環境條件影響鐘罩測量誤差的熱動力學分析

劉夷平，陳 超，吳錦川，全曉軍

（1.上海市計量測試技術研究院，上海 201203；2.上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240）

環境條件影響鐘罩測量誤差的熱動力學分析

劉夷平1，陳 超1，吳錦川1，全曉軍2

（1.上海市計量測試技術研究院，上海 201203；2.上海交通大學機械與動力工程學院，上海 200240）

使用空調系統調節鐘罩式氣體流量標準裝置的環境溫度，其控制效果難以完全滿足檢定高準確度流量計的要求。為分析鐘罩運行期間各狀態參數隨時間的變化特征，借鑒隙封活塞式氣動系統，將排氣過程視為一個變容出口系統，建立關于鐘罩位移、下降速度、罩內壓力和溫度的熱動力學模型。求解四元常微分方程組，結果表明，如果不考慮氣體與環境之間的熱交換，會導致一定的測量誤差，且誤差隨著氣體與罩壁之間的溫差增加而增加。由空調引起的環境壓力和溫度無規則變化使鐘罩內壓無法達到恒定，因而排氣量變化導致的測量誤差難以通過裝置結構的改進予以消除。

計量學；鐘罩；熱動力學；流量

0 引 言

鐘罩式氣體流量標準裝置是標定氣體流量計的主要設備，也是低壓范圍內氣體流量的基標準裝置，被各國計量技術機構作為流量計量的原始標準[1]。為了提升鐘罩的計量性能，降低其測量不確定度，國內外研究者做了大量工作：一方面，利用高精度裝置測量鐘罩容積，使量值準確地溯源到長度基本量[2]；另一方面，改進與計量性能相關的關鍵部件[3-4]，目的是控制鐘罩體積和鐘罩運行過程的余壓波動[5]。從鐘罩的工作原理可知，影響鐘罩計量準確性的因素主要包括環境控制、機械結構和測量控制3個部分，其中環境控制部分（壓力、溫度、濕度、實驗室空間等）是前提條件。鐘罩式氣體流量標準裝置對使用環境要求很嚴格，JJG 165——2005《鐘罩式氣體流量標準裝置檢定規程》規定0.2級的鐘罩壓力波動≤20Pa，溫度差控制≤0.2℃，而將鐘罩作為氣體流量基準的國家對環境條件作了更為細致的研究。例如，澳大利亞國家計量院研究了鐘罩檢定臨界流文丘里噴嘴的濕度修正因子[6]，美國國家標準與技術研究院對鐘罩運行中的波動作了動力學分析[7]。國內氣體流量檢定和校準實驗室大都采用獨立空調系統，但是其控制效果仍難以完全滿足檢定高準確度流量計的要求。目前，檢定或校準工作大多基于穩態流動和靜力學分析，當環境條件與鐘罩內氣體狀態不一致，甚至發生變化時，便無法分析狀態參數隨時間的變化特征。為此，借鑒隙封活塞式氣動系統，將鐘罩工作過程視為一個變容出口系統，建立熱動力學模型，研究環境條件對鐘罩測量誤差的影響。

1 不穩定流動開口系統的能量分析

鐘罩是一個變容腔體，可以視作簡單可壓縮開口系統。除了考慮系統的功交換和熱交換之外，利用熱力學第一定律進行能量分析時，不僅需要知道過程的初、終二態，還須確定各狀態參數在期間的變化規律。鐘罩的工作過程是一個典型變容積放氣過程，而pVTt法氣體流量標準裝置工作過程則是一個定容充氣過程。即使采用臨界流文丘里噴嘴限流，由于環境的影響，狀態參數在過程期間經歷不規則變化，所以，嚴格來說鐘罩排氣仍然是一個不穩定流動過程。

通過鐘罩的變容腔體向外放氣，與pVTt法裝置的充氣過程有很大的不同，主要表現在：充氣時，通過進口截面流入腔體的氣體焓值取決于外部充氣源的狀態，而不是腔體內氣體的焓；而放氣時，通過出口截面流出氣體的焓值則時時取決于腔體內氣體狀態。其次，充氣時若氣源是穩定的，則通過進口截面的氣體狀態參數是穩定不變的，而放氣時，通過出口截面的氣體狀態參數將隨著腔體內氣體的減少而連續變化，故分析放氣問題通常比充氣問題復雜。為此，假定在放氣期間，氣體時時處于準平衡態，且出口截面相對于罩體截面很小，放氣緩慢，忽略氣體的動能和宏觀勢能，以及氣體與外界的換熱影響。由罩體、密封液和中桶圍成的控制容積的能量方程為

