諧波減速器柔性薄壁軸承的力學特性分析

姜祎，王亞珍，趙坤，蘇達士

（1.上海大學 機電工程與自動化學院，上海 200072；2.寧波慈興軸承有限公司，浙江 寧波 315301）

諧波減速器因體積小、質量輕、回差小、定位精度高、傳動效率高，在工業機器人、高檔轎車、航空航天、光學儀器、通用機械等領域廣泛應用。而柔性軸承作為諧波減速器的關鍵零部件，對諧波減速器的運轉平穩性、重復定位精度、回轉精度以及工作的可靠性等關鍵性能指標具有重要影響。

目前對于諧波減速器中柔輪研究較多，而對柔性軸承的研究較少。文獻［1-3］分別對薄壁軸承的結構特點、剛度、精度、摩擦力矩、預緊和應用等進行探討，定性分析了薄壁軸承設計要考慮的問題和軸系支承剛度對軸承變形的影響；文獻［4-5］分別對薄壁軸承的類型、結構特點、主參數和結構參數等進行了研究，討論了目標函數的選取、約束條件的確定及關鍵結構參數的優化設計等；文獻［6］在ANSYS Workbench中建立了1／4模型的柔性軸承的參數化模型，對不同溝曲率半徑系數的柔性軸承進行了靜力學分析，得到了不同參數的柔性軸承內外圈的變形、應力的分布規律；文獻［7-8］介紹了柔性軸承的類型、性能要求和應用；文獻［9-10］分別對薄壁軸承的結構特點、剛度、精度、摩擦力矩、游隙和預緊、安裝配合、保持架和表面處理等設計要點進行了闡述；文獻［11-12］利用有限元法分析了施加長軸區的對稱徑向載荷情況下的柔性軸承的變形和應力。

上述研究均未考慮軸承安裝時的預應力，鑒于此，根據柔輪的實際受載推導出柔性軸承的外部受載，從而得到更符合實際的載荷邊界條件。在此基礎上建立柔性軸承整體多體接觸有限元模型，在充分考慮柔性軸承內外圈的裝配預變形和預應力的情況下，分析柔性薄壁軸承的載荷特性對其應力、變形和載荷分布的影響。

1 柔性軸承接觸分析

通過Hertz接觸理論可計算2個彈性體的接觸應力，但該理論假定表面無摩擦，且未考慮內外圈的預應力和預變形。有限元法能夠避免Hertz接觸理論的不足［13］，接觸在有限元分析中屬于邊界非線性問題，一般采用試探-校核的迭代方法進行求解。

柔性軸承結構如圖1所示，當軸承裝配到波發生器凸輪軸時，內圈在長軸附近區域過盈配合，而在短軸附近區域間隙配合，裝配后柔性軸承隨凸輪的輪廓形狀產生強制變形，內外圈也會產生彈性變形。ANSYS接觸算法中通過單元節點探測，由于柔性軸承接觸變形是一個動態接觸過程，節點位置不斷變化，導致計算收斂困難。而接觸本身為高度非線性行為，接觸區域的網格粗細和接觸剛度的設置對接觸應力影響很大。六面體網格在相同網格尺寸的情況下可得到更為精確的解。接觸剛度的設置對接觸分析的收斂性和精度十分重要。即使結果收斂，倘若接觸法向剛度設置過小，導致滲透過大，計算結果也沒有參考價值。故研究柔性軸承的多體接觸問題，需確定合理的網格劃分模型及邊界條件。

圖1 柔性軸承結構示意圖Fig.1 Structure diagram of flexible bearing

2 柔性軸承載荷分析

由諧波減速器工作原理［14］可知，柔性軸承受載與柔輪相關，載荷復雜。剛輪與柔輪在長軸區域內為多齒嚙合，近似對稱分布。諧波減速器中的載荷傳遞主要有剛輪與柔輪之間的嚙合力、柔輪與柔性軸承之間的徑向反力。剛輪作用在柔輪上的嚙合力不僅與傳遞的扭矩有關，還與輪齒嚙合區域面積有關，嚙合力分布由試驗得到［15-16］，柔輪上的載荷分布如圖2所示。

根據試驗，近似認為φ2＝φ3，在φ2所在區域，柔輪與剛輪之間的嚙合力為

在φ3所在區域，柔輪與剛輪之間的嚙合力為

式中：qt，qr分別為剛輪與柔輪之間嚙合力的周向分量和徑向分量；φ為載荷與對稱軸AA′的夾角；φ1為對稱軸BB′相對于波發生器長軸位置AA′的角度；φ2，φ3為嚙合區的左、右角度；dg為柔輪輪齒分度圓直徑；bR為柔輪輪齒齒寬；α為柔輪輪齒嚙合角。

柔輪承受的力矩T和qtmax的關系為

為求柔輪與波發生器之間的反力，由薄壁圓環理論可知，切向載荷引起環的形狀的變化與某個徑向載荷引起環的形狀變化一致，徑向載荷等于切向載荷的積分，周向載荷qt的作用相當于當量徑向載荷qrt的作用，即

將（1）式中qt以Fourier級數形式表示，即

常量qt0與輸出軸的扭矩T2平衡，則

外圈所受總載荷為當量徑向載荷qrt和徑向載荷qr之和，即

將諧波減速器的幾何參數和輸入軸、輸出軸所受扭矩代入（7）式，可求得柔性軸承外圈的實際受載。

為分析實際受載對有限元分析的影響，選用圖3a所示偏載載荷加載，qr＝4cos［πφφ4）／φ5］；并與圖 3b所示的正載情況對比，qr＝4cos（πφ／φ5）。其中φ4＝15°，φ5＝120°。

