淺析完全平方公式的變形應用

何丹丹

【摘要】完全平方公式：（a+b）2=a2+2ab+b2 ①，（a-b）2=a2-2ab+b2 ②，即兩數(shù)和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.

完全平方公式的幾種常見變形：

1.a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab=112[（a+b）2+（a-b）2].

2.ab=114[（a+b）2-（a-b）2].

3.（a+b）2=（a-b）2+4ab.

4.（a-b）2=（a+b）2-4ab.

延伸：a2+11a2=a+11a2-2=a-11a2+2.

推廣：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

【關鍵詞】完全平方公式；變形

完全平方公式的運用是初中代數(shù)的一個難點，學生會存在各種誤區(qū)，如，（1）（a±b）2=a2±b2，這是與積的乘方公式混淆運用的典型錯誤；（2）（-a+b）2=a2+2ab+b2，這是對完全平方公式中間項符號的理解不到位，對于完全平方公式的兩個公式的中間項符號，學生會簡單地用b前的符號來直接判斷，正確的理解是由a，b這兩項的符號共同來決定中間項符號.若a，b同號，則中間項符號取正，若a，b異號，則中間項符號取負.只要把握好完全平方公式的特征，歸納總結完全平方公式的幾種常見題型，就能讓學生較好地運用完全平方公式.下面簡單地歸納一下完全平方公式及其變形的幾種常見題型.

一、利用完全平方公式來簡便計算

例11542+154×92+462.

分析：這是一個三項式，并且首尾兩項都是平方形式，這兩種特征同時滿足，很自然會想到完全平方公式，同時還發(fā)現(xiàn)92=2×46，從而可以運用完全平方公式進行簡便運算.

解原式=1542+2×154×46+462=（154+46）2=2002=40 000.

點評：這道題中154，46都是數(shù)，還可以變?yōu)楹帜傅膯雾検交蛘呤嵌囗検?重點是對完全平方公式的形式理解到位，公式的左邊是兩個完全相同的多項式的乘積，右邊是個三項式，其中兩項是平方形式.

例2（2x+3y）2-2（2x+3y）（2x-3y）+（2x-3y）2.

分析令a=2x+3y，b=2x-3y，則原式=a2-2ab+b2，從而可以運用完全平方公式進行簡便計算.

解原式=[（2x+3y）-（2x-3y）]2=（2x+3y-2x+3y）2=36y2.

點評：例2是例1的延伸，即把數(shù)換成了多項式.這道題運用換元法將一道看似復雜的題目轉(zhuǎn)換成簡單的形式a2-2ab+b2，引導學生不要輕易被眼前的困難打倒，只要找出規(guī)律就可化繁為簡.

二、完全平方公式的變形應用

例3已和a-b=3，ab=2，求代數(shù)式a2+b2的值.

分析運用公式a2+b2=（a-b）2+2ab進行變形，再將已知條件進行整體代入.

解∵a-b=3，ab=3，

∴a2+b2=（a-b）2+2ab=32+2×2=13.

點評：這道題是對完全平方公式進行變形運用的典型題，在選擇、填空題中出現(xiàn)的頻率非常高.已知條件也可以變化為給定a+b的值，再運用公式a2+b2=（a+b）2-2ab進行變形.

例4已知a2-b=a（a+1）+3，求代數(shù)式a2+b212+ab的值.

分析要求的代數(shù)式無法直接用已知條件所給的形式進行變形，因此，就要考慮先對已知條件做出適當?shù)幕喿冃危玫絘+b=-3，那么問題就又轉(zhuǎn)化為例3的類型了.

解∵a2-b=a（a+1）+3，

∴a2-b=a2+a+3，即a+b=-3，

∴原式=a2+b2+2ab12=（a+b）212=（-3）212=912.

點評：這道題在代入求值題型中難度相對較高，不論是已知條件還是要求的代數(shù)式都需要變形，對于已知條件的常用變形就是化簡，再根據(jù)化簡后的條件對要求的代數(shù)式進行變形.

三、完全平方公式的連續(xù)運用

例5已知a+11a=2，求a4+11a4的值.

分析已知條件的次數(shù)只有1次，而要求的代數(shù)式的次數(shù)有4次，故需要進行兩次的“升次”.

解∵a+11a=2，

∴a2+11a2=a+11a2-2=22-2=2，

∴a4+11a4=a2+11a22-2=22-2=2.

點評：對于平方差公式可以連續(xù)運用的題型比較常見，但是連續(xù)運用完全平方公式的題目比較少見.一般都是求a2+11a2的值，這道題運用了兩次完全平方公式的變形公式，如果再運用下去，不難發(fā)現(xiàn)a8+11a8，a16+11a16，…的值都等于2.

四、完全平方公式的逆運用

例6已知x2+y2-2x+4y+5=0，求xy的值.

分析要求xy的值只能求出x與y的值，從已知條件的形式特征發(fā)現(xiàn)有關于x的二次項和一次項，y也一樣，若補上常數(shù)項就可以配成完全平方式，進而運用平方的非負性來求出x與y的值.

解∵x2+y2-2x+4y+5=0，

∴x2-2x+1+y2-4y+4=0，

即（x-1）2+（y+2）2=0.

∵（x-1）2≥0，（y+2）2≥0，

∴（x-1）2=0，（y+2）2=0，

∴x=1，y=-2，∴xy=1-2=1.

點評：這道題的解題方法為配方法，配方法也是解決多項式的最值問題以及二次函數(shù)的相關問題的必備方法.

五、完全平方公式的推廣運用

例8已知△ABC的三邊長分別為a，b，c且a，b，c滿足等式3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，請說明該三角形是什么三角形？

分析運用完全平方公式的推廣公式先化簡，再運用配方法配成完全平方形式，最后，利用平方的非負性確認a，b，c的關系.

解∵3（a2+b2+c2）=（a+b+c）2，

∴3a2+3b2+3c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，

∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，

∴a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+a2-2ac+c2=0，

∴（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=0，

∴（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（a-c）2≥0，

∴（a-b）2=0，（b-c）2=0，（a-c）2=0，

∴a-b=0，b-c=0，a-c=0，

∴a=b=c，

∴△ABC是等邊三角形.

點評：這道題先是運用完全平方的推廣公式，接著問題又化歸到配方法上.配方后求出a，b，c的值，從而判斷三角形的形狀.

學生要掌握好完全平方公式的運用主要是掌握完全平方公式的特征，對于完全平方公式的變形需掌握規(guī)律，如，變形1是由公式①②移項得到，符號上出現(xiàn)一正一負的規(guī)律；變形2，3，4由公式①②相減得到，符號上出現(xiàn)一正一負的規(guī)律.學生要根據(jù)題目已知條件及要求結論的特點來選擇恰當?shù)姆椒ń鉀Q問題.全方位地思考問題，善于找出關鍵信息，經(jīng)歷探索、思考，根據(jù)具體問題進行仔細分析、靈活運用，找出解決問題的簡便方法.