列方程解應用題教學淺見

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眾所周知，列方程解應用題歷來是初中數學教學的重點，更是難點.傳統的教學方法總是按題目內容分類（如，行程問題、工程問題等）并進行解法的探討和研究，也因此，形成了一些行之有效的教學模式與方法.但是，倘能從根本上解決列方程的標準問題，其教學或許能事半功倍，甚至達成“一役而三役濟”的效果.

一、列方程要重視過渡階段的教學

“分散難點，各個擊破”是列方程解應用題應該遵循的教學原則，所以，在學習代數式與整式加減時，就可著手訓練學生把文字式的數量關系翻譯成代數式的能力，使學生學會并習慣于用字母表示數，以培養學生的抽象思維能力.

其次，要訓練學生善于把文字敘述的題目數學符號化，逐步實現學生從算術解題思路向代數解題思路的轉化.在有些版本的教材里，在學生學習正負數有理運算的前后，結合小學里學過的一些簡單算術題采取列方程的教學形式，再利用“等量加（減）等量和（差）相等”的原理來求解，然后，和它的算術解法相對照，使學生探究發現用算術方法解題就是把解題思路和解題方法聯系起來考慮.這樣思路既不容易清晰明白，步驟也不明確；反之，如果采用代數解法，步驟明確，方法新穎，而且有規律可循，就化難為易了.如此，既可以培養學生學習代數知識的興趣，又為學生進一步學習列方程解應用題做好了鋪墊.

再次，在列方程解應用題的入門教學時，多數題目是按照“三度量”關系來列等式的，如，距離=速度×時間，總價=單價×件數，工作量=工效×工時等等.這些公式在準備工作中也應該放在重要的地位上，而且這些知識都可以在學習代數式的相應章節里聯系小學的舊知識加以拓展，使它在列方程解應用題的教學中起到正遷移的作用.

最后，學生在學習解方程的過程中，可嚴格訓練，使學生能夠準確無誤地進行迅速合理的運算，且能正確驗根.把列方程和解方程的兩個步驟區分開來，這就把列方程解應用題的難點分散開來處理了，為日后列方程解應用題創造了良好的條件.

總之，列方程解應用題必須使學生闖過翻譯關、思路關、列方程和解方程這四個關口，才能順利利用方程解應用題.

二、列方程要重視不變量的研究

方程的形式一般為：f（x）=ξ（x）.其中x并不是變量，而是未求出的未知量，它是個確定量.這樣就可以看出用等號連接起來的兩個量f（x）和ξ（x）僅是形式不同而實質一樣的確定量.不妨把這種量稱為不變量.即一旦設定某未知量為x時，那么根據應用題中的內容，必然可以找到含有x的兩個形式不同、實質一樣、有相等關系的確定量f（x）與ξ（x）.

1.當確定量ξ（x）=c（常量）時，題目中一定存在一個明顯的確定量c，它等于含有未知量x的確定量f（x），即f（x）=c，不妨把量c叫作顯在不變量，我們可以它作為標準來列方程.

例1已知某戰車在公路和小路上的速度分別為40千米/時，30千米/時.現這個戰車在516小時內行30千米.問它在公路上和小路上行了多少千米？

解法1根據題意，戰車在公路和小路上的速度是確定的，它所行的總路程和總時間也是已知的.若設戰車在公路上行駛x千米，則在小路上行駛（30-x）千米.根據行程的“三度量”關系求出戰車在公路和小路上分別用的時間.至此，就可用題目中已知的總時間516小時作為顯在不變量，并以它為標準列得方程：x140+30-x130=516，x=20.

解法2如設戰車在公路上行駛x小時，利用間接法同樣可以求出戰車在公路和小路行駛的里程數.為此，就可用題目中已知的總路程30千米作為顯在不變量，并以之為標準列得方程：40x+30516-x=30，x=112.

比較兩種解法，不難發現所設未知量的內容不同，顯在不變量就不同，導致列方程的標準就有了改變，列方程和解方程也就因此有了繁簡和難易之分.所以，我們在列方程解應用題時，首先，要考慮題目中是否有顯在不變量，若有多個，就可以一個恰當的顯在不變量作為列方程的標準，以簡化解題過程.

