帶可積時(shí)滯的非線性中立型微分方程的h-漸近穩(wěn)定性

黃明輝

（廣州華夏職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣東廣州510935）

帶可積時(shí)滯的非線性中立型微分方程的h-漸近穩(wěn)定性

黃明輝

（廣州華夏職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部，廣東廣州510935）

采用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理證明帶可積時(shí)滯的非線性中立型微分方程零解的h-漸近穩(wěn)定性.進(jìn)一步推廣了Pinto and Sepulveda的定理，并提供了一個(gè)例子加以說(shuō)明所得的結(jié)果.

h-漸近穩(wěn)定；large contraction；非線性

近來(lái)，不動(dòng)點(diǎn)理論已經(jīng)成為時(shí)滯微分方程的穩(wěn)定性和周期性研究的主要工具之一［1-6］.重要研究非線性中立型微分方程：

其中a（t），g（t），yi（t）和g（t,x,y）在各自定義的區(qū)間中是連續(xù)的.方程（1）的特殊形式近年來(lái)引起了許多研究者的注意［2-3,5］.本文采用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究方程（1）零解的h-漸近穩(wěn)定性，并推廣Pinto and Sepulveda［3］的結(jié)論.

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)時(shí)滯函數(shù)di，di（t）=1-yi（t）≥0,i=1,2可以是有界或無(wú)界的時(shí)滯.定義：

考慮初始閉區(qū)間[p（τ），τ]（若p（τ）=-∞則[-∞，τ]）.對(duì)于初始條件，方程（1）為一個(gè)自然的矢量空間：BC（τ）={φ∶[p（τ），τ]→R|φ是一個(gè)有界連續(xù)函數(shù)}.

引理1x（t）=x（t,τ,φ）方程（1）的一個(gè)解當(dāng)且僅當(dāng)：

證方程（1）的形式重新表示為：

2 主要結(jié)果及證明

方程（1）x'（t）=a（t）x3（t）+b（t）x'（y1（t））+g（t,x（t）,x（y2（t）））中，g（t,0,0）=0,yi（t）≤t,i=1,2,t∈R.設(shè)σ∈（0，1）和Di（t）,Mi（t）=R→R+,i=1,2,定義：

假設(shè)：（H1）（1）函數(shù)a∶R→R，滿足∶

（2）y1和B=是連續(xù)可積的，yi:=R+→R是連續(xù)且：

（H2）（1）g是連續(xù)函數(shù)，x1，x2，y1，y2∈R.ε＞0，存在δ＞0和λ:R→R+，當(dāng)x1-x2,y1-y2＜δ，有：

同時(shí)，存在非減連續(xù)函數(shù)v:R+→R+使得：

（H3）（1）對(duì)0＜σ＜1，λ和M2滿足：

（2）假設(shè)：

（H4）假設(shè)：

定理1如果（H1），（H2），（H3）和（H4）成立，則方程（1）的零解是hσ-漸近穩(wěn)定的，即存在σ＞0，對(duì)‖φ‖＜δ，有：

其中c=（1+‖B‖）eL(1-σ)，L是方程（4）中給定的.

顯然PS?B.定義算子Γ1,Γ2：

下面證明Γ1S?S.對(duì)?x∈S，由方程（8）、（9）和（13），選擇足夠小的δ，得：

因此Γ1S?S.下面證明Γ1是完全連續(xù)的.先證Γ1的連續(xù)性.設(shè)η＞0，由方程（7）可得，存在δ＞0，使得當(dāng)x,y∈S及‖x-y‖＜δ，有：

由（H3）可得，Γ1x（t）-Γ1y（t） ＜η.

