一道高考立體幾何題的多維度剖析

王德玉+王圣敏

本文對2010年高考數學北京卷第16題第（3）問進行了多角度解析，方法比較獨特，供大家在教學中參考.

原題如下：

如圖1，正方形ABCD和四邊形ACEF所在的平面垂直，CE⊥AC，EF∥AC，AB=2，CE=EF=1.（1）求證：AF∥平面BDE；（2）求證：CF⊥平面BDE；（3）求二面角A-BE-D的大小.

解法1如圖2，在△AOE中，作OM⊥OE，交AE于M.易知平面BDE⊥平面ACE，且平面BDE∩平面ACE=OE，所以，OM⊥平面BED.作ON⊥BE，連接MN，由三垂線定理知MN⊥BE，所以∠ONM為所求.易知DE=BE=3，BD=2，所以ON=613.在△AOM中，tan∠MAO=112，所以sin∠MAO=515，∠MOA=45°，由正弦定理得OM=213，所以tan∠ONM=OM1ON=313，所以∠ONM=30°.

解法2如圖3，易知平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE=EO.延長EO，作AM⊥EO，則AM⊥平面BED.易知AB⊥平面BCE，所以，AB⊥BE.連接MB，由三垂線定理知∠MBA為所求.作FN⊥EO，易知FA∥EO，所以AM=FN，又EFOC為正方形，所以FN=212，所以sin∠MBA=AM1AB=21212=112，所以∠MBA=30°.

解法3如圖4，作DM⊥BE，交BE于M，作MN∥AB，易知AB⊥BE，則MN⊥BE，則∠DMN為所求，連接DN，由等面積法知112BD·EO=112BE·DM，得DM=2613，又MN∥AB，得EM∶EB=MN∶AB，得MN=213，易知EN∶EA=1∶3，所以NA=2513，則cos∠ADE=1015.在△ADN中，由余弦定理得DN=1413.在△MND中，由余弦定理得cos∠DMN=312，所以∠DMN=30°.

解法4如圖5，設點A到平面BDE的距離為h，則VA-BDE=VE-ABD，113S△BDE·h=113S△ABD·EC，得h=212.易知AB⊥平面BCE，得AB⊥BE，則二面角的正弦值為h1AB=112，所以二面角為30°.

解法5如圖6，設平面ABE與平面BCE所成的二面角為α，平面BDE與平面BCE所成的二面角為β，因為平面ABE∩平面BCE=BE，平面BDE∩平面BCE=BE，所以α-β為所求.作CM⊥BE，易知CD⊥面BCE，則連接DM，則tanβ=CD1CM=21613=3，β=60°.因為AB⊥平面BCE，所以ABE⊥平面BCE，所以α=90°，則α-β=30°.

圖7解法6建立如圖7所示空間直角坐標系，A（2，2，0），B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，1）.設平面ABE的法向量為n，易求n=（0，1，2），設平面BDE的法向量為m，易求m=CF=212，212，1，從而cos〈n，m〉=n·m1|n||m|=312，所以二面角為30°.

說明：前3種方法都是利用三垂線定理的方法來找二面角，其中法1和法3是構造直角三角形，法2是求垂線段的長時不關心位置，只關心長度；而法4是等體積法，法6是向量法，這兩種方法較常見；法5是利用三個面中兩兩面成角的關系的方法.