高速脂潤(rùn)滑角接觸球軸承多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

劉勝超，王東峰，商琪，閆純樸，高新宇

(1.洛陽(yáng)軸承研究所有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039；2.河南省高性能軸承技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河南 洛陽(yáng) 471039；3.滾動(dòng)軸承產(chǎn)業(yè)技術(shù)創(chuàng)新戰(zhàn)略聯(lián)盟，河南 洛陽(yáng) 471039；4.南京陸騰傳動(dòng)科技有限公司，南京 210000)

隨著人們對(duì)綠色制造和環(huán)保意識(shí)的不斷增強(qiáng)，近年來(lái)，高檔數(shù)控機(jī)床也在向環(huán)保方向發(fā)展。傳統(tǒng)的電主軸采用油霧、油氣潤(rùn)滑以實(shí)現(xiàn)電主軸的高速旋轉(zhuǎn)，但必須配備壓縮空氣、氣管、控制系統(tǒng)等輔助設(shè)施，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)復(fù)雜。此外，油霧化所產(chǎn)生的油霧彌漫于空氣中，不僅污染環(huán)境，也將對(duì)長(zhǎng)期在此環(huán)境下的工作者的身心健康造成極大傷害。機(jī)械加工行業(yè)呈現(xiàn)出脂潤(rùn)滑主軸代替油潤(rùn)滑主軸的趨勢(shì)，且脂潤(rùn)滑主軸的各項(xiàng)性能指標(biāo)要求較高。

國(guó)外高速脂潤(rùn)滑軸承dm·n值達(dá)到2×106mm·r/min左右，而我國(guó)生產(chǎn)的該類軸承dm·n值在1.6×106mm·r/min左右，與國(guó)外有一定差距。高速角接觸球軸承運(yùn)行時(shí)同時(shí)承受軸向載荷和徑向載荷，以往優(yōu)化設(shè)計(jì)[1]為簡(jiǎn)化方程組，且只考慮純軸向載荷作用。該方法假設(shè)軸承中的每個(gè)球位置處的接觸角、接觸應(yīng)力、接觸載荷、旋滾比和離心力等內(nèi)部結(jié)構(gòu)和性能參數(shù)均相等，與實(shí)際情況相差較大。鑒于此，針對(duì)高速脂潤(rùn)滑軸承H7000-2RZ系列，考慮軸向載荷和徑向載荷聯(lián)合作用，對(duì)主參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，目標(biāo)dm·n值為2.1×106mm·r/min。

1 優(yōu)化設(shè)計(jì)方法

鑒于高速脂潤(rùn)滑角接觸球軸承主要用于高速輕載工況，且工作時(shí)需要保證較低發(fā)熱和較高的剛度，將目標(biāo)函數(shù)確定為：旋滾比、基本額定動(dòng)載荷、摩擦力矩和軸向剛度，優(yōu)化變量為球組節(jié)圓直徑Dpw、球徑Dw、球數(shù)Z、內(nèi)圈溝曲率系數(shù)fi和外圈溝曲率系數(shù)fe，優(yōu)化變量需滿足一定的約束條件。針對(duì)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題，用功效系數(shù)法進(jìn)行優(yōu)化：

1)以旋滾比為第1目標(biāo)函數(shù)，給定條件下計(jì)算的旋滾比最小值為最優(yōu)，功效系數(shù)為1；旋滾比最大值為最差，功效系數(shù)為0；其他按插值法在[0,1]區(qū)間取值。

2)以基本額定動(dòng)載荷為第2目標(biāo)函數(shù)，給定條件下計(jì)算的基本額定動(dòng)載荷最大值為最優(yōu)，功效系數(shù)為1；基本額定動(dòng)載荷最小值為最差，功效系數(shù)為0；其他按插值法在[0,1]區(qū)間取值。

