一類切線問題的類比

葉扣

【摘要】在高中數學中，經常會遇到已知圓的方程和圓上一點求過這一點圓的切線方程的問題，并得出了相關公式.通過類比發現圓錐曲線也有類似結論，本文在此基礎上通過近年來的高考題和模考題介紹了這些結論的應用.

【關鍵詞】切點；切線；切線方程；曲線

直線和曲線的位置關系既是高考的重點也是難點，而直線與曲線的相切是一種非常重要的位置關系，本文介紹了這一類切線問題具有的共同結論并用高中知識加以證明，希望能給大家的學習提供一些幫助.

結論1經過圓C：（x-a）2+（y-b）2=r2上一點p（x0，y0）的切線l方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

證明若切線l的斜率存在且不為0，kcp=y0-b1x0-a，kl=-x0-a1y0-b，所以切線l的方程為y-y0=-x0-a1y0-b（x-x0），整理得（x0-a）（x-x0）+（y0-b）（y-y0）=0，變形為（x0-a）[（x-a）-（x0-a）]+（y0-b）[（y-b）-（y0-b）]=0，從而得（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=（x0-a）2+（y0-b）2，所以（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r2.

若切線l的斜率不存在或為0時，上式也成立.

綜上可見結論1成立.

說明：類似可以證明經過圓x2+y2+Dx+Ey+F=0（其中D2+E2-4F>0）上一點p（x0，y0）的切線l方程為x0x+y0y+Dx+x012+Ey+y012+F=0.

結論2經過橢圓x21a2+y21b2=1（其中a≠b）上一點p（x0，y0）的切線l方程為x0x1a2+y0y1b2=1.

證明若切線l的斜率存在時，設l方程為y-y0=k（x-x0），由方程組b2x2+a2y2=a2b2，

y=kx+y0-kx0， 得（b2+a2k2）x2+2a2k（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0，令Δ=0，得[2a2k（y0-kx0）]2-4（b2+a2k2）[a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化簡得（a2-x20）k2+2kx0y0+b2-y20=0，又由于（2x0y0）2-4（a2-x20）（b2-y20）=4（a2y20+b2x20-a2b2）=0，所以k=x0y01x20-a2，l的方程為y-y0=x0y01x20-a2（x-x0），整理得（y-y0）（x20-a2）=x0y0（x-x0），于是（x20-a2）y+y0a2=x0y0x，從而[a2（1-y201b2）-a2]y=y0（x0x-a2），化簡-a2y0y=b2（x0x-a2），即x0x1a2+y0y1b2=1.

若切線l的斜率不存在時，切線方程也符合x0x1a2+y0y1b2=1.

綜上可見結論2成立.

結論3經過雙曲線x21a2-y21b2=1上一點p（x0，y0）的切線l方程為x0x1a2-y0y1b2=1.

證明若切線l的斜率存在時，設l方程為y-y0=k（x-x0），由方程組b2x2-a2y2=a2b2，

y=kx+y0-kx0， 得（b2-a2k2）x2-2a2k（y0-kx0）x-a2（y0-kx0）2-a2b2=0，令Δ=0，得[2a2k（y0-kx0）]2-4（b2-a2k2）[-a2（y0-kx0）2-a2b2]=0，化簡得（a2-x20）k2+2kx0y0-b2-y20=0，又由于（2x0y0）2-4（a2-x20）（-b2-y20）=4（b2x20-a2y20-a2b2）=0，所以k=x0y01x20-a2，所以l的方程為y-y0=x0y01x20-a2（x-x0），整理得（y-y0）（x20-a2）=x0y0（x-x0），于是（x20-a2）y+y0a2=x0y0x，從而[a2（1+y201b2）-a2]y=y0（x0x-a2），化簡a2y0y=b2（x0x-a2），所以x0x1a2-y0y1b2=1.

若切線l的斜率不存在時，切線方程也符合x0x1a2-y0y1b2=1.

綜上可見結論3成立.

說明：對于焦點在y軸的雙曲線也有相應結論成立.

結論4經過拋物線x2=2py上一點p（x0，y0）的切線l方程為x0x=p（y0+y）.

證明若切線l的斜率存在時，設l方程為y-y0=k（x-x0），由方程組x2=2p，

y=kx+y0-kx0， 得x2-2pkx-2p（y0-kx0）=0，令Δ=0，得（-2pk）2-4[-2p（y0-kx0）]=0，整理得pk2-2x0k+2y0=0，又由于（-2x0）2-8py0=4（x20-2py0）=0，所以k=x01p，因此，l的方程為y-y0=x01p（x-x0），整理得x0x=p（y0+y）.

若切線l的斜率不存在時，切線方程也符合x0x=p（y0+y）.

綜上可見結論4成立.

說明：對于焦點在y軸的拋物線也有相應結論成立.

當前，素質教育已經向我們傳統的高中數學教學提出了更高的要求，也就是對教師提出了更高的要求.現在的學生普遍感覺高中數學難學，知識點多，不能把所學的知識靈活運用.但只要我們堅持以學生為主體，以培養學生的思維發展為己任，則勢必會提高高中數學教學質量，擺脫題海戰術，真正減輕學生學習數學的負擔，從而為提高高中學生的整體素質做出我們數學教師應有的貢獻.