非線性耦合KdV方程組的一種新求解法

伊麗娜,套格圖桑

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010022)

非線性耦合KdV方程組的一種新求解法

伊麗娜,套格圖桑

(內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,內(nèi)蒙古呼和浩特 010022)

本文研究了構(gòu)造非線性耦合KdV方程組的無(wú)窮序列復(fù)合型新解的問(wèn)題.利用函數(shù)變換與輔助方程相結(jié)合的方法,獲得了非線性耦合KdV方程組的自由Riemannθ函數(shù)、Jacobi橢圓函數(shù)、雙曲函數(shù)和三角函數(shù)兩兩組合的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.這些解包括了雙弧子解、雙周期解和弧子解與周期解復(fù)合的解.

非線性耦合KdV方程組;函數(shù)變換;非線性疊加公式;無(wú)窮序列復(fù)合型新解

1 引言

孤立子理論中研究了KdV方程

的求解問(wèn)題,并獲得了許多新成果[1-6],這里α是常數(shù).

文獻(xiàn)[7]利用延拓結(jié)構(gòu)理論,研究了KdV方程組

的延拓結(jié)構(gòu)問(wèn)題,獲得了新結(jié)果.

當(dāng)方程(2)中取v=v(x,t)=0(或方程(3)中取u=u(x,t)=0)時(shí),獲得KdV方程.

文獻(xiàn)[8]用達(dá)布變換法,構(gòu)造了KdV方程組

的由雙曲函數(shù)和三角函數(shù)組合的多孤子新解.

的可積性,并獲得了由雙曲函數(shù)和三角函數(shù)組合的多孤子新解.另外,用第一種橢圓方程,獲得了Jacobi橢圓函數(shù)單孤子新解,這里γi和δj(i=j=1,2,3,4,5)是常數(shù).

本文用輔助方程法[10-23],研究了非線性耦合KdV方程組

的求解問(wèn)題,通過(guò)三個(gè)步驟,構(gòu)造了非線性耦合KdV方程組的無(wú)窮序列復(fù)合型新解,這里αi和βj(i=j=1,2,3,4)是常數(shù).

步驟一,給出一種函數(shù)變換,把非線性耦合KdV方程組的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩種非線性常微分方程的求解問(wèn)題;步驟二,給出兩種非線性常微分方程的新解、Bcklund變換和解的非線性疊加公式;步驟三,利用兩種非線性常微分方程的相關(guān)結(jié)論,構(gòu)造了非線性耦合KdV方程組的無(wú)窮序列復(fù)合型新解,這里包括了Riemannθ函數(shù)、Jacobi橢圓函數(shù)、雙曲函數(shù)和三角函數(shù)組合的雙孤子解、雙周期解和孤子解與周期解復(fù)合的解.

2 KdV方程組(8),(9)的無(wú)窮序列復(fù)合型新解

2.1 KdV 方程組(8),(9)與函數(shù)變換

通過(guò)函數(shù)變換

將KdV方程組(8),(9)的求解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)非線性常微分方程的求解問(wèn)題,這里λ,μ,ν和ω是待定常數(shù),而且ω.

定理1當(dāng)β1=β4,β3=β4,α3=α1,β2=α2,α4=α1,β4=α1和β4=α4時(shí),通過(guò)函數(shù)變換(10)和(11),將KdV方程組(8),(9)的求解問(wèn)題化為如下兩個(gè)非線性常微分方程的求解問(wèn)題

方程(12)和(13)可寫(xiě)作

這里c0,c1,c2和c3是任意常數(shù).

證當(dāng)β1=β4,β3=β4,α3=α1,β2=α2,α4=α1,β4=α1和β4=α4時(shí),將函數(shù)變換(10)和(11)代入KdV方程組(8),(9)后獲得非線性常微分方程(12),(13).

推論1在定理1的條件下,若μ=λ,ν=ω,則常微分方程(14)和(15)轉(zhuǎn)化ξ=η=λx+ωt為變量的不同常微分方程.

定理2當(dāng)β3=α4,α3=α1,β2=α2,β4=α1,β1=α4時(shí),通過(guò)函數(shù)變換 (10)和 (11),將KdV方程組(8),(9)的求解問(wèn)題化為如下兩個(gè)非線性常微分方程的求解問(wèn)題.

