磁懸浮復合轉子章動模態的最優阻尼控制

賈日波，鄭世強，陳琪

(北京航空航天大學 a.慣性技術重點實驗室;b.新型慣性儀表與導航系統技術國防重點學科實驗室；c.高速磁懸浮電機技術及應用工程技術研究中心，北京 100191)

磁懸浮軸承作為一種新型的支承部件，與傳統軸承相比，具有無摩擦、無需潤滑、轉速高和噪聲小等優點，目前已在機床領域、航空航天領域和動力領域(如壓縮機、渦輪分子泵、汽輪發動機)得到了成功應用[1]。磁懸浮復合真空分子泵是一種能為科學研究提供超潔凈、超高真空環境的新型儀器，其主要性能表現為抽速和真空度，而轉速上限很大程度上決定了這二者的上限。由于磁懸浮復合真空分子泵的轉子帶有大量葉片，其具有支承不對稱的特點，高速旋轉時的陀螺效應非常明顯，其中章動模態對轉子高速下的穩定性影響尤為明顯，因此抑制章動模態對轉子升速的影響，使其在高速下穩定運行，對磁懸浮分子泵性能的提高和我國真空行業的發展具有重要的現實意義。

當采用分散PID控制時，剛性轉子系統的2種渦動模態——進動模態和章動模態，在高速時會因為低阻尼而變得不穩定，使轉子系統無法達到額定轉速。因此，傳統的PID控制難以滿足轉子的高速穩定運行。針對磁懸浮轉子高速下的渦動失穩問題，國內外進行了相關研究。文獻[2]提出交叉反饋控制的思想，利用位移交叉對轉子高轉速運行時的進動進行抑制。文獻[3]采用速度交叉對陀螺力矩進行補償來抑制章動模態。文獻[4]提出利用交叉剛度與交叉阻尼來抑制陀螺效應對轉子系統的影響，但沒有給出交叉剛度與交叉阻尼的具體實現形式。基于模態控制和交叉反饋控制策略，文獻[5]進一步提出了集中控制加交叉軸比例增益控制。文獻[6]提出了一種電磁力超前控制方法來抑制系統章動，對章動的抑制取得了一定效果，但同時對進動抑制帶來了負面影響。此外，還有反饋線性化法[7]、魯棒控制[8]和最優控制[9]等，但由于這些方法相對復雜，在實際工程中應用困難。

目前對于轉子(無論是對稱還是非對稱)章動模態的抑制，大多是采用交叉反饋方法或基于交叉反饋的改進方法，本質上是通過提供超前相位來對渦動模態進行抑制，但該方法控制參數多(除PID控制參數外，還有濾波系數、交叉比例系數、轉速信號等)，不利于系統的整定。

轉子高速下章動失穩的直接原因是控制系統的相位滯后過大，且章動頻率越高，相位滯后越大，系統穩定性越差[10]。為此，擬提出一種基于相位補償的磁懸浮復合分子泵轉子章動最優阻尼抑制方法，直接對系統的滯后相位進行最優補償，從而避免轉子因章動失穩。

1 復合轉子系統動力學建模

針對設計的磁懸浮分子泵復合轉子進行受力分析，磁軸承支承轉子受力情況如圖1所示。

圖1 磁懸浮復合轉子受力分析

理想情況下，轉子的幾何軸與兩徑向軸承的中心連線是重合的。為了描述轉子、傳感器和主動電磁軸承間的相互位置，建立質心坐標系Oxyz，其中坐標原點為復合轉子的質心，z軸在兩徑向軸承中心連線上，x，y，z軸形成右手坐標系。上、下傳感器到O點的距離分別為lsa，lsb；上、下徑向磁懸浮軸承A，B的中心到O點的距離分別為lma，lmb；x，y軸的轉動角度分別為α，β。

假設質心坐標系與慣性系重合(即不存在不平衡量)，根據Newton定律和Euler定律可得轉子動力學方程為

(1)

式中：m為轉子的質量；Jx=Jy=Jr為轉子繞x，y軸的轉動慣量；Jz為轉子繞z軸的轉動慣量；Ω為轉子角速度；fax，fbx，fay，fby分別為A端、B端磁懸浮軸承在x，y方向上的電磁力。

由于轉子平動與轉動在動力學上解耦，因此只對轉子的轉動特性進行分析，考慮轉子的轉動方程為

(2)

(2)式可以寫為

(3)

式中：kas，kbs分別為A端、B端磁軸承的位移剛度；kai，kbi分別為A端、B端磁軸承的電流剛度；iax，iay可近似為A端磁軸承電流設計值IA；ibx，iby可近似為B端磁軸承電流設計值IB。

