復線性微分方程解的增長性的幾個結果

龍見仁

(北京郵電大學計算機學院;理學院,北京 100876)(貴州師范大學數學科學學院,貴州貴陽 550001)

復線性微分方程解的增長性的幾個結果

龍見仁

(北京郵電大學計算機學院;理學院,北京 100876)(貴州師范大學數學科學學院,貴州貴陽 550001)

本文研究了復線性微分方程解的增長性問題.利用兩類具有某種漸進增長性質的函數作為線性微分方程的系數,討論了兩類二階線性微分方程解的增長性,獲得了方程解為無窮級.這些結果推廣了先前的一些結果.

復微分方程;整函數;無窮級;下級;漸進增長

1 引言及主要結果

對復平面C上的亞純函數f,其級與下級分別定義為

和

如果f是整函數,則上述定義中的Nevanlinna特征函數T(r,f)可以被logM(r,f)所替代,其中

.從定義容易看到有μ(f)≤ρ(f),并且嚴格不等式也是可能的,參見文獻[1-3].在這篇文章里,我們假設讀者熟悉亞純函數值分布理論的基本記號與主要的結果,例如T(r,f),m(r,f),N(r,f)等,更多的細節參看文獻[4-6].

為了陳述下面的結果,先回憶幾個記號.集合E?[0,∞)的Lebesgue線性測度是,其上、下線性密度分別是

集合F?[1,∞)的對數測度是,其上、下對數密度分別是

從文獻[14,p.121]容易看到,對任意集合F?[1,∞),

在文獻[15]中,Laine-Wu利用系數是具有某種漸進增長性質的整函數去研究復線性微分方程解的增長性,并獲得了

定理A設A(z)和B(z)是兩個滿足ρ(B)＜ρ(A)＜∞的整函數.設A(z)滿足

其中ml(E)＜∞,則線性微分方程

的所有非平凡解都是無窮級.

(1.1)式意味著下面極限

在除去一個對數測度有限的r值例外集合上成立.

Kwon和Kim在文獻[16]推廣了定理A,通過系數A(z)允許除去一個更大的r值例外集使得條件(1.1)成立.

定理B設A(z)和B(z)是兩個滿足ρ(B)＜ρ(A)＜∞的整函數.設A(z)在除去r值例外集E上滿足條件(1.1),其中.則微分方程(1.2)的所有非平凡解都是無窮級.

這里考慮系數的下級對微分方程(1.2)解的快速增長的影響,將定理A、B中系數A(z)和B(z)的級用其下級代替,獲得了下面的結果.我們的證明不同于定理A、B,使用了一個來自于Miles-Rossi的結果(見文獻[17,定理1]),關于對數導數的反面估計,這個估計在定理A、B的證明中沒有使用.

定理1設A(z)和B(z)是兩個滿足μ(B)＜μ(A)＜∞的整函數.設A(z)在除去r值例外集E上滿足條件(1.1),其中則微分方程(1.2)的所有非平凡解都是無窮級.

本文的第二個結果,利用一種新的研究思路去研究線性微分方程解的增長性,即方程(1.2)的系數A(z)是另一個二階線性微分方程

的非平凡解,其中P(z)=anzn+···+a1z+a0,an/0.眾所周知,方程(1.3)的任何非平凡解的增長級為.關于方程(1.3)解的更多的性質,參看文獻[7-8,18].Hille[19]利用他的方法刻畫了方程(1.3)解的漸進增長.本文的第二結果就是利用方程(1.3)解的漸進性質去研究方程(1.2)解的增長性,獲得了