3)以摩擦力矩為第3目標(biāo)函數(shù)，其功效系數(shù)取值與旋滾比功效系數(shù)取法相同。

4)以軸向剛度為第4目標(biāo)函數(shù)，其功效系數(shù)取值與基本額定動(dòng)載荷功效系數(shù)取法相同。

2 計(jì)算模型

計(jì)算目標(biāo)函數(shù)之前，需先分析計(jì)算模型，計(jì)算出與目標(biāo)函數(shù)相關(guān)的變量。

2.1 球位置

由于離心力和陀螺力矩的作用，每個(gè)球與內(nèi)外圈溝道的接觸參數(shù)不同[2]，承載最大的球的位置角φ1=0，其他球的位置角如圖1所示。

圖1 球位置

2.2 變形協(xié)調(diào)關(guān)系

受載后，第j個(gè)球位置φj處，假設(shè)外圈溝道曲率中心固定，球心與內(nèi)外溝道曲率中心的相對(duì)位置如圖2所示。

圖2 球心與內(nèi)外溝道曲率中心相對(duì)位置

受載后，內(nèi)外圈相對(duì)軸向位移和徑向位移分別為

Aaj=(fi+fe-1)Dwsinα0+δa，

(1)

Arj=(fi+fe-1)Dwcosα0+δrcosφj，

(2)

式中：α0為初始接觸角；δa和δr分別為受載后內(nèi)外圈相對(duì)軸向位移和徑向位移。

受載后，第j個(gè)球位置處的接觸角為

(3)

式中：αij,αej分別為第j個(gè)球處內(nèi)、外圈的接觸角；δij，δej分別為第j個(gè)球處內(nèi)、外圈的法向位移。

圖2中幾何關(guān)系為[3]

(4)

(Aaj-Xaj)2+(Arj-Xrj)2-[(fi-0.5)Dw+δij]2=0。

(5)

2.3 受力和平衡方程

第j個(gè)球受力如圖3所示，球的離心力Fcj為

圖3 球受力圖

(6)

式中：m為球質(zhì)量；Dpw為球組節(jié)圓直徑；ω為內(nèi)圈角速度；ωmj為第j個(gè)球的公轉(zhuǎn)角速度。

第j個(gè)球的陀螺力矩為

(7)

式中：J為球?qū)|(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ωRj為第j個(gè)球的自轉(zhuǎn)角速度；ρ為球密度；“+”代表外溝道旋轉(zhuǎn)；“-”代表內(nèi)溝道旋轉(zhuǎn)。

根據(jù)外圈溝道的控制理論[4]得

(8)

γ′=Dw/Dpw，

第j個(gè)球位置處，球的平衡方程為

Qejsinαej=0，

(9)

Qejcosαej+Fcj=0，

(10)

外溝道控制時(shí)，λij=0,λej=2;內(nèi)溝道控制時(shí)，λij=λej=1。

根據(jù)Hertz接觸理論[5]，第j個(gè)球的法向載荷與法向位移的關(guān)系為

(11)

(12)

式中：Kij，Kej為內(nèi)、外圈法向接觸剛度，根據(jù)文獻(xiàn)[2]中的方法計(jì)算。

由(3)～(5)，(9)～(12)式得

(13)

(14)

整個(gè)軸承的平衡方程為

(15)

(16)

由(3)～(5)，(11)，(12)，(15)，(16)式得

(17)

(18)

(4)，(5)，(13)，(14)，(17)，(18)式組成了4Z+2個(gè)非線性方程，包含Aaj,Arj,δij,δej,δa,δr共4Z+2個(gè)未知變量，其余方程作為輔助方程建立變量關(guān)系，用Newton-Raphson法求解以上方程組即可得到未知變量。求解時(shí)，為了加快收斂速度，先編寫靜力學(xué)程序求解以上未知變量，然后把靜力學(xué)計(jì)算結(jié)果作為初值賦予上述擬動(dòng)力學(xué)程序?qū)Ψ匠踢M(jìn)行求解。

