雙指標非交換鞅的一些不等式

尹 磾,馬聰變

(武漢大學數學與統計學院,湖北武漢 430072)

雙指標非交換鞅的一些不等式

尹 磾,馬聰變

(武漢大學數學與統計學院,湖北武漢 430072)

本文研究了雙指標非交換鞅的一些不等式問題.利用單指標非交換鞅不等式的方法,獲得了雙指標非交換鞅的‖·‖Hp(M)和‖·‖hp(M)之間的關系(2≤p＜∞).推廣了雙指標非交換鞅的‖·‖Lp(M)和‖·‖hp(M)之間的等價關系(2≤p≤4).

von Neumann代數;雙指標鞅;Burkholder不等式;鞅Hardy空間

1 引言

非交換鞅空間理論是非交換數學中分析理論的有機組成部分,是當前泛函分析領域的前沿研究方向.從20世紀70年代,人們開始研究非交換鞅.為了研究非交換鞅空間,需要引進新的思想和方法.1971年Cuculescu[1]研究了非交換鞅的弱(1,1)型不等式并提出了著名Cuculescu構造以取代停時的方法.1997年Pisier和Xu[2]取得重大突破,他通過引進列均方函數與行均方函數對p＜2與p≥2分別定義了恰當的非交換鞅的Hardy空間Hp(M),并由此證明Burkholder-Gundy鞅不等式的非交換類比.隨后經過眾多數學家的努力,非交換鞅取得重要進展.到目前為止,絕大多數經典鞅的不等式都成功過渡到了非交換情形,例如條件均方函數的Burkholder不等式[3],Doob極大不等式[4],Stein不等式[2]等.

雙指標鞅是單指標鞅的自然推廣.在交換的情形,Weisz對雙指標鞅做了許多工作(見文[5]).Weisz的工作表明,從單指標到雙指標絕不是簡單的推廣,實際上很多在單指標鞅研究中常用的方法不能夠適用于雙指標鞅的情形.因此常常需要一些新的技巧和方法.

關于雙指標非交換鞅的研究目前尚屬起步階段.本文研究雙指標非交換鞅,證明了雙指標非交換鞅的一些不等式.包括雙指標非交換鞅的‖·‖Hp(M)和‖·‖hp(M)之間的關系,雙指標非交換序列的Stein不等式以及‖·‖Lp(M)和‖·‖hp(M)之間的等價關系.

2 定義與記號

首先回顧一下關于非交換Lp-空間的一些基本定義與記號.設(M,τ)是一個非交換概率空間,這里M是Hilbert空間H上的von Neumann代數,τ為M上的正規忠實的跡,滿足τ(1)=1.記L0(M)為關于(M,τ)的可測算子全體組成的拓撲?-代數.設1≤p＜∞,令

則(Lp(M),‖·‖p)是Banach空間,稱之為關于(M,τ)的非交換Lp-空間.當p=∞時,規定L∞(M)=M,且L∞(M)上的范數‖·‖∞為算子范數.設(Mn)n≥0是M的一列單調增加的子von Neumann代數,用En表示M到Mn的條件期望算子.Lp(M)中的序列x=(xn)n≥0稱為是關于(Mn)n≥0的鞅,若對任意的m≥n,有En(xm)=xn.關于非交換Lp-空間與非交換鞅的更詳細的介紹可參見文獻[6].

設N是非負整數的集合,N2={ (n1,n2)：n1,n2∈N}.在N2上定義半序如下：對任意的n=(n1,n2),m=(m1,m2)∈N2,定義n≤m當且僅當n1≤m1,n2≤m2以及n＜m若n≤m且n/m.設(Mn;n∈N2)是M的一列關于N2偏序單調增加的子von Neumann代數,并且在M中w?-稠密.對任意的n=(n1,n2)∈N2,用En或者En1,n2表示M到Mn的條件期望算子.一般地,對于M的任意一列子von Neumann代數(Nn;n≥0),令表示包含的最小的von Neumann代數.對每個(n1,n2)∈N2,定義

以后總是設(Mn;n∈N2)滿足(F4)條件：對任意的x∈M和任意的n=(n1,n2)∈N2,有

為了方便起見,規定對任意的x∈L1(M),當n1=0或者n2=0時,En1,n2(x)=0.

定義2.1設x=(xn,n∈N2)是L1(M)中的序列.稱x為關于(Mn)n∈N2的鞅,如果滿足

若進一步對每個n∈N2,有xn∈Lp(M)(1≤p≤∞),則稱x為關于(Mn)n∈N2的Lp-鞅.此時,令

若‖x‖p＜∞,則稱x為Lp-有界鞅.