定理2設A(z)是方程(1.3)的一個非平凡解,B(z)是一個ρ(B)/ρ(A)的超越整函數,且

本文的第三個結果涉及到另一類二階線性微分方程

其中Q(z)是整函數.為此先回顧方程(1.5)解的一些性質.對于Q(z)是多項式的情形,在以往的文獻中,可以發現很多關于方程(1.5)解的結論,例如文獻[20-23].對于Q(z)是超越整函數,有兩個結果值得注意,一個是Gundersen[24]證明了如果Q(z)是超越整函數并且ρ(Q)/1,則方程(1.5)的所有非平凡解都是無窮級.另一個是Chen[25]證明了如果Q(z)=h(z)ebz,其中h(z)是一個非零多項式,b/-1,則方程(1.5)的所有非平凡解都是無窮級.從Chen的結果可以看出當系數Q(z)的增長級等于1時,方程(1.5)有無窮級解.在文獻[26]中,Li-Wang討論了方程(1.5)解的增長性.他們證明了如果Q(z)=h(z)ebz,h(z)是一個級小于的超越整函數,b是一個實常數.則方程(1.5)的所有非平凡解都是無窮級.針對整函數Q(z)級為1的情形,Wang-Laine[27]考慮了線性微分方程

其中h(z)是一個滿足ρ(h)＜ρ(Q)=1的整函數.他們假定系數Q(z)具有某一個漸進增長條件時,研究了方程(1.6)解的增長性.

定理C設Q(z)和h(z)是兩個滿足ρ(h)＜ρ(Q)=1的整函數.設Q(z)滿足

相比定理C,這里利用另一類具有某種漸進性質的整函數去研究微分方程(1.6)解的增長性.即對于常數α∈(0,1),如果Q(z)在一個足夠大的r值集合上滿足

定理3設Q(z)和h(z)是兩個滿足ρ(h)＜ρ(Q)=1的整函數.設Q(z)在除去一個上對數密度為0的r值集合上對α∈(,1)滿足條件(1.7).則微分方程(1.6)的所有非平凡解都是無窮級.

提出條件(1.7)是很自然的,有很多的函數在除去一個適當的r值例外集上滿足條件(1.7).一個簡單的例子就是Q(z)=ez,條件(1.7)對成立,沒有例外集.下面稍微復雜一點的例子可以在文獻[28,p.158]中找到.

例1設Q(z)=(1-3eiz)ez2-ze-iz2,則條件(1.7)對成立,沒有例外集.

相比例1,更一般的例子就是形如Q(z)=P1(z)eQ1(z)+···+Pn(z)eQn(z)的指數多項式,其中Pj(z),Qj(z)(j=1,···,n)是多項式,參見文獻[28].根據定義,容易證明Q(z)是完全正規增長的函數(見文獻[29,p.6]).于是有下面的例子.

例2如果Q(z)是上面形式的指數多項式,則根據文獻[29,定理1.2.1],有

對所有的[0,1]∪E成立,其中(因此所以條件(1.7)在除去一個上對數密度為0的r值例外集上對

成立.

2 引理

為了證明上述定理,需要如下的幾個引理.

引理2.1[30]假設f是一個有窮級超越亞純函數,k,j是兩個滿足k＞j≥0的整數.則對任意給定的常數ε＞0,下列三個結論成立.

(1)存在一個集合E1?[0,2π),m(E1)=0,使得如果ψ0∈([0,2π)-E1),則存在常數R0=R0(ψ0)＞1,使得對所有滿足argz=ψ0,|z|≥R0的z,有

(2)存在一個集合E2?(1,∞),ml(E2)＜∞,使得對所有滿足|(E2∪[0,1])的z,不等式(2.1)成立.

(3)存在一個集合E3?[0,∞),m(E3)＜∞,使得對所有滿足|3的z,有

下面的結果是文獻[17,定理1]的一個簡單形式,但足夠本文使用.

引理2.2假設f是一個級為ρ(＜∞)的非常數整函數.對β∈(0,1)及r＞0,令

則對M(＞3)存在一個集合EM?[1,∞),,使得對所有的r∈EM,

為了介紹Hille關于方程(1.3)解的漸進增長性質,需要一些記號.假設α,β是兩個常數滿足β-α＜2π及α＜β,對任意r＞0,定義

假設f是一個級為ρ∈(0,∞)的整函數,為了敘述方便,令.如果對任意θ∈(α,β),有

則稱f在S內以指數增長趨于無窮;如果對任意θ∈(α,β),有

則稱f在S內以指數增長趨于零.