方程(16)和(17)可寫(xiě)作

這里m0,m1,m2和m3是任意常數(shù).

證當(dāng)β3=α4,α3=α1,β2=α2,β4=α1,β1=α4時(shí),將函數(shù)變換 (10)和 (11)代入KdV方程組(8),(9)后獲得非線性常微分方程(16),(17).

推論2在定理2的條件下,若μ=λ,ν=ω,m0/m2,m1/m3,則常微分方程(18)和(19)轉(zhuǎn)化ξ=η=λx+ωt為變量的不同常微分方程.

2.2 非線性常微分方程(18)

下面給出第一種橢圓方程(20)與非線性常微分方程(18)的擬B¨acklund變換

這里a,b和c是常數(shù).

定理3當(dāng)非線性常微分方程(18)與第一種橢圓方程(20)的系數(shù)滿足關(guān)系

時(shí),兩種非線性常微分方程(18)和(20)之間存在如下擬B¨acklund變換

這里

f,g和h是非零任意常數(shù).

證在定理3的條件下,將第一種橢圓方程(20)和關(guān)系(21)代入非線性常微分方程(18)獲得恒等式.

推論3當(dāng)

時(shí),將第一種橢圓方程(20)的解

代入B¨acklund變換(21)可得到非線性常微分方程(18)的如下解

這里

A,?,f,g和h是非零任意常數(shù).

用第一種橢圓方程(20)的Acn(?ξ,k),Adn(?ξ,k)等解與B¨acklund變換等相關(guān)結(jié)論[20-23],通過(guò)定理3,可獲得非線性常微分方程(18)的無(wú)窮序列新解.這些解包括光滑解和緊孤立子解.

推論4在定理3的條件下,當(dāng)k=1(或k=0)時(shí),通過(guò)擬B¨acklund變換(21),可以獲得非線性常微分方程(18)的雙曲函數(shù)和三角函數(shù)無(wú)窮序列解.

當(dāng)k=1時(shí),將

分別代入擬B¨acklund變換(21)可得到非線性常微分方程(18)的紐狀孤波解和鐘狀孤波解.當(dāng)k=0時(shí),將

分別代入擬B¨acklund變換(21)可得到非線性常微分方程(18)的奇異三角函數(shù)周期解和三角函數(shù)周期解.

非線性常微分方程(14)(或(19))與第一種橢圓方程(20)之間也存在擬B¨acklund變換(這里未討論).

2.3 KdV方程組(8),(9)的無(wú)窮序列復(fù)合型新解

將非線性常微分方程(14)和(15)(或(18)和(19))的無(wú)窮序列新解分別代入公式

即可得到KdV方程組(8),(9)的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.這里Pm(ξ)和Qn(η)由(14)和(15)(或(18)和(19))來(lái)確定.

2.3.1 當(dāng)m0m1m2m30時(shí),構(gòu)造KdV 方程組(8),(9)的無(wú)窮序列復(fù)合型新解

當(dāng)非線性常微分方程(18)的系數(shù)2m1,2m0,滿足定理 3 的條件時(shí),通過(guò)疊加公式

即可獲得非線性常微分方程(18)的Riemannθ函數(shù)與Jacobi橢圓函數(shù)無(wú)窮序列新解.

當(dāng)非線性常微分方程(19)與第一種橢圓方程(20)的系數(shù),2m2,2m3,a,b和c,滿足關(guān)系式

時(shí),通過(guò)疊加公式

可獲得非線性常微分方程(15)的Riemannθ函數(shù)與Jacobi橢圓函數(shù)無(wú)窮序列新解,這里Δj(j=0,1,2,3,4,5)由定理3來(lái)確定.A,?,l,f,g和h是非零任意常數(shù).

結(jié)論1獲得兩個(gè)Riemannθ函數(shù)組合的復(fù)合型雙周期新解.

將通過(guò)疊加公式(25),(27)獲得的無(wú)窮序列解,分別代入公式(24)后即可得到KdV方程組的兩個(gè)Riemannθ函數(shù)組合的復(fù)合型雙周期新解.