設x=(xn,n∈N2)是關于(Mn)n∈N2的鞅,n=(n1,n2).令

約定當n1=0或者n2=0時,dxn=0,稱dx=(dxn)為x的鞅差序列.容易證明當(Mn)n∈N2滿足(F4)條件時,若(dxn,n∈N2)是鞅差序列,則En(dxm)=0(?nm).

為了定義關于雙指標非交換鞅的Hardy空間,先回顧一下非交換列空間與行空間的定義(詳見文[6]).

設1≤p＜∞,x=(xn)是Lp(M)中的有限序列.令

則‖·‖Lp(M,lc2)和‖·‖Lp(M,lr2)在Lp(M)的有限序列上定義了范數.相應的完備化空間分別記為.注意到對于Lp(M)中的一個序列(xn),如果在Lp(M)中有界,則極限存在.用表示這個極限,則

當1≤p＜∞時,CRp[Lp(M)]空間定義如下.

(i)當p≥2時,定義,賦予范數

(ii)當1≤p＜2時,定義,賦予范數

下面定義雙指標非交換鞅的Hardy空間Hp(M).設x=(xn,n∈N2)是一個鞅,令

如果(Sc,(n,n)(x))n≥1和(Sr,(n,n)(x))n≥1在Lp(M)中有界,令

稱Sc(x)和Sr(x)分別為鞅x=(xn,n∈N2)的列均方函數與行均方函數.

定義2.2(i)設1≤p＜∞.定義雙指標非交換鞅的列Hardy空間,

類似地,定義雙指標非交換鞅的行Hardy空間.

(ii)定義非交換鞅Hardy空間如下.

當1≤p≤2時,定義,賦予范數

當2≤p＜∞時,定義,賦予范數

注對一個雙指標鞅x=(xn,n∈N2)的鞅差序列dx=(dxn)n∈N2,把它重新編號變成一個單指標的序列,則可以把它視為一個單指標序列dx=(xn)(但是要注意的是xn)一般不是單指標的鞅差序列).因此,無論x=(xn)是單指標鞅還是雙指標鞅都有

下面定義雙指標非交換鞅Hardy空間hp(M).由于這里需要考慮雙指標有限鞅,為此先給出雙指標有限鞅的知識.設x=(xn,n∈N2)是一個鞅,k∈N,稱形如x(k)=(xn1∧k,n2∧k,(n1,n2)∈N2)為停止于k的有限鞅.

設1≤p＜∞,對Lp(M)中的有限鞅x=(xn),定義

則‖x‖hcp(M)=‖sc(x)‖p,‖x‖hrp(M)=‖sr(x)‖p.還需要考慮lp(Lp(M)),定義

定義2.3(i)設1≤p＜2.定義,賦予范數

(ii)設2≤p＜∞.定義,賦予范數

3 主要結果

在這一部分研究雙指標非交換鞅Hardy空間的一些不等式,包括雙指標非交換鞅的‖·‖Hp(M)和‖·‖hp(M)之間的關系,雙指標非交換序列的Stein不等式以及‖·‖Lp(M)和‖·‖hp(M)之間的等價關系.這些結果是關于單指標鞅相應的結果在雙指標鞅相應的推廣(見文[3]).

下面的定理3.1是這一節的主要結果.

定理3.1設x=(xn)n∈N2是Lp(M)中的鞅.則

(i) 當 1≤p≤2 時,有‖x‖Hp(M)≤Cp‖x‖hp(M);

(ii)當2≤p＜ ∞時,有‖x‖hp(M)≤p‖x‖Hp(M),其中Cp和p是只依賴于p的常數.

為證明上述定理,需要用到下面的一系列引理.

引理3.2[3,4]設(Mn)n≥1是M的一列單調遞增的子von Neumann代數,En表示M到Mn的條件期望算子.則對任意的有限序列,有

這里Cp是只依賴于p的正常數.

下面把引理3.2推廣到雙指標的情形.

引理3.3設(Mn)n∈N2是M的一列關于N2偏序單調遞增的子von Neumann代數,En表示M到Mn的條件期望算子,則對任意的有限雙指標序列,有

這里Cp與引理3.2中的Cp一致.

證 (i)利用(F4)條件和引理3.2,有

(ii)證明方法與(i)的證明是類似的.證畢.

推論3.4(雙指標序列的Stein不等式)設2≤p＜∞,則對Lp(M)中任意的有限雙指標序列(an),有

這里Cp與引理3.3中的Cp一致.

證利用引理3.3和不等式E(x)?E(x)≤E(|x|2),得到

定理證畢.