進(jìn)一步證明，Γ1S在每一個(gè)緊區(qū)間上是等連續(xù)的.對(duì)x∈S，由方程（8）、（9）和（13）以及h（1u）在每個(gè)緊集都是正連續(xù)可得，對(duì)?ε＞0，存在δ＞0，使得當(dāng)t-v＜δ，有：

其中R=2c‖φ‖‖hσ‖.因此Γ1x在每個(gè)區(qū)間[τ,τ+n]上是等連續(xù)的以及Γ1S?S，故Γ1是緊算子.接下來(lái)證明，存在一個(gè)δ＞0，使得對(duì)?x,y∈S=S（δ）,‖φ‖≤δ,有Γ1x+Γ2y∈S，即B中的一個(gè)非空凸緊集S，使得PS?S.

對(duì)于（H2）中的假設(shè)v，存在δ＞0，使得對(duì)‖φ‖≤δ，對(duì)x,y∈S，由方程（4）、（12）和（13）得：

所以，對(duì)?x,y∈S,‖φ‖≤δ，選取足夠小的δ，由（H3）和（H4）得：

H在上確界范數(shù)中是一個(gè)large contraction，其證明可見(jiàn)文獻(xiàn)［2］.接著證明Γ2在S上是一個(gè)large contraction.對(duì)?x,y∈S,x≠y，有‖Hx-Hy‖≤‖x-y‖.因此，由方程（4）得：

用同樣的方法，存在δ∈（0,1），可證Γ2x-Γ2y≤δ‖x-y‖.及對(duì)?ε＞0，有：

3 范例

為了說(shuō)明文中的結(jié)論，下面給出中立型微分方程：

對(duì)t≥τ≥0以及初始條件x（t）=φ（t）,t≤τ.上面的中立型微分方程與（2）的形式相同，其中對(duì)給定常數(shù)β的條件，將結(jié)果應(yīng)用到方程（14）可得：

顯然（H1）成立.由于：

如果：

由（15）和（16）得：

4 結(jié)論

本文采用Krasnoselskii不動(dòng)點(diǎn)定理研究非線性中立型微分方程的h-漸近穩(wěn)定性，將文獻(xiàn)中的線性項(xiàng)進(jìn)一步推廣成，并給出范例加以說(shuō)明.對(duì)于文中的非線性項(xiàng)可推廣成更一般的非線性項(xiàng)，只需改變或增加一些條件,依然能證明非線性中立型微分方程的h-漸近穩(wěn)定性.

［1］Burton T A.Liapunov functionals,fixed points,and stability by Krasnoselskii’s theorem[J].Nonlinear Studies,2002,9(2):181-190.

［2］Burton T A.Stability by fixed point theory for functional differential Equations[M].New York:Dover Publications,2006.

［3］Manuel Pinto,Daniel Sepúlveda.H-asymptotic stability by fixed point in neutral nonlinear differential equations with delay[J].Nonlinear Analysis,2011,74(4)：3926-3933.

［4］Raffoul Y N.Positive periodic solutions in neutral nonlinear differentral equations[J].J Qual Theory Diff Equa，2007（16）：1-10.

［5］Ernest Yankson.Existence of periodic solutions for totally nonlinear neutral differential equations with functional delay[J].Opuscula Mathematica,2012，3(32):617-627.

H-asymptotic Stability by Fixed Point in Nonlinear Neutral Differential Equations with Functional Delay

HUANG Ming-hui
（Department of Basic,Guangzhou Huaxia Technical College,Guangzhou 510935,Guangdong,China）

In this article,it used a variant of Krasnoselskii's fixed point theorem to obtain h-asymptotic stability results about the zero solution of nonlinear neutral differential equations with functional delay.The results promoted the thermo of Pinto and Sepulveda and provided an example that illustrates the results.

h-asymptotic stability;large contraction;nonlinear

0175.14

A

1007-5348（2017）06-0011-05

（責(zé)任編輯：邵曉軍）

2017-03-16

廣東省自然科學(xué)基金（2015A030310390）.

黃明輝（1988-），男，廣東從化人，廣州華夏職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部講師，碩士；研究方向：微分動(dòng)力系統(tǒng).