽的30余節《三角形穩定性》課堂教學中，教師們無一例外地以“看能否拉得動”的經驗來引領學生對三角形穩定性的理解和認知，這種缺乏對數學知識本質探索的教學假象，不斷弱化著兒童數學思考的深刻性和理性。

事實上，如果我們用同樣的木質材料分別制作一個三角形和一個四邊形器具，其相鄰兩邊相交處是可動的。先來引導學生拉扯三角形學具，學生容易從中得到三角形穩定性的理解。接著讓學生去拉四邊形學具，孩子們由“四邊形可以拉動”得出“四邊形不具有穩定性”的認知理解。一般來講，課至此處已近目標，但就對知識的理性思考來講，尚遠遠不及。我在教學中，又帶領學生進行了深入的探究。

在孩子們操作感知兩邊相交點可以動的三角形和四邊形學具后，我又出示了用鐵質材料焊接兩邊相交處不可以動的四邊形學具，再讓孩子們動手拉。

師：這個四邊形拉得動嗎？

生：拉不動。

師：拉不動，難道四邊形也具有穩定性？

生：（疑惑不解）為什么有的拉得動，有的拉不動呢？

師：看來拉得動和拉不動并不是判斷某種圖形是否具有穩定性的根據。孩子們，我們換一種方式去探討“三角形的穩定性”好嗎？

生：什么方式？

師：請你們先用老師給的學具小棒擺一個三角形和一個四邊形，然后用同樣的小棒再去擺一擺，最后我們看一看、比一比，同樣的小棒能不能擺出不同形狀的三角形和四邊形？

在三輪操作中，孩子們對“三角形穩定性”的認識由淺人深。其中，他們不斷去除三角形穩定性的非本質認識，漸趨接近對三角形穩定性的本質理解。在無疑處生疑，在疑生處探疑。通過操作、比較、交流，孩子們終于明白三角形穩定性的本質指的是形狀和大小的唯一。三輪操作，孩子們經歷了對規律的初步認知、對規律的懷疑、對規律本質的再認識3個階段，此中的認知沖突、操作體驗，不斷地促進兒童數學思考深刻與理性的形成。作為教師，我們需要走出自我營造的經驗世界，及時發現舊有經驗對兒童數學思考的干擾與束縛，由淺入深，突破表層，引領兒童發現數學本質，把兒童帶人深刻而又理性思考的數學美好世界中。

由學到做，優化兒童的數學思考

德國哲學家伽達默爾曾說過，視界是理解的起點、角度和可能的前景。兒童的數學視界亦是如此，它總是在不斷的變化與形成過程中和周遭發生著聯系與交融。實踐告訴我們，兒童數學學習的過程一頭連著個體內在已有的數學現實，一頭又連著兒童外在的可能觸摸到的視界。在兒童數學學習過程中，如果兒童處于憑借自己思考已不能解決遭遇的問題時，我們就需要引領兒童在動手實踐中去“做數學”，從而實現動手實踐與數學思考共生的“視界融合”。[2] 在人教版五年級《數學》下冊的第37頁，有這樣一道題目：“茶廠工人要將長、寬各為20cm，高為10cm的長方體荼盒裝入棱長為30cm的正方體紙箱，最多能裝幾盒？怎樣才能裝下？”

在實際教學中，學生從已有的數學現實出發，遭遇了問題解決的困境。

師：孩子們，這道題我們怎么去解答呢？

生甲：先算出大紙箱的體積，再算出茶盒的體積，兩者相除。列式為30x30x30÷（ 20×20×10）=6……3000，所以說大約能裝6盒。

生乙：我也是這樣想的，但我想不出來怎么把6個荼盒放進去。也許，6盒是放不進去的。

生丙：只能放5個茶盒。我是用畫圖的方法，6盒放不下。

師：同學們的意見不相同嗎！用計算的方法可以知道放6盒還有剩余的空間，但是有的同學用畫圖的方法，好像又放不進去。究竟能放幾個荼盒？有人說放5個茶盒，可大紙箱27000立方厘米，5個茶盒共20000立方厘米，余下7000立方厘米，難道真的放不下一個4000立方厘米的茶盒了嗎？

眾生爭執不休。

可以說，此時的孩子正在自己已有的數學現實里思考，即便是對通過計算得出的答案也開始了懷疑。當空間想象式的思考不能解決面臨的問題時，我們需要把孩子的思維引入另外一個視界，即實踐視界。

師：孩子們，對于這道題，大家的意見不能統一，那我們就動手研究。今天回家的作業就是每人做一個與題目中相同尺寸的紙箱和茶盒，然后親手擺一擺，看一看空間能放幾個這樣的茶盒。

第二天的數學課上，教師讓孩子們交流大家的發現。孩子們通過實踐操作，得到了“紙箱最多可放6個茶盒”的結論。

當兒童的數學思考遭遇阻礙時，教師需要相機轉變教學方式，把學生從自我內在的視界引向現實外在的視界，在開放的數學活動實踐中引領兒童開展積極而有價值的思維探索。[3]唯有如此，兒童數學才能走出狹隘、封閉、守舊的教學范式，從而在開放而又富有探索意味的教學過程中優化學生的思維品質。因為教學空間的開放，因為有對問題答案的質疑，因為有對問題的實踐驗證，兒童的數學思考由此走向深刻，走向理性。

注釋：

[1]鄭毓倍數學崽想、數學活動與小學數學教學[J].課程·教材·教法，2008（5）

[2]喬海兵，劉曉勇.動中取靜，激活兒童的數學思考[J].數學大世界，2016 （4）

[3]G波利亞怎樣解題：數學思維的新方法[M].徐泓，馮承滅，譯.上海：上海科技教育出版社，2011； 59