帶可積時滯的非線性中立型微分方程的h-漸近穩定性

黃明輝

（廣州華夏職業學院基礎部，廣東廣州510935）

帶可積時滯的非線性中立型微分方程的h-漸近穩定性

黃明輝

（廣州華夏職業學院基礎部，廣東廣州510935）

采用Krasnoselskii不動點定理證明帶可積時滯的非線性中立型微分方程零解的h-漸近穩定性.進一步推廣了Pinto and Sepulveda的定理，并提供了一個例子加以說明所得的結果.

h-漸近穩定；large contraction；非線性

近來，不動點理論已經成為時滯微分方程的穩定性和周期性研究的主要工具之一［1-6］.重要研究非線性中立型微分方程：

其中a（t），g（t），yi（t）和g（t,x,y）在各自定義的區間中是連續的.方程（1）的特殊形式近年來引起了許多研究者的注意［2-3,5］.本文采用Krasnoselskii不動點定理研究方程（1）零解的h-漸近穩定性，并推廣Pinto and Sepulveda［3］的結論.

1 預備知識

設時滯函數di，di（t）=1-yi（t）≥0,i=1,2可以是有界或無界的時滯.定義：

考慮初始閉區間[p（τ），τ]（若p（τ）=-∞則[-∞，τ]）.對于初始條件，方程（1）為一個自然的矢量空間：BC（τ）={φ∶[p（τ），τ]→R|φ是一個有界連續函數}.

引理1x（t）=x（t,τ,φ）方程（1）的一個解當且僅當：

證方程（1）的形式重新表示為：

2 主要結果及證明

方程（1）x'（t）=a（t）x3（t）+b（t）x'（y1（t））+g（t,x（t）,x（y2（t）））中，g（t,0,0）=0,yi（t）≤t,i=1,2,t∈R.設σ∈（0，1）和Di（t）,Mi（t）=R→R+,i=1,2,定義：

假設：（H1）（1）函數a∶R→R，滿足∶

（2）y1和B=是連續可積的，yi:=R+→R是連續且：

（H2）（1）g是連續函數，x1，x2，y1，y2∈R.ε＞0，存在δ＞0和λ:R→R+，當x1-x2,y1-y2＜δ，有：

同時，存在非減連續函數v:R+→R+使得：

（H3）（1）對0＜σ＜1，λ和M2滿足：

（2）假設：

（H4）假設：

定理1如果（H1），（H2），（H3）和（H4）成立，則方程（1）的零解是hσ-漸近穩定的，即存在σ＞0，對‖φ‖＜δ，有：

其中c=（1+‖B‖）eL(1-σ)，L是方程（4）中給定的.

顯然PS?B.定義算子Γ1,Γ2：

下面證明Γ1S?S.對?x∈S，由方程（8）、（9）和（13），選擇足夠小的δ，得：

因此Γ1S?S.下面證明Γ1是完全連續的.先證Γ1的連續性.設η＞0，由方程（7）可得，存在δ＞0，使得當x,y∈S及‖x-y‖＜δ，有：

由（H3）可得，Γ1x（t）-Γ1y（t） ＜η.

進一步證明，Γ1S在每一個緊區間上是等連續的.對x∈S，由方程（8）、（9）和（13）以及h（1u）在每個緊集都是正……