D-vine copulas混合模型及其在故障檢測中的應用

鄭文靜，李紹軍，蔣達

（華東理工大學化工過程先進控制和優化技術教育部重點實驗室，上海 200237）

D-vine copulas混合模型及其在故障檢測中的應用

鄭文靜，李紹軍，蔣達

（華東理工大學化工過程先進控制和優化技術教育部重點實驗室，上海 200237）

過程監控技術是保證現代流程工業安全平穩運行及產品質量的有效手段。傳統的過程監控方法大多采用維度約簡方法提取數據特征，且要求過程數據必須服從高斯分布、線性等限制條件，對復雜工況條件下發生的故障難以取得較好的檢測效果。因此，提出了混合D-vine copulas故障診斷模型，在不降維的情況下直接刻畫數據中存在的復雜相關關系，構建過程變量的統計模型實現對存在非線性與非高斯性過程的精確描述。通過EM算法和偽極大似然估計優化混合模型參數，然后結合高密度區域（HDR）與密度分位數法等理論，構建廣義貝葉斯概率（GBIP）指標實現對過程的實時監測。數值例子及在TE過程上的仿真結果說明了該混合模型的有效性及在故障檢測中的良好性能。

過程監控；非線性非高斯；相關性分析；D-vine copulas

引 言

化工過程行業日益增多的安全事故使人們關注的焦點轉向了研究如何保證生產過程的安全性、可持續性和穩定性上。實時的過程監控是保證工業過程安全平穩運行以及產品質量的關鍵技術和有效手段[1]。隨著實時數據采集系統及數據處理技術在流程工業中的廣泛應用，基于數據驅動的過程監控技術也得到迅速發展。其中，多變量統計過程監測方法（multivariate statistical process monitoring，MSPM）利用多元投影技術將高維數據空間投影到低維的特征空間，提取數據特征進行統計建模實現對過程的監測，已成為過程監控領域的研究熱點[2]。此類算法通常假定過程變量之間是線性相關的且變量均服從高斯分布。然而實際過程比模型假設更為復雜，對于存在非線性、非高斯特性的工業過程難以取得較好的監測效果。針對如何處理這些約束問題，許多新的過程監控方法也相繼提出，如基于神經網絡的非線主元分析（principal component analysis，PCA）方法[3]、基于支持向量機的核PCA（kernel principal component analysis，KPCA）方法[4]用來解決非線性問題，Cai等[5]提出的基于魯棒獨立成分分析（independent component analysis，ICA）方法通過穩健白化算法提取非高斯特征、Ge等[6]研究的基于 ICA-PCA兩步信息提取策略的過程監測方法來處理非高斯問題。然而降維或去耦合過程仍是MSPM的主要思想。盡管這些改進方法在不同程度上提升了監測效果，但降維的過程必定會帶來信息損失。在不降維的情況下直接利用數據的分布信息刻畫數據存在的復雜相關性行為，構建數據的分布模型進行過程監測具有很大的發展潛力。

近年來，copula作為一種用于描述復雜隨機變量之間的相關性的有效統計工具，越來越廣泛應用在經濟、金融和氣象學中，甚至化工過程系統中[7-9]。而傳統多元 copula（如多元正態 copula、多元t-copula、多元Archimedean copula等）理論因其繁瑣、低效的優化過程目前很少應用在過程監測領域。1996年，Joe[10]提出了vine結構來分析不同的相關性結構，將多元copula分解成若干個二元copula的組合形式，高維變量的相關性優化問題則相應地轉化成一系列二元copula的參數優化問題，極大地降低了計算復雜度。有限元混合模型由于其較強的靈活性廣泛用于復雜多元數據的統計建模中，出現了將copula理論與有限元混合模型結合并應用在模式識別、機器學習、數據挖掘等領域[11-13]。例如，Nguyen等[14]建立了 Clayton、Frank、Gumbel和 Joe copulas的混合模型用于捕獲股票市場和黃金價格之間的相關信息，以優化組合投資和風險評估。Nikoloulopoulos等[15]提出有限正態混合copulas的多元離散數據建模并詳細分析了混合模型的優良性質。

本研究提出了D-vine copulas混合模型，對多維數據的內在相關結構進行分析，選擇典型的D-vine copula進行建模。將D-vine copula與有限元混合模型相結合，不僅能更全面挖掘隨機變量間不同的相關性結構，而且為統計建模賦予了更強的靈活性。針對復雜工業過程數據建立 D-vine copulas混合模型，并結合高密度區域（HDR）與密度分位數法等理論，構建了廣義貝葉斯推斷概率（GBIP）指標[16]，通過查詢靜態密度分位數表對混合模型下存在非線性、非高斯特性的故障數據進行故障檢測。在數值例子及TE過程中的應用，表明該混合模型在過程監控中有較好的檢測效果。

