淺談小學(xué)數(shù)學(xué)思維的基本形式

程朝林

中圖分類號：G623.5 文獻標(biāo)識碼：B 文章編號：1672-1578（2017）07-0117-01

小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實而言，已經(jīng)得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個重要原因就是以下的認識：小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容過于簡單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點。以下將依據(jù)國際上的相關(guān)研究對這一觀點作出具體分析，希望能促進這一方向上的深入研究，從而能夠?qū)τ趯嶋H教學(xué)活動發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用。

眾所周知，強調(diào)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個重要特征。"數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學(xué)發(fā)展進程中人類的活動軌跡，貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活，不斷溝通生活中的數(shù)學(xué)與教科書上數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使生活和數(shù)學(xué)融為一體。"就努力改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育嚴重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應(yīng)當(dāng)如何去處理"日常數(shù)學(xué)"與"學(xué)校數(shù)學(xué)"之間的關(guān)系。

事實上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點，而這就已包括了由"日常數(shù)學(xué)"向"學(xué)校數(shù)學(xué)"的重要過渡。

例如，在幾何題材的教學(xué)中，無論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現(xiàn)實原型向相應(yīng)的"數(shù)學(xué)模式"的過渡。

應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，以上所說的可說是一種"數(shù)學(xué)化"的過程，后者集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點：數(shù)學(xué)可被定義為"模式的科學(xué)"，也就是說，在數(shù)學(xué)中我們并非是就各個特殊的現(xiàn)實情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過渡到了更為普遍的"模式"。

也正由于數(shù)學(xué)的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實情景，這就為相應(yīng)的"純數(shù)學(xué)研究"提供了現(xiàn)實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學(xué)的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就"量的比較"而言，除去兩個已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出："兩個數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？"或者"兩個數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？"我們在此事實上已由"具有明顯現(xiàn)實意義的量化模式"過渡到了"可能的量化模式"。

綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一些重要特點，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實意義與純數(shù)學(xué)研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當(dāng)然，從理論的角度看，我們在此又應(yīng)考慮這樣的問題，即應(yīng)當(dāng)如何去認識所說的純數(shù)學(xué)研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)明確肯定由"日常數(shù)學(xué)"過渡到"學(xué)校數(shù)學(xué)"的必要性，或是應(yīng)當(dāng)唯一地堅持立足于現(xiàn)實生活。

由于后一問題的全面分析已經(jīng)超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點：與現(xiàn)實意義在一定程度上的分離對于學(xué)生很好地把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是十分重要的。這正是國際上的相關(guān)研究、特別是近年來所興起的"民俗數(shù)學(xué)"研究的一個重要結(jié)論：盡管"日常數(shù)學(xué)"具有密切聯(lián)系實際的優(yōu)點，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠"自發(fā)的數(shù)學(xué)能力"，人們往往就不善于從反面去思考問題，與此相對照，通過學(xué)校中的學(xué)習(xí)，上述的情況就會有很大改變，這就是說，純數(shù)學(xué)的研究"在幫助學(xué)生學(xué)會使用逆運算來解決問題方面有著明顯的效果"；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現(xiàn)實情景，所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識在"可遷移性"方面也會表現(xiàn)出很大的局限性。

一般地說，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對學(xué)生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學(xué)知識進行鞏固、適當(dāng)重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學(xué)事實過渡到了系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學(xué)教育家斯根普所指出的："兒童來到學(xué)校雖然還未接受正式教導(dǎo)，但所具備的數(shù)學(xué)知識卻比預(yù)料的多……他們所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結(jié)合。"

當(dāng)然，我們還應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活"復(fù)歸"的重要性。這正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的："數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進行計數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進行度量?！M管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算──這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對的文字題中的算術(shù)問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實。"

總的來說，這就應(yīng)當(dāng)被看成"數(shù)學(xué)化"這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活的"復(fù)歸"。另外，相對于具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加注意如何幫助學(xué)生很好地去掌握"數(shù)學(xué)化"的思想，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解"情境設(shè)置"與"純數(shù)學(xué)研究"的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的："數(shù)學(xué)化……是一條保證實現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑……情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法。"