下面的結果源自文獻[19,第7.4節],也可以在文獻[31]找到它的陳述.

引理2.3假設w是方程(1.3)的一個非平凡解,其中P(z)=anzn+···+a1z+a0,an0. 令,Sj=S(θj,θj+1),j=0,1,2,···,n+1,其中θn+2=θ0+2π. 則w具有下面的性質.

(1)在每一個角域Sj,w或者以指數增長趨于無窮,或者以指數增長趨于零.

(2)對某個j,如果w在Sj以指數增長趨于零,則w在Sj+1和Sj-1必須以指數增長趨于無窮.但是w在幾個相鄰角域以指數增長趨于無窮是可能的.

(3)如果w在Sj以指數增長趨于零,則w在至多有有窮多個零點.

(4)如果w在Sj和Sj-1以指數增長趨于無窮,則對任意給定的ε＞0,w在內有無窮多個零點.進一步有,當r→∞,

引理2.4[27]設f是級為ρ(＜∞)的整函數,對每一個r＞0,令M(r,f)=f(reiθr).對

給定的ζ＞0和0＜C(ρ,ζ)＜1,則存在一個常數和一個集合,使得對所有充分大的r∈Eζ及所有滿足|θ-θr|≤l0的θ,

在文獻[32,定理3],Gundersen證明了下面的結果.

引理2.5設A(z)和B(z)(0)是兩個整函數,對實數α,β,θ1,θ2,其中α＞0,β＞0及θ1＜ θ2,當z→ ∞,(θ1,θ2)={z：θ1≤argz≤θ2},有

和

對任意給定的ε＞0,令如果f是方程(1.2)的級為ρ(f)(＜∞)的非平凡解.則下列結論成立.

(1)存在一個常數b(/=0)使得當z→ ∞,(θ1+ε,θ2-ε),f(z)→b. 進一步有當z→ ∞,(θ1+ε,θ2-ε),

(2)對每一個k＞1,當z→ ∞,(θ1+ε,θ2-ε),有

下面的引理描述了函數eP(z)的性質,其中P(z)是一個線性多項式.關于這類函數更一般的性質參看文獻[33,p.254].

引理2.6設P(z)=(α+iβ)z,其中α,β是兩個實數滿足 |α|+|0.假設A(z)(0)是一個級小于1的亞純函數.令g(z)=A(z)eP(z),δ(P,θ)=αcosθ-βsinθ,其中z=reiθ,則對任意給定的ε＞0,存在一個集合E?(1,∞),m(E)＜∞,使得對任意的θ∈[0,2π)-H,有一個實數R＞0,使得對所有滿足|z|=r＞R及的z,有

(1) 如果δ(P,θ)＞0,則

(2) 如果δ(P,θ)＜0,則

其中H={θ∈[0,2π)：δ(P,θ)=0}.

3 定理的證明

定理1的證明假設方程(1.2)有一個級為?(f)(＜∞)的非平凡解f,將看到一個矛盾.對于給定的常數,定義

因為A(z)在|z|=上滿足條件(1.1),其中.所以不難知道存在一個集合F1?[1,∞),,使得

其中

結合(3.1)和(3.2)式,存在θ0∈Ur-Ic(r),對充分大的r∈F1∩F2,有

使用類似于文獻[32,p.426]的推導,不難得到方程(1.2)的任何非平凡解至少存在一個零點.因此對θ0∈Ur-Ic(r),及充分大的r∈F1∩F2,有

于是對θ0∈Ur-Ic(r),r∈F1∩{r：r≥r0},

對于B(z),存在一個無窮序列(rn),當n→∞,rn→∞,使得

應用引理2.1,存在一個集合F4∈(1,∞),ml(F4)＜∞,使得對所有滿足|z|=(F4∪[0,1])的z,有

令F=F1∩{r：r≥r0}∩F2∩F3.通過計算知

所以在集合F-(F4∪[0,1])中存在一個無窮數列(tj),當j→∞,tj→∞,使得(3.3)-(3.6)式成立.于是結合方程(1.2),有

從而有

顯然對充分大的j,這是一個矛盾,所以定理得證.