引理3.5設1≤p＜∞.則對任意的有限雙指標序列(xn)?Lp(M),有

(i)當2≤p＜∞時,

(ii)當1≤p≤2時,

證(i)將(xn)n∈N2進行重新編號為一個單指標的序列,再利用非交換單指標的結論(見文[7]),就得到所要證明的不等式.

(ii)證明方法與(i)的證明是類似的.引理證畢.

定理3.1的證明(i)先考慮有限鞅的情形.設x=(xn)為hp(M)中停止于k的有限鞅.設x=y+z+w是x的一個分解,其中y,z分別為中的有限鞅,,滿足dwk=0,?k(n,n).由于,由引理3.3(i),有

利用引理3.5(ii),得到

對x的所有分解取下確界,得到‖x‖Hp(M)≤Cp‖x‖hp(M).

一般情形,設x=(xn)n∈N2∈hp(M).對任意的k∈N,令x(k)=(xn1∧k,n2∧k)n∈N2.由上面證明得到‖x(k)‖Hp(M)≤Cp‖x(k)‖hp(M).再令k→∞得到‖x‖Hp(M)≤Cp‖x‖hp(M).

(ii)與(i)的證明類似,也先考慮有限鞅的情形.設x=(xn)為Hp(M)中停止于k的有限鞅.由引理3.3(ii)得到

一般情形,先考慮有限鞅,再取極限即得到所要的結論.定理證畢.

下面轉到雙指標非交換鞅的Burkholder不等式.要用到下面的雙指標非交換鞅的Burkholder-Gundy不等式.

引理3.6[7]設1＜p＜∞.x=(xn,n∈N2)是Lp(M)中的鞅,則x是Lp-有界鞅當且僅當x∈Hp(M).更確切地說,有這里的αp,βp是只與p有關的正常數.

定理3.7設2≤p≤4,x=(xn,n∈N2)是Lp(M)中的鞅,則x是Lp-有界鞅當且僅當x∈hp(M).更確切地說,有

這里的αp,βp為引理3.6中的常數,為定理3.1(ii)中的常數.

證首先證明第一個不等式.事實上,由定理3.1(ii)和引理3.6可知

接下來證明第二個不等式.由引理3.6知‖x‖p≤βp‖x‖Hp(M).下面只需再證明

不妨設‖x‖hp(M)≤1.有

令|dxn|2=En-1|dxn|2+dyn(n∈N2),這里dyn=|dxn|2-En-1|dxn|2.注意到,有

這里y是一個鞅.注意到,利用引理3.5(ii)和引理3.6,得到

定理證畢.

由定理3.7和定理3.1(ii)得到如下推論.

推論3.8設2≤p≤4,對任意的Lp-有限鞅x=(xn,n∈N2),有

證第二個不等式直接由定理3.1得到.對于第一個不等式,由引理3.6和定理3.7得到.證畢.

[1]Cuculescu I.Martingales on von Neumann algebras[J].J.Multi.Anal.,1971,1：17-27.

[2]Pisier G,Xu Quanhua.Non-commutative martingale inequalities[J].Comm.Math.Phys.,1997,189：667-698.

[3]Junge M,Xu Q.Noncommutative Burkholder/Rosenthal inequalities[J].Ann.Prob.,2003,31：948-995.

[4]Junge M.Doob’s inequalities for non-commutative martingales[J].J.Reine Angew.Math.,2002,549：149-190.

[5]Weisz F.Martingale Hardy spaces and their application in Fourier analysis[M].Berlin：Springer-Verlag.1994.

[6]Pisier G,Xu Quanhua.Non-commutativeLp-spaces[M].Vol.II,Holland：Elsevier,2003.

[7]曹芳.雙指標非交換鞅的收斂性和不等式[J].數學雜志,2015,35(6)：1511-1520.

INEQUALITIES OF TWO-PARAMETER NONCOMMUTATIVE MARTINGALES

YIN Di,MA Cong-bian
(School of Mathematics and Statistics,Wuhan University,Wuhan 430072,China)

In this paper,we discuss the inequalities of two-parameter noncommutative martingales.By using the inequalities of one-parameter noncommutative martingales methods,we obtain the relation between‖ ·‖Hp(M)and‖ ·‖hp(M)of two-parameter noncommutative martingales(2≤p＜∞),which generalize the equivalence relation between‖·‖Lp(M)and‖·‖hp(M)of two-parameter noncommutative martingales(2≤p≤4).

von Neumann algebra;two-parameter martingales;Burkholder inequalities;martingale Hardy spaces

on：46L52;46L53;60G42

O177.5

A

0255-7797(2017)04-0851-08

2015-07-10接收日期：2015-09-14

國家自然科學基金資助(11271293;11471251).

尹磾(1991-),男,湖南益陽,碩士,主要研究方向：Hp鞅論.