“條件概率”難點突破教學的實踐與體會

彭鳳海

摘要：“條件概率”是高中數學中重要的一項內容，非?？简瀸W生的數學思維能力，但是其教學中存在諸多難點，教學效果不盡如人意。本文中通過文獻綜述說明“條件概率”的教學難點，通過實例對教學中的難點進行突破，說明一些教學實踐和體會，希望對數學“條件概率”的教學發展有所裨益。

關鍵詞：條件概率；高中數學；突破教學難點；實踐與體會

“條件概率”屬于高考理科考試范圍，也是高中數學老師教授的重點內容之一，但是由于其概念抽象，難于理解，調研中發現學生的掌握情況不佳，怎樣了解其中的教學難點，針對性的進行時間突破，強化教學效果，指引學生掌握條件概率計算公式和方法就成為所有數學教師研究的重點。

1 “條件概率”

國家新課標高中數學學科將“條件概率”作為增設內容，放置在《數學·選修2-3》第二章“隨機變量及其分布”的第二節“二項分布及其應用”的第一小節[1]，其概念為事件A在另外一個事件B已經發生條件下的發生概率，其中涵蓋了古典概型和幾何概型，涉及的理念包括隨機事件、基本事件、和事件、互斥事件概率公式及古典概型概率公式等，計算觀念較為抽象，需要教師在學習開始前，教導學生復習基礎知識，便于使用。

2 “條件概率”教學難點

2.1各要素的不同特征

在學習“條件概率”時，第一個難點就是理解其概念內容，形成初步認識，其概念定義表示為p（A丨B），即已知B事件發生的情況下事件A的發生概率，在此概念中有三個要素，即：事件A、事件B和條件關系，此三者一項都不可缺少，事件A具有隨機性，事件B具有確定性，條件關系則存在各種各樣的表達方式，教師在教導此部分內容時，需要由淺入深、由難到易，使學生接受概念并靈活運用。

首先需要掌握的方法為直接計算法，這是最為基礎也是最為簡單的計算方法，可以采用簡單的題目，如：隨機拋擲一顆質地均勻的骰子，求擲出的點數不超過3的概率，可直接由由古典概型的概率公式得到p（A）=1/3，然后在此基礎上加大難度，研究已知擲出了偶數點，求擲出的點數不超過3的概率，則擲出了偶數點為已知B事件，B變為新的樣本空間，其樣本點具有等可能性，可計算p（A丨B）=1/3[2]。

其次可以漸漸引入公式法的計算，引入中可以借由題目使學生明白條件關系不單單只有實質條件關系，也可能為形式條件關系，以下題目為例：甲乙丙按順序抽一張電影票，探究乙抽到電影票時甲抽到電影票的概率，此題目中事件B于事件A發生后發生，不可能影響事件A發生，因此AB間關系只為形式關系；除此之外，在不存在顯明條件結構的條件概率中，其中的條件事件定為實質條件，以下題為例：某生物有0.7的概率存活至20歲，有0.56的概率存活至25歲，那么這種動物現已20歲，求活至25歲的概率，此題目中活到20歲為已知A事件，也是活到25歲的先決條件，根據條件概率的計算公式p（A丨B）=p（AB）/p（A）=p（B）/p（A）=0.8.

2.2界定概念要素和細節

在了解了條件概率的定義和基本公式后，需要進行概念的深挖掘，體會其中的細節內容，將概念掌握的更為牢固。此過程需要教師用更多的題目實例進行講解，對不同類型的經典題目進行對比區分，確保學生完全掌握。

在解題中要避免望文生義，將輔加條件和題目核心條件相混淆，以下面的題目為例：甲乙兩人同時加工120個零件，甲加工70個，其中65個正品，乙加工60個，其中50個正品，求任取一件樣品為正品的概率，任取一件樣品為甲生產正品的概率？同學在解題過程中可能會存在誤區，認為已知是取到了一件正品，誤以為甲生產正品的概率為p=65/115，然而忽略了文中說隨機抽取一件樣品，答案應當是p=65/120，這是學生在條件概率中非常容易犯的錯誤，主要是因為對題目的理解出現了偏差，教師在教導中應當將同類型的題目列舉，使學生反復細心讀題，剖析題目含義。

2.3變式練習和糾錯練習

在解題中，可能會出現一些疑似條件或者干擾條件，我們將條件概率引入主要是為了在充分利用已知信息時，還能在現有條件中進行更為復雜的概率計算，因此一些變式練習有助于增強我們對于概率計算的了解；除此之外，眼過千遍不如手過一遍，并且數學的學習是一個反復練習的過程，增加糾錯練習，可以使學生盡量減少出錯率，在教學中，學生練習題目后老師對結果進行點評，指出學生計算失誤之初，并教導其進行辨析，可安排學生準備糾錯本，將錯誤的題目進行記錄，反復練習，特別是對于屢次出錯的題目，必須尤為關注，明晰出錯的原因和正確的解題思路。

2.4挖掘深層內容

人在學習中就是對一個概念不斷深化的過程，數學學習，尤其是“條件概率”的學習更是如此。再了解了簡單知識后，教師不妨對授課內容進行深化，比如說以下題目：已知質點M在實數軸上的區間[0，5]內隨機地跳動，設事件A={2}，事件B={2，3}，試研究事件A、B的獨立性。此題目明顯比上文中提到的題目更為復雜，若通過幾何概型的概率公式計算我們認為二者獨立，若根據B作為新的樣本空間，其樣本點具有等可能性，古典概型概率公式計算其不獨立，結果就變為矛盾結果，對此，教師必須明白須在條件概率p（A丨B）的定義中限定p（B）>0，當后續概率公式是由條件概率進行推導而來時[3]，必須規定相應的條件。在深層挖掘中，一部分學生可能受到基礎限制，很難理解這部分內容，教師需要細心講解，并且根據學生的情況改變教課的分配比，做到因材施教。

3 總結

前文中提到，“條件概率”在數學中占有重要的位置，不僅僅是應付考試要求，更多的是對學生的思維進行啟發，使學生體會到數學的樂趣，并且利用“條件概率”解決實際問題，但是“條件概率”的教學是存在一些難點的，相關教師必須自身知識水平過硬，做好教學規劃，由淺到深的對概念、題目等進行講解，確保學生掌握基礎知識的情況下進行提高，且要注意通過不同類型的題目加深學生對于概念的理解，而不是紙上談兵，也根據題目解答情況了解學生對于概念的掌握情況，及時調整教案，做到實踐與理論相結合，在教學中還可以采用一些趣味的教學方法吸引學生的興趣，將數學和游戲、生活相結合，加深學生的理解，將“條件概率”中的教學難點一一轉化突破，最終培養出具有創造性思維的學生。

參考文獻：

[1]金天壽.試談條件概率的教學[J].數學通報，2012

[2]朱賢良.把握“縮減樣本空間”突破《條件概率》難點[J].河北理科教學研究，2015endprint