一題多解，撥動學生心中那根弦

曾子斌

【摘要】在數學教學中要有效提高學生的解題能力，須授課要有深度和高度，透徹理解知識點，才能使學生深刻認識事物；習題的設置要新穎靈活，點面結合，一題多變，一題多解；要提高學生的閱讀能力，加強審題能力，分析能力才能得以提高；要展現求解的思維過程，讓學生感受數學思維體操之美；要突顯學生的主體性，讓學生去歸納總結，鼓勵學生提問題.

【關鍵詞】一題多解；解題；分析能力

對數學問題進行“一題多解”，不僅能使我們掌握相應的幾種解題技巧，還可以幫助我們全方位地觀察問題，對角度多層次地深入理解數學知識，提高數學解題的能力，使我們的思維靈活，解題思路開闊，應變能力增強.然而，不恰當地使用一題多解教學，可能適得其反.所以，如何進行一題多解的解題研究和一題多解的解題教學，值得研究.

一、尋求最佳解法

一題多解的解題研究主要是為了尋求最佳解法.簡易的解法，能揭示題目本質的解法，能體現通性通法的解法，都在尋求之列.

二、進行“一題多解”的解題研究

羅增儒教授指出：“對教師的解題而言，沒什么不可以研究的，面越寬越好，度越深越好，常規的解法與特殊的解法，簡單的解法與麻煩的解法，初等的解法與高等的解法，正確的解法與錯誤的解法等，教師都可以去做，各個解法也都有其生存的價值”

教師的一題多解解題研究更多的是為了一題多解解題教學，所以，教師在進行一題多解研究時，要注意從通性通法入手，從簡易自然入手，從捕捉能揭示題目本質的解法入手，同時要兼顧學生的可接受性、可操作性，這樣的一題多解研究才有較大的教學意義.

三、進行“一題多解”的解題教學

即便是符合《課標》要求和學生實際，“廣種薄收”的做法用于課堂解題教學也是不可取的，縱然一道題有多種解法，教學時，應當采用幾種？如何把握好度？這就需要審時度勢，具體情況具體分析.若僅僅是教師在課堂上展示“多解”，用教師的多解代替學生的多解，未必有好的效果.這樣的多解常常是“多余的解”.過于煩瑣的解法，最好不傳授給學生，甚至也不應見諸報刊.比如，一道幾何題，連十幾條輔助線，看起來眼花繚亂，讓人望而卻步，教師就不要拿到課堂里去講.在實施新課程的今天，要提高教學質量，我們要勇于摒棄落后的舊觀念，更新一題多解的教學觀念.

本文給出示例，供同行們參考.

例如，求函數y=ax-11ax+1（a>0，a≠1）的值域.

思路一（利用函數的有界性）

由y=ax-11ax+1ax=1+y11-y，

∵ax>0，∴1+y11-y>0-1

思路二（利用不等式性質）

y=ax-11ax+1=1-21ax+1，

∵ax>0ax+1>10<21ax+1<2，

∴-1<1-21ax+1<1，∴值域（-1，1）.

思路三（聯想到萬能公式cos2θ=1-tan2θ11+tan2θ）

∵ax>0，∴可令ax=tan2θ0<θ<π12，

∴y=ax-11ax+1=tan2θ-11tan2θ+1=-cos2θ，

∵0<2θ<π-1

思路四（聯想到定比分點公式x=x1+λx211+λ）

∵y=ax-11ax+1=-1+ax·111+ax，在數軸上設A（-1）、B（1）分點P（y）.

因為P分AB的定比λ=ax>0，∴P在A、B兩點之間，于是-1

思路五（聯想到斜率公式k=y2-y11x2-x1）

求函數y=ax-11ax+1的值域，即求定點M（-1，1）與動點N（ax，ax）連線斜率的取值范圍.而點N（ax，ax）在射線y=x（x>0）上，可見MN的傾斜角的范圍是0，π14∪314π，π，

∴kMN∈（-1，1）y∈（-1，1）.

經常對問題進行多角度的深入思考，分析能力會自然而然地提高.我們應該重視對解題規律的總結，在上習題課時應精選一些好題進行一題多解的練習，做到舉一反三、觸類旁通，而且有利于培養學生發散性思維，提高學生的解題能力，有助于構建高效課堂.

【參考文獻】

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