由于磁懸浮分子泵轉子的2個轉角α，β可以同時表示在復平面上，令φ=α+jβ，可以得到轉子轉動動力學的復系數形式為

j(kailmaIA+kbilmbIB)-(kailmaIA+kbilmbIB),

(4)

對(4)式進行Laplace變換后得到轉子轉動的動力學模型為

φ(s)=

(5)

式中：d為等效阻尼；G為轉子的等效陀螺耦合項；k為等效剛度。

2 系統章動穩定最優相位解算[11]

引起轉子系統在高速下章動失穩的根本原因是系統的相位滯后，最優阻尼法以此為根據，求解系統在給定轉速下章動頻率處的最優相位，與檢測出的系統滯后相位進行比較，從而得到系統的最優補償相位，利用移相器對系統相位進行補償，保證磁懸浮轉子高速運行時的章動穩定性。

磁懸浮復合轉子的轉動運動控制結構如圖2所示。

圖2 控制系統結構圖

擾動力矩為

W(s)=es2，

(6)

式中：e為不平衡質量矩。

轉子模型為

(7)

控制器模型為

(8)

式中：kp為比例系數；ki為積分系數；kd為微分系數；kf為微分時間常數。

功放模型為

(9)

式中：ka為功放增益系數；wa為功放頻率系數。

由不平衡質量矩到章動振幅C(s)的傳遞函數為

Gce(s)=C(s)/e=

(10)

由章動振幅到電磁力F(s)的頻率特性為

H(jω)Gc(jω)Ga(jω)=A(ω)ejφ(ω)。

(11)

由于一定轉速下轉子的渦動頻率頻寬很窄，H(jω)Gc(jω)Ga(jω)在此頻率附近變化很小，假設在渦動頻率附近，A(ω)取一常數A，為控制器增益系數；φ(ω)取φ，為控制器相角系數。(11)式可簡化為

H(jω)Gc(jω)Ga(jω)=Acosφ+jAsinφ。

(12)

由不平衡質量矩到章動振幅的頻率特性為

(13)

將(7)式、(12)式代入(13)式可得

Gce(jω)=

(14)

a=Acosφ，b=Asinφ。

Gce(jω)的峰值頻率為

ωr(A,φ)=

Gce(jω)的峰值為

M(A,φ)=‖Gce(jωr)‖。

(15)

控制增益的確定原則為：當轉子章動量為最大允許值(轉子振動量為飽和間隙的一半)時，磁軸承可提供最大控制力Fmax。定義此時的控制增益為Ar，即

(16)

式中:φs1，φs2為傳感器位置處的章動振動量；φp2為B端保護軸承處的章動振動量；xp為保護軸承徑向單邊保護間隙。

3 轉子系統章動頻率處實時相位檢測

為了得到最優補償相位，就要已知當前轉子系統在章動頻率處的滯后相位。采用實驗室研發的磁懸浮系統動態測試法提取復合轉子控制系統的相位特性，該方法的原理如圖3所示。

圖3 磁懸浮系統動態測試方法

利用這種測試方法對圖4的系統進行測試，激勵信號的注入點可以選擇，由此可測出任意環節的幅頻特性和相頻特性。

圖4 控制系統掃頻示意圖

4 基于移相器的最優相位補償器設計

得到最優補償相位后，需要設計補償器來對其進行補償。基于移相器設計補償器結構為

(17)

式中:τ1，τ2為頻率系數，主要影響補償器的作用頻率范圍，對GPSF的幅頻特性、相頻特性影響都較大；ζ1，ζ2為阻尼系數，主要影響補償器作用頻率范圍內的幅值特性。

當ζ1，ζ2不變，同時增大τ1，τ2時，補償器幅相特性的變化趨勢如圖5所示，由圖可知，其幅相特性曲線整體左移，作用中心頻率減小；當τ1，τ2不變，ζ1，ζ2同時增大時，補償器幅相特性的變化趨勢如圖6所示，由圖可知，補償器中心頻率處的相位相應減小。

圖5 τ1，τ2同步變化對補償器幅頻特性的影響

圖6 ζ1，ζ2同步變化對補償器幅頻特性的影響

通過調節該補償器的各個系數，可以得到最合適的相位補償效果，以此達到相位補償最優的目的。單通道控制相位補償示意圖如圖7所示。

圖7 單通道控制相位補償結構圖

5 抑制效果試驗

5.1 試驗設備

為了檢驗最優阻尼控制法對復合轉子章動模態抑制的效果，在實驗室現有試驗設備條件的基礎上，搭建磁懸浮分子泵高速試驗平臺(圖8)。試驗對象是實驗室正在研制的大抽速磁懸浮復合分子泵，設計額定轉速為21 000 r/min，其主要參數見表1，控制系統參數見表2。

