例談數學教學的誤區

朱亮雅

在我從教的十幾年中，在大量的聽課過程中發現，很多教學“設計”，匠心獨特，為聽課教師所期冀；同時發現有些課，存在情境引入華而不實；一味遷就學生；合作交流，過度注重形式；與多媒體整合，卻舍本逐末等誤區.

一、過度鋪墊，降低難度

教學中，為了追求“順暢”，在學生回答問題或板演之前，教師總是想方設法使之不出一點差錯，即使是一些容易產生典型錯誤的難題，教師也有自己的招數——能引導學生按自己所設計好的途徑去解決.這樣就掩蓋了錯誤的暴露，學生缺少了糾錯的重要思維過程.而本來知識的生成教學中，總是結合新的教學情境讓學生主動嘗試，大膽探索，利用已學知識概念解決新問題，這樣在學習的開端學生總是會犯這樣或那樣的錯誤（這才是正常的一個認知過程），教師再帶學生進行錯誤辨析，一部分學生馬上會恍然大悟，即使沒有，全體學生也會馬上陷入積極思考，學生便學會了從問題的反面去思考，總結經驗教訓，很快從錯誤中走出來，師生再共同分析總結，增強學生的辨錯能力，加深了對數學概念、法則的理解，提高了分析問題、解決問題的能力.要真正提高課堂教學質量，教學中就應該積極主動地對待錯誤和失敗，備課時充分考慮學生可能會犯的錯誤，不是怎樣想方設法去避免，而是有針對性地加強對典型錯誤思路的分析，使學生在糾錯的過程中掌握正確的思維方法.

例如，在上海二期課改教材高一數學上冊“其他不等式解法”第一課時“解分式不等式”中，教師首先呈現給學生幾個問題：（1）解形如ax+bcx+d>0的分式不等式，怎么解？（2）能不能直接去分母？為什么？（3）如果去分母應該注意什么？（4）這樣能否求解？（5）不以去分母為出發點，如何解這個不等式？（6）不等式分子、分母的符號應該有什么關系？（7）這些關系如何推導？

評析：應該說教師“用心良苦”，為防止學生將解方程中的去分母方法“遷移”到“解分式不等式”中來，教師在學生“出錯”之前進行“預防”，給出了一系列的問題，本質上是一系列的“提醒”或“告訴”，殊不知“錯誤”本身也是一種教學資源.

二、重結果輕過程

過程性是對一系列數學思維活動過程的概括，是指數學概念、公式、定理、法則的提出和形成過程，數學問題解決的探索過程和數學知識、數學思想方法的應用過程.[1]數學過程性教學可以理解為重視過程性的教學，是一個重視暴露思維過程、重視從感性到理性認識的過程.

課改以來，既“重過程”也“重結果”已被廣大教師所言說，然而，在實際教學過程中，尤其是生源薄弱的學校，很多教師除了在公開課上做做樣子外，實際教學中，仍然不重過程，甚至沒有知識的形成過程，只是教會學生“記住”公式、定理，怎么去用這個公式、定理.

例如，三角公式cos（α+β）的推導，費時較長，學生難以理解，教師如果一帶而過，學生雖牢記公式，遇到問題“已知點A（2，1），求將OA逆時針旋轉60度后A′的坐標”時，學生恐怕連意思都弄不清楚.

評析：正確的思維來源于對定理、公式的透徹理解，所以在定理、公式的教學中，要注重它的形成過程、充分暴露思維過程，引導學生深刻地領悟定理和公式的本質特征，并在定理、公式的發現過程中，師生一起總結提煉蘊含其中的思想方法.例如，上述問題，就可以令OA與x軸正半軸的夾角為α，OA與OA′的夾角為β，則本題的核心就是由α，β求cos（α+β）.

又如，在“圓錐曲線”這一章復習時，我給學生呈現了如下問題：已知橢圓的中心在原點O，焦點在坐標軸上，直線y=x+1與該橢圓相交于P，Q，OP⊥OQ，|PQ|=102，求橢圓的方程.對教師而言，上述問題并不難，但對學生來說，卻有很多障礙，例如，橢圓的方程如何設，有些教師直截了當告訴學生：設橢圓的方程為Ax2+By2=1（A>0，B>0，A≠B）.但學生的想法卻是：因為題目沒有明確橢圓焦點位置，所以需要分類討論，設橢圓的方程為x2a2+y2b2=1或x2b2+y2a2=1.為什么能把兩種情況合并在一起呢？如果不去解釋，學生就囫圇吞棗.實際上，無論焦點在x抽上的橢圓還是焦點在y軸上的橢圓，它們本質上都是橢圓，它們的幾何性質是完全一樣的，我們知道，解析幾何就是用代數方法研究幾何問題，因此，它們的方程可以用同一種形式來表示也就不足為怪了.