1 D-vine copula

copula理論最早是由Sklar[17]于1959年提出的一種用于描述變量之間相關性的統計理論。根據Sklar定理，copu la是以服從均勻分布U[0, 1]的邊緣分布函數為自變量而構成的多元分布函數，將聯合分布函數用各變量的邊緣分布函數和其相關性結構（即 copula函數）進行替代。對于 d維隨機變量其聯合分布函數可以表示為[18]

ui是第i個變量的邊緣累積分布函數，滿足

其中，fi(xi)為第i個變量xi的邊緣概率密度函數。C表示多元copula函數，若各個變量的邊緣累積分布函數連續，那么有唯一一個copula函數與其相對應。如果C可微，則各隨機變量相對應的聯合概率密度函數（probability distribution function，PDF）

式（3）中的密度函數c定義為

一旦copula的結構和參數確定，多維數據的聯合密度分布函數就可以通過式（3）獲得。顯然，隨著變量維數的增加，利用樣本數據擬合式（4）的求解過程會變得更加困難，造成傳統多元copula計算量增加的問題。

1.1 二元copula結構

在copula族中，用于刻畫二元隨機變量相關性結構的二元 copula是最為常見也最為簡單的一類copula，其優化過程是一個易于實現的問題。vine copula模型可將一個多元聯合分布分解成多個二元copula函數和各個變量邊緣分布的組合形式。此時高維變量的相關性優化問題則相應地轉化成一系列二元 copula的參數估計問題。對于 d維隨機向量其PDF可以分解成如下形式

進一步分解式（5）中的條件分布[19]，有

其中，v=x-i表示不包括變量xi的d-1維向量，vj為向量v中的任意一個元素，v-j為v去掉元素vj后所得的向量，ci,j|v-j為對應的條件二元copula密度。

常見的二元copula有Elliptical族（包括Gaussian、Student-t等二元copula）與Archimedean族（包括Clayton、Gumbel、Frank 等二元 copula）[20]。

1.2 D-vine copula

采用D-vine copula來描述d個變量之間相關性時，該相關性模型由d-1棵樹組成每棵樹由節點和連接節點的邊組成，T1樹上的節點表示變量，邊表示變量之間的相關關系，即二元copula對。第1棵樹以外的其他節點選自于上一棵樹的對應邊，整個模型共包含d(d-1)/2個二元copula函數。D-vine copula結構的聯合密度函數的表達式為

其中，θ表示相對應的copula參數。與式(3)相比，d維copula密度函數即轉化為式（7）中個二元copula（即）相乘的形式，避免了式（4）中的多次求導過程。

式（7）中的二元copula包含了條件分布函數，如何分析這些條件分布函數直接關系到模型的可實現性。Aas等[21]提出了計算上述條件分布函數的 h函數，具體表達形式如下

D-vine copula中一系列的條件分布函數均是基于式(8)迭代計算獲得。

為了便于理解，以四維變量為例，圖1展示了D-vine copula的結構分解圖。如圖所示，四維D-vine copula的分解結構有3棵樹，樹Tj由5-j個節點和4-j條邊組成，每條邊代表一個二元copula函數，整個D-vine結構共需要確定6個二元copula函數。樹Tj是在樹Tj-1的基礎上確定的，樹T1的節點和邊確定之后才能確定樹T2，然后再往下逐層推導。

圖1 四維D-vine copula結構圖Fig.1 Graphical model of four-dimensional D-vine copula

φ表示D-vine密度的所有參數集。

2 D-vine copulas混合模型及其故障檢測

vine copula函數在刻畫復雜變量之間的高度非線性及尾部特性等方面具有很好的性能，而且在構建多變量相關結構上具有更強的靈活性。將D-vine copula與混合模型相結合，不僅可以更全面地刻畫復雜數據間內在的相關性結構，還可以表示出任意復雜的概率密度函數。在此分布模型的基礎上，利用高密度區域知識及密度分位數理論構建基于概率的檢測指標，實現對過程數據的實時估計。

2.1 D-vine copulas混合模型及參數估計

2.1.1 EM 算法 作為處理有限混合模型的通用方法，這里也采用EM算法來估計給定的M元D-vine混合模型的參數 φ，通過極大似然估計的方法進行參數估計。

引入潛在變量zn=(zn1,…,znm,…,znM)，若第 n個觀測值xn產生于第m個D-vine元，則znm=1，否則znm=0。假設zn相互獨立且服從多項分布，即zn～Mult(M,π=(π1,…,πm))。完備數據(xn,zn)的對數似然函數lc(φ)為[23]