定理2的證明如果ρ(A)＜ρ(B),則定理的結論已被Gundersen證明文獻[32,定理2].因此假定ρ(A)＞ρ(B).假設方程(1.2)有一個級為ρ(f)(＜∞)的非平凡解f,將得到一個矛盾.由定理條件知A(z)是方程(1.3)的一個非平凡解,其中P(z)=anzn+···+a1z+a0,an0. 令及Sj={z：θj＜argz＜θj+1}(j=0,1,2,···,n+1),其中θn+2=θ0+2π.依據引理2.3分兩種情形證明.

(1)假設A(z)在所有的Sj(j=0,1,···,n+1)里都以指數增長趨于無窮,即對任意的θ∈(θj,θj+1),有

和

其中α是一個依賴于ε的正常數.結合(3.8),(3.9)式和引理2.5,存在一個相應的常數bj/0,使得當z→∞,z∈Sj(ε)(j=0,1,···,n+1),

(2)假設在n+2個角域Sj(0≤j0≤n+1)里至少存在一個角域使得A(z)以指數增長趨于零,不妨假設是Sj0={z：θj0＜argz＜θj0+1}(0≤j0≤n+1).這就意味著對任意的θ∈(θj0,θj0+1),有

因為在集合E上B(z)滿足條件(1.4),令.所以不難看到當r→∞且r∈E,有m(Id(r))→0.利用引理2.1和引理2.4,可以挑選一個無窮點列zn=rneiθ0,當n→∞,zn→∞,且θ0∈(θj0,θj0+1)-Id(r),使得zn滿足(2.1),(3.11)式和

結合上式與(1.2),(2.1),(3.11)式,有

定理3的證明假設方程(1.6)有一個級為ρ(f)(＜∞)的非平凡解f,將看到一個矛盾.對給定的0＜l＜1,定義

因為在上Q(z)對所有的滿足條件(1.7),其中.所以不難看到對任意給定的ε＞0,當r→∞且r/∈E,有.因此對l∈(0,1)充分接近1,則存在一個集合F1?[1,∞),使得m(Il(r))＜π,r∈F1.結合引理2.1,存在一個無窮點列zn=rneiθ0,當n→∞,zn→∞且θ0(r),使得(2.1)式和

成立,同時δ(-z,θ0)＜0,利用引理2.6,

結合(1.6),(2.1),(3.12)和(3.13)式,對充分大的n,有

因此對充分大的n,有

這與Q(z)是超越整函數矛盾,所以方程(1.6)的所有非平凡解都是無窮級.

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SOME RESULTS ON THE GROWTH OF SOLUTIONS OF COMPLEX LINEAR DIFFERENTIAL EQUATIONS

LONG Jian-ren
(School of Computer Science;School of Science,Beijing University of Posts and Telecommunications,Beijing 100876,China)(School of Mathematical Science,Guizhou Normal University,Guiyang 550001,China)

In this paper,we study the growth problem of solutions of two classes of second order linear di ff erential equations.By assuming their coefficients which have the properties of asymptotic growth,we obtain that all nontrivial solutions are of in fi nite order,which improves and extends previous results.

complex di ff erential equations;entire functions;in fi nite order;lower order;asymptotic growth

on：34M10;30D35

O174.5

A

0255-7797(2017)04-0781-11

2016-03-03接收日期：2016-04-19

國家自然科學基金資助(11501142);貴州省科學技術基金資助(黔科合J字[2015]2112號);貴州師范大學2016年博士科研啟動項目資助.

龍見仁(1981-),男,苗族,貴州錦屏,副教授,主要研究方向：復分析.