管窺《九章算術》，傳承數學文化

桂淑伊

數學文化是新課程的基本理念，數學文化被看作是理解數學的一種途徑.《普通高中數學課程標準（實驗）》把數學文化作為教學內容并提出教學要求，明確指出：“數學是人類文化的重要組成部分.數學課程應適當介紹數學的歷史、應用和發展趨勢、數學對推動社會發展的作用、數學的社會需求、社會發展對數學發展的推動作用、數學科學的思維體系、數學的美學價值、數學家的創新精神.數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用，逐步形成正確的數學觀.”數學課程改革的一個重要的標志就是數學文化走進了數學課程標準和中小學數學教科書.

教育部對2017年高考的各學科考試大綱進行了修訂，修訂的主要內容之一是增加中華優秀傳統文化的考核內容，積極培育和踐行社會主義核心價值觀，充分發揮高考命題的育人功能和積極導向作用.體現在數學學科主要修訂內容之一是在能力要求內涵方面，增加了基礎性、綜合性、應用性、創新性的要求，增加了數學文化的要求.同時對能力要求進行了說明，使能力要求更加明確具體.

那么，如何考查數學文化呢？

數學文化的考查應該是利用數學文化作為載體，來考查數學知識和方法.《九章算術》是中華民族的優秀傳統文化瑰寶，系統地總結了我國古代先民們的優秀數學思想.下面以近幾年高考試卷中源于《九章算術》的試題案例，賞析傳承的數學文化，

案例一（2015年高考全國卷Ⅰ文、理科試卷上的第6題）《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數學名著，書中有如下問題：“今有委米依恒內角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內墻角處堆放米（如圖所示，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆里底部弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知一斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）.

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

此題源于《九章算術》卷第五《商功》之[二五]，將古代文化“依垣”和現代教育元素“圓錐”結合.

解題思路：因為米堆為一個圓錐的四分之一，由米堆底部的弧長為8尺，可知圓錐底面圓的四分之一圓周長為8尺，從而可得米堆的底面半徑R=161π尺.又圓錐的高為5尺，可算得米堆的體積為V=32013π立方尺，所以可估算出米堆約有22斛.答案B.

試題以《九章算術》中的問題為背景，其一傳承了中國文化，其二考查了考生的應用意識與模型思想.根據米堆形狀和所給條件計算出堆放米的體積，這些都體現了高中課程標準對立體幾何的教學要求，也體現了新一輪高中課程改革的要求，是課程標準要求考生必須具備的技能.試題強化了數學文化的傳承和數學應用意識的培養，有利于考生進一步理解數學的價值，有利于考生進一步理解數學知識在生活實際中的應用，有利于考生未來的數學發展.

案例二（2015年高考全國卷Ⅱ第8題）下邊程序框圖的算法思路源于我國古代數學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執行該程序框圖，若輸入的a，b分別為14，18，則輸出的a=（）.

A.0B.2C.4D.14

此題源于《九章算術》卷第一《方田》之[六]“又有91分之49.問約之得的幾何”“可半者半之，不可半者，副置分母、子之數，以少減多，更相減損，求其等也.以等數約之”，后人稱之為“更相減損術”.

解題思路：由程序框圖輸入a=14，b=18，按程序框圖所示依次執行，那么輸出的a=2.答案B.

本題不僅要考查考生對程序框圖基本邏輯結構以及算法的含義、算法思想的理解和掌握程度，而且要使考生深刻地認識到中華民族優秀傳統文化的博大精深和源遠流長，意識到傳承中華民族的優秀傳統文化既任重道遠又義不容辭，進而更寄望于他們創造出無愧于偉大時代的成就.

隨著信息技術的飛速發展，解決問題的算法思想與演繹推理一樣，已經成為現代人應具備的一種數學修養，因此，熟練掌握某些常用算法應該成為考生必須具備的基礎知識.該題的設計面向全體考生，使考生在解決具體數學問題的過程中理解程序框圖的基本邏輯結構并據此決定執行各個功能框的先后次序，進而加深理解算法思想并在實踐中自覺運用.試題較準確地把握了算法教學的能力要求，突出了傳承中華優秀傳統文化的重要性與必要性.

案例三（2015年高考湖北數學文科卷第20題、理科卷第19題）《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.

如圖1，在陽馬P-ABCD中，側棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，點E是PC的中點，連接DE，BD，BE.

（文科Ⅰ）證明：DE⊥平面PBC.試判斷四面體EBCD是為否鱉臑.若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由.

（文科Ⅱ）記在陽馬P-ABCD的體積為V1，四面體EBCD的體積為V2，求V11V2的值.

如圖2，（理科Ⅰ）證明：PB⊥平面DEF.試判四面體DBEF是否為鱉臑.若是，寫出其每個面的直角（只需寫出結論）；若不是，請說明理由.

（理科Ⅱ）若面DEF與面ABCD所成的二面角的大小為π13，求DC1BC的值.

試題背景源于《九章算術》卷第五《商功》之[一五].今有陽馬，廣五尺，袤七尺，高八尺.問積幾何；之[一六]今有鱉臑，下廣五尺，無袤；上袤四尺，無廣；高七尺.問積幾何.考題將“陽馬”“鱉臑”相結合，以《選修2-1》P109例4為源進行有機整合，使考題源于教材而又高于教材.

解題思路：我們可以看出，雖然“陽馬”“鱉臑”兩個詞語出自于《九章算術》，但題目中已經對這兩個詞語的含義進行了現代文解釋，此題中的生僻字不會對考生解題帶來困擾.就試題的難度而言，文科比較容易，理科對考生思維的要求略高一些.理科第1小題證明DE⊥平面PBC，則易證PB⊥平面DEF，且依據以上兩個線面垂直的關系就可以判斷四面體DBEF是鱉臑了.第2小題，考生可以先作出平面DEF與平面ABCD的交線，通過證明兩個平面的交線與平面PBD垂直，從而證明∠FDB就是題中所指大小為π13的二面角的平面角，然后，利用已知求解DC1BC的值.當然考生也可以選擇空間向量的方法求解，思維過程將會容易一些.

《九章算術》是中國古代數學的代表性著作之一，也是我國古代最重要的數學經典名著.其內容十分豐富，都是與生產、生活息息相關的知識和內容，它采用問題集的形式，收錄了246個與生活、生產實踐有密切聯系的應用題.每道題由問（題目）、答（答案）和術（解題的步驟）三部分組成.這些問題按著性質和解法隸屬于方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股共九章.

縱觀以《九章算術》為題源的高考試題賞析，試題向廣大考生展現了中華民族的優秀傳統文化，激發了他們的民族自豪感.對廣大考生創新能力的培養將起到積極的作用，試題的設計引導考生通過了解數學文化，體會數學知識與方法在認識現實世界中的重要作用.

【參考文獻】

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