通過EM算法來估計M元D-vine混合模型的參數，具體步驟如下。

給定參數的初始值φ(0)，然后重復 E-步、M-步迭代計算得到連續的參數估計值φ(s)，s=1,2,…。E-步：在給定的觀測數據和當前的參數估計值φ(s)下，計算對數似然函數lc(φ)的條件期望，即計算在當前參數估計值下的觀測值xn屬于第 m個 D-vine元的后驗概率M-步：通過最大化E-步的期望對數似然函數，單獨計算每個D-vine元的參數估計值（,…,）和權重參數第m個D-vine元的copula密度參數相當于式（7）通過加權后的參數估計值。R軟件中的優化函數optim和constrOptim可以用來最大化式（12）中對應于參數θm的第2項，得到第m個D-vine元的copula參數。

對于性能較好的EM算法，式（11）的似然函數 l(θ)在迭代過程中會不斷增大直至收斂，即l(θ(s+1))≥l(θ(s))。因此，迭代終止條件可設為讓l(θ(s+1))l(θ(s))的值小于一個預先設定的允許值，如0.00001。有限元混合模型的似然函數存在多個局部最大值[24]。所以，在給定初始值下執行EM算法，在找到的多個局部最大值中選取一個使對數似然函數最大的一組解作為最優解。初始值：本文應用K-means算法獲得初步的聚類，K-means算法可以看作是一次硬性的 E-步。進行K-means聚類后，后驗概率為

2.1.2 模型的選取 不同結構的二元copula對應著不同類型的相關性結構，尤其是在對尾部相關關系的描述上。如 Clayton能夠刻畫二維數據的低尾相關性，Gumbel能刻畫高尾相關性，而 Gaussian則不具備刻畫數據尾部相關性的能力。由于混合模型相關性結構的異構性不可觀測，不能獲得單個數據點對相關性結構貢獻率的先驗信息。為簡化優化過程，避免優化過程過于繁瑣，縮短優化時間，選取4 種典型的二元 copula（Gaussian、Clayton、Gumbel、Frank）作為D-vine copulas混合模型中二元copula的備選類型，并且假設每個 D-vine元的所有二元copula類型相同。

在選定的二元 copula下，混合模型的 D-vine元個數 M 的取值范圍為 1～M*。M*一般設置在3～5之間，M*值設置過小不利于變量間復雜相關性結構刻畫，M*值設置過大又會導致過擬合現象，也會造成計算量的徒然增加。當M=1時，M 元D-vine copulas混合模型就退化成單個 D-vine copula模型。如果每個D-vine元的二元copula個數為S，則可選的整個混合模型的個數為SM*×。

為了確定混合模型的D-vine元個數M及每個D-vine元中二元copula的類型，這里采用應用最為廣泛的模型選取準則：赤池信息準則（Akaike information criterion，AIC）[26]。

從S×M*個混合模型中選擇最合適的模型（D-vine元個數M及二元copula類型），找到使模型選取準則AIC取值最小的混合模型。

2.2 故障檢測指標的構建

本節的主要目的是在D-vine copulas混合模型的基礎上，實現對非線性、非高斯過程的故障檢測。這種基于概率的過程監測的關鍵任務是設計出當前樣本數據距離正常數據分布的概率性度量指標。Ren等[16]提出的VCDD過程監測方法實際上就是一種基于數據分布模型的過程監測方法。該監測方法根據高密度區域（HDR）與密度分位數法等理論，構建了廣義貝葉斯推斷概率（GBIP）指標，通過查詢靜態密度分位數表的形式，實現對過程的實時監測。

假設過程存在M個D-vine元Dm（m=1,2,…,M），各過程變量間存在復雜的非線性相關性。定義第m個D-vine元Dm的聯合PDF為fm(x)，GBIP指標定義如下

其中，P(Dm|xt)表示當前監控數據 xt屬于第 m 個D-vine元Dm的后驗概率

下的樣本空間且區域內每個點的概率密度要大于等于區域外的點的概率密度。xt關于D-vine元Dm的GLP指標定義為

其中fm(x)表示d維隨機變量x經過自身PDF映射后的一維隨機向量。最后利用離線建立好的靜態密度分位數表計算出GLP指標的區間估計值，對于給定的控制限 CL[CL(0, 1)]，判斷最終計算出的GBIP指標是否超過了控制限，更多詳細過程可參見文獻[16]。