結(jié)論2獲得Riemannθ函數(shù)與Jacobi橢圓函數(shù)組合的復(fù)合型雙周期新解.

將通過(guò)疊加公式(25)與(28)確定的無(wú)窮序列解,代入公式(24)后即可得到KdV方程組的Riemannθ函數(shù)與Jacobi橢圓函數(shù)組合的復(fù)合型雙周期新解.

結(jié)論3獲得兩個(gè)Jacobi橢圓函數(shù)組合的復(fù)合型雙周期新解.

將通過(guò)疊加公式(26)與(28)確定的無(wú)窮序列解,代入公式(24)后即可得到KdV方程組的兩個(gè)Jacobi橢圓函數(shù)組合的復(fù)合型雙周期新解.

2.3.2 當(dāng)m0m1/0,m2=0,m3=0時(shí),構(gòu)造KdV方程組(8),(9)的無(wú)窮序列復(fù)合型新解

當(dāng)m0m10,m2=0,m3=0時(shí),可以獲得KdV方程組(8),(9)的如下無(wú)窮序列復(fù)合型新解(限于篇幅,疊加公式未列出).

結(jié)論1獲得Riemannθ函數(shù)型周期解與指數(shù)函數(shù)孤子解組合的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.

結(jié)論2獲得Jacobi橢圓函數(shù)型周期解與指數(shù)函數(shù)孤子解組合的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.

結(jié)論3獲得兩個(gè)指數(shù)函數(shù)組合的無(wú)窮序列復(fù)合型雙孤子新解.

結(jié)論4獲得指數(shù)函數(shù)型孤子解與三角函數(shù)周期解組合的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.

結(jié)論5獲得Riemannθ函數(shù)與三角函數(shù)組合的無(wú)窮序列復(fù)合型雙周期新解.

結(jié)論6獲得Jacobi橢圓函數(shù)與三角函數(shù)組合的無(wú)窮序列復(fù)合型雙周期新解.

結(jié)論7獲得兩個(gè)三角函數(shù)組合的無(wú)窮序列復(fù)合型雙周期新解.

2.3.3 其他情況下,構(gòu)造KdV方程組(8),(9)的無(wú)窮序列復(fù)合型新解

在下面幾種情況下,用定理1-3的結(jié)論,獲得KdV方程組的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.這里包括雙孤子解、雙周期解以及孤子解與周期解組合的復(fù)合型新解.

定理4當(dāng)m1m0m2/0,m3=0(或m0m20,m1=0,m3=0)時(shí),獲得KdV方程組(8),(9)的由Riemannθ函數(shù)、Jacobi橢圓函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)兩兩組合的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.

定理5當(dāng)m1=0,m2=0,m3=0,m0/0時(shí),獲得KdV方程組(4),(5)的由Riemannθ函數(shù)、Jacobi橢圓函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)兩兩組合的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.

定理6當(dāng)m0=0,m1=0,m2=0,m3=0時(shí),獲得KdV方程組(8),(9)的由指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)兩兩組合的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.

定理7常微分方程

通過(guò)函數(shù)變換

可化為Riccati方程

根據(jù)Riccati方程的B¨acklund變換與解的非線性疊加公式等結(jié)論[21-23],可以獲得Riccati方程(31)的無(wú)窮序列解,這里包括紐狀孤波解、奇異解、三角函數(shù)周期解和奇異三角函數(shù)周期解.

當(dāng)

時(shí),通過(guò)下列疊加公式

即可獲得常微分方程(18)的紐狀孤波解和三角函數(shù)周期解.

當(dāng)

時(shí),通過(guò)下列疊加公式

即可獲得常微分方程(19)的紐狀孤波解和三角函數(shù)周期解,這里

M0,N0,K0,H0是不全為零的任意常數(shù).

結(jié)論1將疊加公式(32)與(34)確定的無(wú)窮序列解,代入公式(24)得到KdV方程組的復(fù)合型雙孤子新解.

結(jié)論2將疊加公式(32)與(35)(或(33)與(34))確定的無(wú)窮序列解,代入公式(24)得到KdV方程組的雙曲函數(shù)孤子解與三角函數(shù)周期解復(fù)合的新解.