潤(rùn)滑對(duì)軸承的性能影響較大，文中分析時(shí)考慮了潤(rùn)滑脂油膜剛度。根據(jù)Hamrock B J和Dowson D的研究結(jié)果，接觸區(qū)最小油膜厚度[2]為

hmin=3.63U0.68G0.49(1-e-0.68k)RxW′-0.073，

(19)

潤(rùn)滑脂油膜剛度為[6]

(20)

式中各參數(shù)詳見(jiàn)文獻(xiàn)[2]。

總接觸剛度相當(dāng)于套圈與球接觸剛度與油膜剛度之間的串聯(lián)，內(nèi)、外圈總接觸剛度分別為

Kij-total=Koil-ijKij/(Koil-ij+Kij)，

(21)

Kej-total=Koil-ejKej/(Koil-ej+Kej)，

(22)

式中：Koil-ij，Koil-ej分別為第j個(gè)球位置處內(nèi)、外圈處的油膜剛度。將Kij-total和Kej-total替換(13)，(14)，(17)，(18)式Kij和Kej即為考慮油膜剛度情況下的方程求解。

3 目標(biāo)函數(shù)求解

3.1 旋滾比

外溝道控制時(shí)，球在內(nèi)圈的旋滾比(球在內(nèi)溝道接觸處的自旋角速度與滾動(dòng)角速度的比值)為[7]

ωsi/ωroll=(1-γ′cosαi)tan(αi-β)+γ′sinαi。

(23)

3.2 基本額定動(dòng)載荷

軸承基本額定動(dòng)載荷為

Cr=1.3fc(cosα)0.7Z2/3F(Dw)，

(24)

式中：fc為與fi,fe,γ有關(guān)的參數(shù)；F(Dw)為Dw的函數(shù)。

γ=Dwcosα/Dpw。

(25)

3.3 摩擦力矩

Palmgren給出軸承摩擦力矩的計(jì)算公式為[8]

M=M0+M1，

(26)

M1=f1FβDpw，

Fβ=max(0.9Facotα-0.1Fr)，

式中:fo為與軸承類型和潤(rùn)滑方式有關(guān)的系數(shù)，文中為2；νo為潤(rùn)滑劑黏度；f1為與軸承結(jié)構(gòu)、當(dāng)量靜載荷和額定靜載荷有關(guān)的系數(shù)；Fβ為與軸承類型和外載荷有關(guān)的載荷。

3.4 軸向剛度

軸承軸向剛度為每個(gè)球位置處，內(nèi)、外圈接觸剛度的軸向分量之和，即

(27)

式中：Kaij,Kaej分別為第j個(gè)球位置處內(nèi)、外圈接觸剛度在軸向的分量。

3.5 主參數(shù)對(duì)各目標(biāo)函數(shù)的影響分析

為分析主參數(shù)Dw，Z，fi和fe對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響，采用變化一個(gè)主參數(shù)，其他參數(shù)均不變的方法進(jìn)行分析，分析結(jié)果如圖4—圖7所示。

由圖4—圖7可知：球徑增大，旋滾比、基本額定動(dòng)載荷和摩擦力矩增大，軸向剛度減小；球數(shù)增加，旋滾比基本不變，基本額定動(dòng)載荷、摩擦力矩和軸向剛度增大；內(nèi)圈溝曲率系數(shù)增大，旋滾比、基本額定動(dòng)載荷、摩擦力矩和軸向剛度均減小；外圈溝曲率系數(shù)增大，旋滾比增大，基本額定動(dòng)載荷、摩擦力矩和軸向剛度均減小。

圖4 球徑對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響

圖5 球數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響

圖6 內(nèi)圈溝曲率系數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響

圖7 外圈溝曲率系數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響

4 評(píng)價(jià)函數(shù)和求解方法

評(píng)價(jià)函數(shù)為

Fmax=a1fm(ω)+a2fm(Cr)+a3fm(M)+a4fm(Ka),

(29)

式中:fm(ω),fm(Cr),fm(M),fm(Ka)分別為旋滾比、基本額定動(dòng)載荷、摩擦力矩和軸向剛度的功效系數(shù);a1,a2,a3,a4為上述變量的權(quán)重系數(shù)，由經(jīng)驗(yàn)選取。計(jì)算后Fmax最大的變量組合即為所需。