2.3 基于D-vine copulas混合模型的故障檢測算法流程

基于D-vine copulas混合模型的故障檢測過程分為兩個階段：離線建模和在線監控，具體實現步驟總結如下。

離線建模：

（1）獲得正常工況下測試數據的正則化秩。（2）從備選二元 copula中為混合模型選擇不同的二元copula類型。

（3）在選定的二元 copula下，確定混合模型的D-vine元個數M，M的取值可由1到M*。

（4）根據AIC準則選取，從SM*×個混合模型中選擇最終模型。

（5）對于給定的控制限CL，計算訓練樣本的聯合PDF值，構建過程的靜態密度分位數表。

在線監測：

（1）利用式（16）結合密度分位數表計算當前監測數據的GBIP指標。

（2）判斷GBIP指標是否超限，完成在線的實時過程監控。

3 仿真分析

本章通過數值案例及在TE過程中的應用驗證混合D-vine copulas模型的有效性及在處理具有非高斯、非線性的過程數據的故障檢測中的良好性能。并分別與有限元高斯混合模型（finite Gaussian mixture models，FGMM）方法[28]和KPCA方法[29]作對比，表明該混合模型取得了較好的檢測效果。

3.1 數值實例

通過 R軟件的 CDVine軟件包中的函數CDVineSim生成測試數據：500組觀測數據產生于二元（M2）三維（d3）D-vine密度函數，兩個D-vine元具有相同的比例（π1=π2=0.5），各D-vine元的所有二元copula類型為Frank copulas。對測試數據的設定如下：過程在初始的前 50時刻正常運行，然后在接下來的100個時刻，變量X1被賦予一個0.5的偏移項與一個非線性漂移項（故障1），然后過程恢復正常，在最后的150時刻，給以變量X2一個4的偏移（故障2），變量X3始終處于正常狀態。圖2給出了500組測試數據的時序圖（故障數據已用紅色標記）。

圖2 數值例子測試數據時序圖Fig.2 Time-series plots of testing data for numerical example

FGMM是建立混合模型的常見方法，通常用來處理非高斯問題。而KPCA方法則是一種非線性方法，其主要思想是將向量空間中的隨機向量通過一個非線性函數映射到高維特征空間中，然后在高維空間中進行線性方法研究[29]。為了驗證 D-vine copulas混合模型在故障檢測中的有效性，用FGMM與KPCA方法作為對比。注意，因為此測試數據來源于一個模態，只涉及利用 HDR建立密度分位數表的過程，FGMM 模型中 BIP指標就相應變成了GLP指標。

圖3給出了上述3種方法（FGMM、KPCA、MD-vine）的實時監控圖（置信水平0.95）。

為了量化不同方法的檢測效果，表1統計了3種方法的監測評價指標：故障檢測率（fault detection rates，FDR）和誤報率（missing detection rates，MDR）。

檢測結果表明，對于故障1（線性漂移），基于MD-vine模型的故障檢測方法較FGMM與KPCA方法，故障檢測率有明顯提高，誤報率也相應降低。3種檢測方法都能實現對故障2（偏移）的完全檢測，但 MD-vine模型的誤報率最低，說明了 D-vine copulas混合模型通過準確刻畫出數據的分布形式及復雜相關性，找到適用于任意分布的概率性指標，提高了過程的監測效果。

3.2 TE過程

TE過程是由 Eastman化學公司創建的一個用于評價過程控制和監控方法的仿真系統，能較好地模擬實際復雜工業過程系統，作為仿真例子在過程監控領域得到了廣泛的應用[30]。TE過程包含41個測試變量和12個操作變量以及21種過程故障，本研究采用了測試變量中的 22個連續過程變量進行分析。在正常運行狀態下，采集500組數據作為訓練樣本，采樣間隔為 3 min。測試數據集包含 960個數據樣本，在第161個樣本點引入故障。

圖3 數值例子基于不同方法的實時檢測圖Fig.3 Real-time monitoring charts based on different methods for numerical example

表1 數值例子監控效果對比分析Table 1 Monitoring performance analysis in comparison study for numerical example

對訓練數據進行離線建模，建立靜態密度分位數表，然后對測試數據進行在線監測，并分別與FGMM和 KPCA方法作對比。其中，KPCA選取85%的主元，核函數采用高斯核函數圖4為3種監測方法對故障20的實時監測圖（置信水平 0.98）。顯然，MD-vine在開始階段的檢測率明顯高于 FGMM 方法，且兩種方法的檢測效果均顯著優于KPCA方法。

圖4 3種監控方法對故障20的實時檢測圖Fig.4 Real-time monitoring charts based on three methods for fault 20