著名教育家馬明先生說過：“數學教學的本質是思維過程，更確切地說是展示和發展思維的過程.”這個過程實際上是“讓學生易于參與并且主動參與知識形成的過程”.教學設計以及教學過程中，教師要積極提供現實的、有意義的、富有挑戰性的學習材料，讓學生主動地進行觀察、實驗、猜想、驗證、推理與交流，經歷數學知識的形成與發展過程.

三、“合作交流”流于形式

中學數學課程標準中提倡合作交流的學習方式，但對如何開展合作交流缺乏必要的指導和要求，因此，部分教師認為多組織合作學習，可避免直接把結果呈現給學生，以體現過程教學或體現學生主體性，從而出現了重合作學習形式、輕獨立思考過程的誤區.公開課上，常常是教師拋出一個問題，幾名學生立刻圍成一團，教室里討論聲頓時鵲起.待幾分鐘后，再聽教師的一聲擊掌，于是討論戛然而止.然后，就是小組中的學優生“代表”其他學生優先發言，至于其他人尤其是學習有困難的學生常常“陪公子讀書”.至于小組的組合是否合理？問題是否有討論的價值？小組成員是否經歷了獨立思考？是否真正發表了意見？這一切均被忽略.

例如，正余弦函數單調性的課例中，在[0，2π]內y=sinx的單增區間有兩個，教師提出問題：能否把一個周期的區間換一個地方來看看，使得遞增區間變為一個？學生還未來得及獨立思考，任課教師馬上讓學生之間進行合作學習，同時又擔心學生合作學習得不到預設的結論而延誤教學進程，稍后教師直接給出思路，致使合作學習過程流于形式.

評析：真正意義上的合作，應該是學生可以自主選擇合作伙伴，或者暫時選擇不合作，先思考，再討論，給學生留一個思考的空間.但由于有些評課標準把上課是否有討論作為一個環節，因而，合作學習就理解成了討論時的聲音的大小、時間的長短、次數的多少、氣氛的冷熱.

四、追求解題技巧，忽視通法通解

數學中的“巧解”有時會掩蓋了基本思想方法的滲透，現在在數學教學中，對于某一個問題的解決，思路越來越多，方法越來越巧，教師會特別注意引導學生進行巧妙構思，以期產生教學上的捷徑，其實這是教學上的一大誤區.“巧解”往往有局限性，實用的范圍一般都比較特殊和窄小，換一條件或變一個簡單的結論，也就會使之完全喪失解題能力，因此，巧解并不能根本解決問題.基本思想方法是一種解題的通法，具有普遍性、指導性，要想從根本解決問題，理應首先追求其通法——基本思想方法，而一味追求巧解，必然缺乏對基本思想方法的挖掘和相應的訓練，從而沖淡和掩蓋了對基本方法的滲透.從學生的學習心理上看，當他們對于一道題目一旦了解或掌握了某一個巧解后，就對較為復雜的基本方法產生厭倦心理，也就從根本上阻礙了基本思想方法的滲透.因此，在教學中，必須擺正巧解與基本思想方法的關系，引導學生從基本思路出發，加強對基本思想方法的啟迪和訓練，在基本方法已熟練的基礎上再向學生適當介紹巧解的特殊思路，這樣才能避開這一誤區.

思考2：若問題所給的數據發生變化，即∠CAD不是特殊角時，又該如何處理？較為一般的處理方法是在Rt△ACD中利用勾股定理計算出d，接下去的過程與（1）相同.

思考3：如果二次曲線發生變化，把圓變成橢圓或雙曲線或拋物線，上述方法都不適用，于是進一步思考更為一般的解法，將圓C與l的方程聯立消去y，得到關于x的一元二次方程，利用弦長公式及韋達定理建立關于a的方程，求得a=2-1.這便是本題最為一般的解法，雖然解題過程不是最簡單的，但因其解法的一般性，帶來廣泛的適用性，成為一種解題模式.

【參考文獻】

[1]徐新明.數學課堂教學的核心：過程性、問題性、主體性[J].基礎教育參考，2011（22）：33-37.