2.當確立量ξ（x）不是表現為一個常量，而是一個含有未知量x的量，不妨把這個確定量稱為潛在不變量.即在所給題目中雖然沒有直接表現出某個常量作為顯在不變量，但從已知量和未知量潛在的變化關系中可以確定出某個量是不變的，并可以用這個量作為標準列方程.

例2某學生騎自行車以12千米/時的速度下山，而后以9千米/時的速度過平路到達目的地，共耗時11112小時；他返回時，以8千米/時過平路，再以4千米/時上山回到家中，共耗時1.5小時.問學生家距目的地多遠？

解法1解此題目，只要分別求出山路和平路長后，全長就水到渠成.但根據題意，不管該學生騎車往返速度怎樣變化，題中雖然也未給出山路或平路的路程，但平路長和山路長總是個確定量，我們就可以用確定量山路長或平路長作為標準來列方程.

如果設山路長為x千米，因學生騎車往返所需的總時間是已知的，且騎車的速度變化也是已知的，這時路長就是個潛在不變量，通過學生往返的過程就可用平路長作為標準列出方程：911112-x112=81.5-x14，x=3.

解法2如設平路長為x千米，就可用山路長作為標準列方程：1211112-x19=4312-x18，x=6.

通過這個例子可以看出，方程的兩邊必須是同類的量；同時從上述兩例也可得知，應用題按列方程的標準可分為顯在不變量型和潛在不變量型兩類.因此，在分析題意時，著重從各種數量變化關系里找出標準不變量列方程是解應用題的關鍵.

行文至此，我們完全可以明白，列方程的標準就是在審題過程中尋找到的某個確定的不變量，并以之作為列方程的依據.

三、列方程要認真分析語句

我們在研究應用題的過程中，不難發現題目陳述信息中包含了關于已知條件、結論、數量之間變化關系的三類語句，后者則是列方程的著眼點.因此，教師或學生在掌握了題目中的條件和結論的前提下，一定要從整體出發，認真思索，深入挖掘，著重分析有變化關系的語句，再從變化的形式里找出不變的因素，確定出列方程的標準依據，才能順利地解決問題.這也就是通常所說的抓主要矛盾的方法.

例3某個任務，由甲獨做，3天才能完成；由已獨做，6天才能完成.那么甲乙二人合做幾天可以完成？

解此題比較簡單，除了后面那個語句是關系語句和結論外，其他語句都是條件.但由于其中沒有說明任務的工作量是多少.傳統的教學法就把它看作單位1，這就比較抽象，使初學的人難于理解.實際上，它指的既可以是一件東西，也可以是一堆東西，多少雖然是不定的，但它有確定的內容，這是一方面.其次，此題也暗示著這任務雖然也是一個條件，但是它在解題的最后過程中卻游離于題目之外，因此，它是一個參變量.為了把抽象事物具體化，便于理解，可以把它作為參數a考慮，使問題明朗化，并且具有直觀性.因此，筆者認為參數的引入，是理解題意的橋梁、思考問題的手段，應該引起人們重視.

設這個任務的工作量為a，且兩人合作x天可以完成.根據“三度量”關系：工作量=效率×時間，得a13x+a16x=a，x=2.

例4某儀器制造廠按計劃每天生產20臺儀器，到預定期內尚差100臺不能完成任務.若提高工效25%，到期就將超額50臺完成任務.問原計劃生產儀器多少臺？預定期限是多少天？

解如設原計劃生產儀器x臺，則根據題目中的關系語句，就須以預定天數做標準列方程，這是一般的想法.如果深挖題意，不難發現增加的150=（100+50）臺儀器是從提高工效25%獲得的，那么就要設預定期限為x天，以顯在不變量150臺為標準列出一個最簡方程20x·25%=100+50，x=30.

由此說明：列方程與選取未知量有著極為密切的關系；嚴格審題、深挖題意則是十分重要的.同時，還說明利用顯在不變量和潛在不變量做標準列方程是可以互相轉化和靈活運用的，也是有規律可循的.

以上文字，僅是筆者在列方程解應用題教學時的初步嘗試和點滴體會，今不揣拙淺，托出與同行交流，但愿“吾山之石”能引得“他山之玉”.