例談用幾何畫板探究動圓圓心軌跡問題

管燕妮

摘 要：利用幾何畫板，可以給學生一個“操作數學”的環境，把抽象的數學教學變得形象、直觀動態展示教學內容或數學問題，達到“舉一反三”的效果，開拓學生視野。本文由一道數學題呈現出了兩圓的位置關系決定了軌跡的類型。體現了幾何畫板對于研究性學習的強大效果。

關鍵詞：幾何畫板；軌跡；研究

數學是一門抽象的學科，因而數學教學應注重揭示數學思維活動的全過程，拓寬解題思路，提高應變能力。數學教學的最根本目標是培養學生能夠獨立思考問題、分析問題和解決問題的能力，培養學生的創新意識和創造性的邏輯思維方式。數學教學不應局限于一個狹窄的課本知識領域里，更重要的讓學生在學習中學會運用課本的知識達到“舉一反三”的效果。

而利用幾何畫板，可以給學生一個“操作數學”的環境，把抽象的數學教學變得形象、直觀動態展示教學內容或數學問題，能夠化抽象為具體，化具體為形象，因而，使教學更加直觀、生動，有利于激發學生的學習興趣，增強教學的趣味性。數形結合思想是一個非常重要的數學思想。數學家華羅庚說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微。”幾何畫板為“數形結合”創造了一條便捷的通道，它不僅對幾何模型的繪制提供信息，同時，可以解決學生難以繪制的圖形，而且提供了圖形“變換”的動感。高中數學學習的內容跨度大、抽象性強，只有促進高中學生對數學知識的深刻理解，才能達到掌握和靈活應用數學知識的目的。因此，只有在變化環境下反復理解，學生的認識才能不斷深入。

例：一動圓與圓[（x+5）2+y2=4]內切，同時與圓[（x-5）2+y2=36]外切，求動圓圓心的軌跡方程。

根據題意可求得其軌跡方程為[x26+y29=1]，是雙曲線。此時，我們會考慮，是不是只要是和兩個定圓一個內切，一個外切，動圓圓心的軌跡方程總是雙曲線呢？如果是用傳統教學，這研究起來復雜，計算量大，且不生動形象。而如果用了幾何畫板來進行研究，就節約了不少時間，且容易讓學生總結出結論。

試想，此動圓圓心的軌跡是否會和兩定圓的位置關系有關。發現，題中所給的兩個動圓是相離的關系，如果是相交，相切，內含的關系，會是什么樣的結果。這時我們可利用幾何畫板作兩個可以變換位置關系的圓來進行研究。具體做法如下：

（1）任意取兩定點[F1]、[F2]為圓心，使用左邊工具欄中的畫圓工具分別作出兩個圓，使得兩個圓的位置關系為相離；

（2）在其中一圓（如圓[F1]）上任取一點[A]，以[A]為圓心，另一圓半徑（如r2）為半徑作圓，構造直線[AF1]與該圓的交點為[M]，[N]（假設[M]是距離點[A]較遠的點，點[N]是距離點[A]較近的點）；

（3）構造線段[MF2]，并作出線段[MF2]的垂直平分線與直線[AF1]的交點為[P]，以[P]為圓心，[PA]為半徑作圓，并顯示為虛線，則圓[P]分別與圓[F1]內切，與圓[F2]外切。

不難證明，因為[PF2=PM]；

所以[PF2-PF1=PM-PF1=r1+r2]為常數，依次選中點[P]、[A]，點擊菜單中構造-軌跡，便可構造出圓心P的軌跡，而該圓心軌跡就是以[F1]、[F2]為焦點、[r1+r2]為實軸長的雙曲線（如圖）。

（4）美化界面，保留圓[F1]、圓[F2]的控制點，其余不必要的都可以隱藏掉。

（5）拖動圓[F1]或圓[F2]的控制點，便可以得到當兩圓相切、相交、內含時圓心[P]的軌跡。部分效果圖如下：

從不斷改變兩圓的位置關系，可得出不同的軌跡，讓學生開拓了視野，也讓學生了解到此題中的軌跡并不是永遠為雙曲線，會隨著兩圓的位置關系的改變而改變，使學生得到了舉一反三的效果。

運用幾何畫板有效地拓展了學生學習的空間，培養了學生研究的興趣、解決問題的欲望及發現問題和解決問題的能力。學生的學習積極性、主動性有明顯的增強。同時也能讓學生真正的動手操作、觀察、研究、思考。

數學學習不應是一個被動吸收知識、記憶、反復練習強化的過程。一個有意義的學習過程，是學生以一種積極的心態，調動原有的知識和經驗，嘗試解決問題，同化新知識并建構新的認知結構的過程。所有的新知識只有通過學生再創造的活動，使其納入原有的認知結構中，才可能成為有效的知識。只有這樣，學生獲得的才是真正的數學經驗，而不僅僅是一些抽象的數學結論。

參考文獻：

[1]耿秀蓉.“幾何畫板”在命題變式教學中的應用[J].寧夏師范學院學報，2011，（6）.

[2]何立特.幾何畫板在探究軌跡問題中的應用[J].河南教育學院學報，2009，（9）.