表1 磁懸浮分子泵參數

表2 磁懸浮分子泵控制系統參數

圖8 磁懸浮復合分子泵控制系統試驗平臺

5.2 試驗方法

首先，在未加相位補償器的情況下，對系統上電，進行升速試驗，觀察轉子的章動模態表現；然后，將相位補償器加入控制系統，再次進行升速試驗，觀察章動模態的變化；最后通過比較，確定最優阻尼控制法抑制章動的效果。

確定補償器相關系數的步驟為:1)通過掃頻方法確定系統控制回路各部分在章動失穩臨界頻率處的控制相位；2)根據前文所述方法算出系統的最優控制相位；3)確定最優補償相位，從所設計的候選補償器中選取補償特性最接近最優補償相位的補償器作為目標補償器。

由于導致系統相位滯后的環節主要是功放系統和為了抑制轉子的葉片模態、撓性模態而加入的多個陷波器環節，因此主要考慮這些環節的相位滯后。對于功放環節，采用前文所述掃頻方法，在程序的參考位移處加入激勵信號，測試輸入點選擇AMP，輸出點為電流信號的采樣，輸出點要考慮AD轉換和電流采樣的放大倍數，掃頻結果如圖9所示，由圖可知，功放系統在臨界頻率處相位滯后角度θamp約為-43°。

圖9 功放掃頻結果

對于控制過程中為了抑制轉子葉片模態和1階、2階彎曲模態加入的陷波器，其幅頻特性如圖10所示。由圖可知，陷波器的加入會導致其作用頻率前的相位滯后，其在臨界頻率處的滯后角θnot約為-10°。

圖10 陷波器環節Bode圖

此外，考慮到PID控制環節本身的相位超前(圖11)，在臨界頻率處相位超前θpid=46°，結合前文所述方法求出最優控制相位θ0=88.3°，因此最優補償相位為Δθ=θ0-θpid-θamp-θnot=95.3°。

圖11 PID控制環節Bode圖

為了得到最優的相位補償效果，調整補償器系數，設計了多個補償器進行比較(表3)，各個補償器的幅相曲線如圖12所示。從各補償器的相位特性來看，補償器2的補償角度最接近最優補償相位，因此選擇補償器2作為目標補償器。

表3 補償器1～4系數及其補償相位比較

圖12 補償器1～4幅相特性

6 結果與分析

在加入相位補償器前，當轉子轉頻升至150 Hz時，轉子A，B兩端位移信號如圖13所示。由圖可知，轉子B端出現明顯抖動，并且隨著轉速提高，抖動不斷加劇，A端抖動不明顯。

圖13 補償前轉頻150 Hz時轉子位移振動圖

此現象驗證了轉子的偏心結構，由于上端帶葉片，具有頭重腳輕的特點，B端(非葉片端)的陀螺效應表現更明顯。同時，從B端位移頻譜(圖14)中可以看出，該模態頻率為110 Hz，幅值約為-30 dB。根據磁懸浮分子泵章動模態(fn)和轉頻(fr)的比例關系(fn/fr約為0.7)，可以確定該頻率為章動模態。

圖14 補償前轉頻150 Hz時轉子B端位移頻譜

將補償器2加入控制算法后，當轉子轉頻升至150 Hz時，轉子B端未出現明顯抖動(圖15b)，從其位移頻譜來看，章動模態幅值大大減小(圖16)。

圖15 補償后轉頻150 Hz時轉子位移振動圖

圖16 補償后轉頻150 Hz時轉子B端位移頻譜

綜上可知，加入合適的相位補償器對系統控制相位的滯后補償后，轉子在原章動失穩頻率處的章動模態幅值由-30 dB減小到-46 dB，減小量超過50%，章動模態得到較大抑制，轉子的章動失穩頻率明顯提高，說明最優阻尼控制對抑制章動模態具有良好的效果。

由于最優相位補償只能保證系統在對應頻率下的相位最優，為了使轉子升速至額定轉頻350 Hz,還需根據以上方法求得額定轉速下的最優補償相位，重新設計補償器。經補償后，轉子在額定轉速下的運行效果如圖17、圖18所示，由圖可知，章動模態未被激發出來，轉子運行穩定。

圖17 補償后轉頻350 Hz時轉子位移振動圖

圖18 補償后轉頻350 Hz時轉子B端位移頻譜

7 結束語

針對磁懸浮分子泵轉子高速下的章動模態失穩問題，提出了一種最優阻尼控制方法，通過最優補償系統控制相位，可達到抑制章動模態的效果，其具有控制參數少、易整合、控制效果明顯、可量化的特點。但由于補償器作用頻率前的相位存在較小滯后，其可能對低頻模態產生不利影響，還需進一步研究。