圖3 有限元模型加載示意圖Fig.3 The load of FEM model

3 柔性軸承整體模型

由于球數為奇數，且載荷邊界條件特殊，需建立整體模型計算。

3.1 建立幾何模型及網格劃分

利用ANSYS Workbench中的Design Modeler建立參數化柔性軸承模型，整個模型包含26個零件。主要結構參數見表1，凸輪軸材料為45＃鋼，內、外圈材料為ZGCr15，球材料為GCr15，其材料參數見表2。

表1 主要結構參數Tab.1 Main structural parameter

表2 材料參數Tab.2 Material parameter

對柔性軸承內外圈及球進行網格劃分時，選擇ANSYS軟件中可以模擬大變形的實體單元，為得到較好的網格質量，將整個模型拓撲結構分解為規則的幾何體，運用掃略法和映射法實現對整體模型的網格劃分，有限元模型的網格全部為20節點的Solid186六面體單元。模型中存在球和內外圈的接觸問題，為提高計算精度同時保證計算效率，對接觸區域的網格進行局部細化。為得到合理的網格數量，分別在粗網格和細網格下進行了多組計算，經反復調試，最佳網格數量為390 059，網格劃分如圖4所示。

圖4 網格劃分Fig.4 The meshing

3.2 接觸定義

模型有23個球，設置47個接觸對。設置波發生器和內圈之間接觸類型為非對稱剛柔接觸，選擇波發生器橢圓柱面為目標面，內圈內表面為接觸面。套圈壁厚薄、剛度小，內外圈與球46個接觸對中，設置溝道面為接觸面，球面為目標面，這樣收斂較快。接觸計算中，增廣Lagrange算法需要進行多次迭代計算，得到的接觸應力比罰函數精確。為選取合理的法向接觸剛度，經反復測試，球與內外圈之間的接觸法向剛度設置為0.05，而內圈與波發生器接觸法向剛度設置為0.1，能在保證收斂的情況下使滲透值較小，最大接觸滲透值為0.001 952 mm。

3.3 邊界條件

3.3.1 約束邊界條件

為模擬保持架對球的約束，在柱坐標系下約束球與內外圈接觸點連線上所有節點的周向自由度，約束內外圈側面的法向自由度，同時對凸輪軸施加固定約束。

3.3.2 載荷邊界條件

通過圖3所示加載方式分析偏載對柔性軸承載荷分布的影響。

3.4 結果分析

3.4.1 變形和應力

柔性軸承安裝在凸輪上之后，隨著余弦凸輪的輪廓線而產生強制變形，柔性軸承在空載情況極坐標下的變形云圖和等效應力云圖分別如圖5和圖6所示。由圖5和圖6可以看出，柔性軸承在空載情況下，內外圈也存在較大的預變形和預應力，最大變形產生在長軸處，最大等效應力發生在外圈長軸處的外端面上，為476.6 MPa。

圖5 空載情況下的變形云圖Fig.5 The deformation in the case of no-load

圖6 空載情況下的應力云圖Fig.6 The stress distribution in the case of no-load

加載后柔性軸承的等效應力云圖和接觸應力云圖分別如圖7和圖8所示，最大等效應力發生在外圈長軸處球與外圈的接觸點，為759.0 MPa，最大接觸應力也發生在外圈長軸處球與外圈接觸點位置，最大值為208.8 MPa。

圖7 加載情況下的應力云圖Fig.7 The stress distribution in the case of loading

圖8 加載情況的接觸應力云圖Fig.8 The contact stress in the case of loading

內圈上半部分的變形如圖9所示（角度位置確定如圖3a所示），內圈在長短軸處的徑向變形最大，而在近45°處為0。內圈在長、短軸處的周向變形為0，而在近45°處為最大值，符合薄壁圓環理論，外圈與內圈變形規律相同。

圖9 內圈上半部分的變形曲線Fig.9 The deformation curve of the upper part of the inner ring

以軸承內、外圈上半部分溝道處接觸線為路徑，兩路徑上的應力曲線如圖10所示，由圖10可知，上半圈周向應力和等效應力出現7個峰值，表明上半圈中實際承載的球數為7。由于內、外圈沿波發生器橢圓凸輪變形后應力呈正弦或余弦曲線分布，周向應力總體上呈三角函數曲線。而由于球與內外圈之間接觸，在接觸點位置存在應力峰值，會產生應力突變。等效應力的大小和趨勢主要取決于周向應力，徑向應力相對周向應力很小。

圖10 溝道應力圖Fig.10 Raceway stress

3.4.2 載荷分布

利用ANSYS提取球與溝道的接觸載荷，經計算各球所受的法向載荷如圖11所示。由圖11可知，上半圈承載球個數為7，下半圈承載球個數為6。

圖11 載荷分布圖Fig.11 Load distribution

正載作用下載荷對稱分布，而偏載作用下載荷非對稱分布，在偏載作用下的各球的法向反力比正載作用下小。

4 結論

綜合分析柔性軸承受載、預應力及預變形，基于ANSYS Workbench接觸仿真分析，得出如下結論：

1）柔性軸承內外圈的變形主要取決于波發生器凸輪的輪廓線，內外圈最大應變在長軸處。在充分考慮柔性薄壁軸承的預應力和預變形后的實際受載情況下，內外圈溝道處的等效應力主要取決于其受到的周向應力。在徑向對稱載荷作用下，等效應力的最大值在長軸處球與內外圈的接觸點上。

2）23個球中實際承載球個數為13，且載荷分布受外載形式的影響，在偏載情況下載荷為非對稱形式。