以上求解數(shù)據(jù)量大，且包含較為復(fù)雜的非線性方程組，需借助計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行求解，程序框圖如圖8所示。

圖8 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)程序框圖

5 實(shí)例計(jì)算及試驗(yàn)驗(yàn)證

以H7008C-2RZ/HQ1P4為例，其內(nèi)徑為40 mm，外徑為68 mm，寬度為15 mm。為便于系列化開(kāi)發(fā)，選取球組節(jié)圓直徑Dpw為內(nèi)徑和外徑的平均值，即Dpw=54 mm。

通過(guò)分析國(guó)外軸承樣品參數(shù)，先選取內(nèi)圈溝曲率系數(shù)fi和外圈溝曲率系數(shù)fe的不同組合，然后對(duì)球徑和球數(shù)進(jìn)行約束。

約束后球徑Dw=[6.35，6.0，5.953，5.556，5.5，5.159，4.762]，球數(shù)Z=[22，23，23，24，25，26，28]。溝曲率系數(shù)組合[fi,fe]={[0.55，0.515]，[0.55，0.53]，[0.56，0.515]，[0.55,0.525]，[0.56,0.53]}。使用前述優(yōu)化設(shè)計(jì)程序進(jìn)行計(jì)算，得到H7008C-2RZ/HQ1P4優(yōu)化后的主參數(shù)為：Dw=6.35 mm，Z=22，Dpw=54.0 mm，fi=0.55，fe=0.515。

為驗(yàn)證優(yōu)化后所取軸承主參數(shù)是否合理，在T30-70Nf高速軸承綜合試驗(yàn)機(jī)上進(jìn)行了溫升和高速性能試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表1和表2。

由表1可知，軸承最高溫升為23.2 ℃，此時(shí)轉(zhuǎn)速為32 400 r/min，且冷卻水開(kāi)關(guān)處于關(guān)閉狀態(tài)。冷卻水關(guān)閉狀態(tài)下進(jìn)行的H7008C-2RZ/HQ1P4極限轉(zhuǎn)速試驗(yàn)結(jié)果見(jiàn)表2。在極限轉(zhuǎn)速試驗(yàn)中，當(dāng)轉(zhuǎn)速為0～40 000 r/min時(shí)，溫升較平穩(wěn)，振動(dòng)較小。繼續(xù)增大轉(zhuǎn)速，高于40 000 r/min后，軸承振動(dòng)增大，溫升急劇變化，無(wú)法達(dá)到熱平衡狀態(tài)，故認(rèn)為極限轉(zhuǎn)速為40 000 r/min，此時(shí)dm·n值為2.16×106mm·r/min。

表1 H7008C-2RZ/HQ1P4溫升性能試驗(yàn)數(shù)據(jù)

表2 H7008C-2RZ/HQ1P4極限轉(zhuǎn)速試驗(yàn)數(shù)據(jù)

6 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)建立軸向和徑向聯(lián)合載荷作用下高速脂潤(rùn)滑角接觸球軸承的擬動(dòng)力學(xué)模型，選取目標(biāo)函數(shù)和評(píng)價(jià)函數(shù)，編制了專用優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件，對(duì)軸承設(shè)計(jì)變量(軸承球組節(jié)圓直徑、球徑、球數(shù)、內(nèi)圈溝曲率系數(shù)和外圈溝曲率系數(shù))進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并分析了各參數(shù)對(duì)目標(biāo)函數(shù)的影響。最后對(duì)優(yōu)化設(shè)計(jì)后的軸承H7008C-2RZ/HQ1P4進(jìn)行了溫升性能試驗(yàn)和高速性能試驗(yàn)，結(jié)果顯示，軸承的溫升和高速性能滿足要求，為進(jìn)行軸向、徑向和力矩聯(lián)合作用下的角接觸球軸承的優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考。