TE過程21個故障中，故障1～7為階躍變化，故障8～12是隨機性故障，故障13是反應動力學中的緩慢漂移，故障14、15和21是與閥黏滯有關的故障，故障16～20未知[31]。表2給出3種方法對各種不同類型的故障都給出了一些具有代表性的檢測結果。

由表2可以看出，對于故障1、6、8、13、14，3種檢測方法都能取得很好的、相近的檢測效果；對于較難檢測的故障 4、15，均未取得較好的檢測結果，但相對而言，MD-vine方法檢測率略好；而對于故障10、16、19、20及21，MD-vine方法與另外兩種方法相比有較明顯的優勢。總體看來，本研究提出的基于MD-vine模型的故障檢測方法較兩種傳統監測方法的監控性能有所提升。對于具有非高斯特征的數據，FGMM中基于馬氏距離的概率指標刻畫異常數據點的能力降低，而KPCA在數據變換和特征提取的過程中必然造成數據信息的缺失。D-vine copulas混合模型充分利用變量間的相關關系，準確刻畫出數據間的分布信息，并且在檢測方法上采用更適合非高斯過程的高密度區域法，從而取得比FGMM、KPCA監測方法更佳的檢測效果。

表2 TE過程故障檢測率對比分析Table 2 Monitoring performance analysis in comparison study on TE

4 結 論

提出了一種D-vine copulas混合模型，采用EM算法、偽極大似然估計對模型參數進行優化，根據模型選擇準則確定最終的估計模型。該混合模型能在不進行降維過程的情況下更深入準確地捕獲多元數據間復雜的相關關系，并以得到的分布模型為基礎結合高密度區域與密度分位數法等理論實現對存在非線性、非高斯過程故障的實時監測。通過對數值實例和 TE過程進行仿真實驗，并與 FGMM 與KPCA方法對比，結果表明此混合模型具有更高的故障檢測率和較低的故障誤報率。這說明該混合模型方法作為一種新的過程監測方法具有較強的實用性。與降維進行數據特征提取、劃分子空間等思想相比，構建數據的分布模型具有更大的優勢。此外，該混合模型可以視為半參數模型，兼顧了全參數模型和非參數模型的優點，具有更強的適應性和解釋能力，適用范圍也更為廣泛。在刻畫數據間內在的相關性方面，D-vine copulas混合模型具有良好的性能。為簡化優化過程，提高參數的優化效率，假設每個D-vine元的所有二元copula類型相同，并且選取了4種典型的二元copula作為D-vine copulas混合模型中二元copula的備選類型。實際上，二元copula族中存在數十種類型的copula。因此，此混合模型在二元copula的選擇上仍然有進一步改進的空間。

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Mixture of D-vine copulas model and its application in fault detection

ZHENG Wenjing, LI Shaojun, JIANG Da
(Key Laboratory of Advanced Control and Optimization for Chemical Processes of Ministry of Education, East China University of Science and Technology, Shanghai 200237, China)

Process monitoring technology is an effective means to guarantee operation safety and product quality of modern industrial processes. Most of traditional process monitoring methods extract data features by dimensionality reduction and require process data obeying Gaussian distribution, linearity and other conditions.Therefore, traditional methods cannot obtain preferable detection results for faults occurred under complex operating conditions. A mixture of D-vine copulas model was proposed for fault detection. First, complex correlation among process variables were directly extracted without dimensionality reduction and a statistical model of process variables was established to accurately describing nonlinear and non-Gaussian processes. Then,model parameters were optimized by expectation maximization (EM) algorithm and maximum pseudo-likelihood estimation. Finally, a generalized Bayesian inference-based probability (GBIP) index was constructed for real-time monitoring by optimized model parameters as well as theories of the highest density region (HDR) and density quantile. Application of the proposed mixture model to a numerical example and the Tennessee Eastman (TE)benchmark process illustrated effectiveness and performance in fault detection.

process monitoring; nonlinear and non-Gaussian; dependence analysis; D-vine copulas

date：2016-11-28.

Prof. LI Shaojun, lishaojun@ecust.edu.cn

supported by the National Natural Science Foundation of China (21406064, 21676086) and the Natural Science Foundation of Shanghai (14ZR1410500).

TP 277

A

0438—1157（2017）07—2851—08

10.11949/j.issn.0438-1157.20161682

2016-11-28收到初稿，2017-03-29收到修改稿。

聯系人：李紹軍。

鄭文靜（1992—），女，碩士研究生。

國家自然科學基金項目（21406064, 21676086）；上海市自然科學基金項目（14ZR1410500）。