結(jié)論3將疊加公式(33)與(35)確定的無(wú)窮序列解,代入公式(24)得到KdV方程組的復(fù)合型雙周期新解.

2.3.4 構(gòu)造KdV方程組(8),(9)的無(wú)窮序列復(fù)合型單孤子新解

用推論1獲得的解,可以構(gòu)造KdV方程組(8),(9)的復(fù)合型新解.用推論2中不同常微分方程的不同解,可以構(gòu)造KdV方程組(8),(9)的復(fù)合型新解.這些解包括了由Riemannθ函數(shù)解、Jacobi橢圓函數(shù)解、雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解中不同的兩個(gè)解組合的無(wú)窮序列復(fù)合型解.

3 結(jié)論

文獻(xiàn)[8]和[9]分別,獲得了KdV方程組(4),(5)和(6),(7)的由雙曲函數(shù)與三角函數(shù)組成的形如(36)的多孤子解.此類(lèi)解與本文定理6和定理7中給出的結(jié)論是一致的.

這里

是不全為零的任意常數(shù).

在本文的2.3.1節(jié)、2.3.2節(jié)、定理4和定理5,能獲得KdV方程組(8),(9)由Riemannθ函數(shù)和Jacobi橢圓函數(shù)組成的復(fù)合型新解,這里包括周期解和孤子解組合的解、雙周期解以及雙孤子解.文獻(xiàn)[8,9]未能獲得此類(lèi)解.

本文的2.3.4節(jié)中獲得了KdV方程組(8),(9)由Riemannθ函數(shù)解、Jacobi橢圓函數(shù)解、雙曲函數(shù)解和三角函數(shù)解中不同的兩個(gè)解組合的無(wú)窮序列復(fù)合型解.文獻(xiàn)[9]未能獲得此類(lèi)復(fù)合型解,只獲得了KdV方程組的Jacobi橢圓函數(shù)單孤子解.

利用非線性常微分方程(14)與(15)的解與B¨acklund變換等結(jié)論,也可以獲得KdV方程組(8),(9)的新解(未列出).當(dāng)α1=4,α2=1,α3=4,α4=4,β1=4,β2=1,β3=4,β4=4時(shí),KdV方程組(8),(9)轉(zhuǎn)化為KdV方程組(2),(3).而且這些系數(shù)滿足定理1和定理2的條件.因此根據(jù)KdV方程組(8),(9)的相關(guān)結(jié)論,可以獲得KdV方程組(2),(3)的無(wú)窮序列復(fù)合型新解.

[1]范恩貴,張鴻慶.獲得非線性演化方程B¨acklund變換的一種新的途徑[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1998,19(4)：603-608.

[2]范恩貴,張鴻慶.齊次平衡法若干新的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報(bào),1999,19(3)：286-292.

[3]張桂戎,李志斌,段一士.非線性波方程的精確孤立波解[J].中國(guó)科學(xué)A,2000,30(12)：1103-1108.

[4]范恩貴.齊次平衡法、Weiss-Tabor-Carnevale法及Clarkson-Kruskal約化法之間的聯(lián)系[J].物理學(xué)報(bào),2000,49(8)：1409-1412.

[5]袁文俊,常亞?wèn)|,黃勇,王樺.某些常微分方程的亞純解表示與應(yīng)用[J].中國(guó)科學(xué)A,2013,43(6)：563-575.

[6]Ding H Y,Xu X X,Yang H X.An extended functional transformation method and its application in some evolution equations[J].Chin.Phys.,2005,14(9)：1687-1690.

[7]加羊杰.非線性耦合KdV方程的延拓結(jié)構(gòu)[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2014,37(2)：297-303.

[8]Hu H C,Tong B,Lou S Y.Nonsingular positon and complexiton solutions for the coupled KdV system[J].Phys.Lett.A,2006,351：403-412.

[9]Lou S Y,Tong B,Hu H C,Tang X Y.Coupled KdV equations derived two-layer fl uids[J].J.Phys.A：Math.Gener.,2006,39：513-527.

[10]Huang J,Liu H H.New exact travelling wave solutions for fi sher equation and Burgers-Fisher equation[J].J.Math.,2011,31(4)：631-637.

[11]Hu Z H,Wu R C,Zhang W W.Soliton solutions of the long-short wave resonance equatilns[J].J.Math.,2011,31(1)：35-42.

[12]許鎮(zhèn)輝,陳翰林,戴正德.(2+1)維Kadomtsev-Petviashvili方程解的時(shí)空分岔[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2013,36(5)：900-909.

[13]鄧圣福,郭柏靈.一類(lèi)變式Boussinesq系統(tǒng)的行波解[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),2012,35(6)：1099-1111.

[15]Chen Y,Li B,Zhang H Q.Generalized Riccati equation expansion method and its application to the Bogoyavlenskiis generalized breaking soliton equation[J].Chin.Phys.,2003,12(9)：940-945.

[15]Khaled A Gepreel,Saleh Omran.Exact solutions for nonlinear partial fractional di ff erential equations[J].Chin.Phys.B,2012,21(11)：110204(1-7).

[16]Md Nur Alam,Md Ali Akbar,Syed Tauseef Mohyud Din.A novel(G′(ξ)/G(ξ))-expansion method and its application to the Boussinesq equation[J].Chin.Phys.B,2014,23(2)：020203(1-10).

[17]Ma S H,Fang J P,Zheng C L.Complex wave excitations and chaotic patterns for a general(2+1)-dimensional Korteweg-de Vries system[J].Chin.Phys.B,2008,17(8)：2767-2773.

[18]Li D S,Zhang H Q.The soliton-like solutions to the(2+1)-dimensional modi fi ed dispersive waterwave system[J].Chin.Phys.,2004,13(7)：984-987.

[19]劉式適,劉式達(dá).物理學(xué)中的非線性方程[M].北京：北京大學(xué)出版社,2000.

[20]王軍民.修正的Korteweg de Vries-正弦Gordon方程的Riemannθ函數(shù)解[J].物理學(xué)報(bào),2012,61(8)：080201(1-5).

[21]套格圖桑,白玉梅.非線性發(fā)展方程的Riemann theta函數(shù)等幾種新解[J].物理學(xué)報(bào),2013,62(10)：100201(1-9).

[22]Taogetusang,Sirendaoerji,Li S M.New application to Riccati equation[J].Chin.Phys.B,2010,19(8)：080303(1-8).

[23]Taogetusang,Sirendaoerji,Li S M.In fi nite sequence soliton-like exact solutions of the(2+1)-dimensional breaking soliton equation[J].Commun.The.Phys.,2011,47(6)：949-954.

A NEW KIND OF METHOD TO SOLVING SOLUTIONS OF THE NONLINEAR COUPLING KDV EQUATIONS

YI Li-na,Taogetusang
(College of Mathematical Science,Inner Mongolia Normal University,Huhhot 010022,China)

In this paper,the problem of constructing the new in fi nite sequence complexion solution of the nonlinear coupled KdV equations is researched.With the help of the method combining the function transformation with the auxiliary equation,the new in fi nite sequence complexion solutions consisting by two of the Riemannθf(wàn)unction,Jacobi elliptic function,hyperbolic functions and trigonometric functions of the nonlinear coupled KdV equations are obtained.These solutions conclude two-solitions,double-periodic solutions and soliton solution and periodic solution complexion solutions.

the nonlinear coupled KdV equations;function transformation;the nonlinear superposition formula;new in fi nite sequence complexion solution

on：35B10;35Q51

O175.2

A

0255-7797(2017)04-0823-10

2016-01-05接收日期：2016-08-23

國(guó)家自然科學(xué)基金資助(11361040);內(nèi)蒙古自治區(qū)高等學(xué)校科學(xué)研究基金資助(NJZY16180);內(nèi)蒙古自治區(qū)自然科學(xué)基金資助(2015MS0128);內(nèi)蒙古自治區(qū)2016年碩士研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目(S20161013502);內(nèi)蒙古師范大學(xué)碩士研究生科研創(chuàng)新基金項(xiàng)目(CXJJS16081).

伊麗娜(1991-),女,蒙古族,內(nèi)蒙古通遼,碩士,主要研究方向：復(fù)雜系統(tǒng)的穩(wěn)定與控制.