式中：h——比焓，J/kg；

u——比內能，J/kg；

V——控制容積，m3；

P——壓力，Pa；

m——質量，kg。

由于 h-u=Pν，上式可化簡為

按理想氣體考慮，上式進一步表示為

因為定容比熱容 cν=R/（k-1），ν 為比容，R 為氣體常數，k為絕熱指數，積分可得：

應用理想氣體狀態方程，可推得：

上式給出了準靜態絕熱放氣過程中各狀態參數的耦合關系。如果罩體在一個恒定外壓的推動下將氣體排出，經歷的是準靜態絕熱等壓放氣過程，那么容器內氣體溫度始終保持不變，這是理想條件下的工作狀態。如果罩體在一個變動的壓力推動下將氣體排出，需要知道外壓力和容積之間的變化關系，才能確定排出的氣體質量。

在實際工作中，環境壓力和溫度的變化時刻影響著罩內氣體的狀態，特別是目前實驗室都采用空調系統維持恒溫，送排風造成的氣壓不穩，以及溫度波動都不利于鐘罩排氣的穩定。因此，需要考慮外界壓力變化和罩內氣體與外界的熱交換，對系統進行熱動力學分析。

2 熱動力學模型

為了便于分析，借鑒隙封活塞式氣動系統的集總參數法（lumped parameters model）[8]，在一個緊湊式罩體內，通過風扇或其他強制對流的裝置使罩內溫度趨于一致，可以近似認為罩內溫度僅是時間的函數而與空間坐標無關。忽略氣體的動能和宏觀勢能，罩內理想氣體的能量守恒方程[9]為

式中定壓比熱容cp=kcν，Q是系統與外界的換熱量，Q=αwAs（T-Tw），αw是對流換熱系數，As是換熱表面積，T和Tw分別是罩內氣體和罩壁的溫度，且排氣溫度與罩內氣體溫度保持一致，W是做功變化。W的計算公式為

由于排氣過程容積減小，外界環境對系統做功，因而W為負值。內能的變化可表示為

將式（8）代入能量守恒方程（6），得：

于是系統壓力隨時間的變化率為

同理，可推得系統溫度隨時間的變化率為[9]

以罩體為對象，作用在罩體上的力包括：1）罩體本身的重力；2）罩內氣體的壓力；3）大氣壓力；4）配重物重力；5）密封液體的浮力；6）壓力補償機構的拉力。當罩體勻速下降時，上述各力平衡。考慮到罩體的非勻速運動，將上述各力簡化為：罩內氣體的壓力P，大氣壓力Pa和其余各力平衡后的重力m′g，則罩體下降速度ubell隨時間的變化率為

其中A是罩體橫截面積。罩體位移隨時間的變化率即為罩體下降速度：

圖1所示的控制容積以導氣口為出口截面。式（10）～式（13）構成關于罩內壓力 P（t）、罩內溫度T（t）、罩體速度 ubell（t）、罩體行程 x（t）的非線性一階常微分方程組。以罩體初始位置為原點，行程終點x=0.5 m，罩體橫截面直徑0.4 m，設環境溫度與壁溫（Tw=293.15 K）時刻保持一致，大氣壓力Pa=101 325 Pa。使用四階Runge-Kutta法求解常微分方程組，初始條件為：x（0）=0.05 m，u（0）=0 m/s，P（0）=101325Pa，Tw-T（0）=0.5K。

圖1 變容開口熱動力學系統

3 結果和討論

當環境壓力恒定，不考慮氣體與罩壁的熱交換，且排氣流量恒定（qm，out=4kg/h），鐘罩內氣體壓力和溫度隨時間的變化如圖2所示。在排氣的啟動階段，各狀態參數發生瞬態脈動，溫度和壓力的變化保持基本一致，反映了兩者在絕熱放氣過程中相互耦合，大約1.5s后趨于穩定，罩內壓力高于大氣壓力，溫度低于壁溫。考慮環境壓力變化的影響，對大氣壓力引入隨時間正弦變化的激勵，計算結果如圖3所示，氣體溫度與壓力在經歷啟動瞬態脈動后，無法趨于穩定，脈動振幅逐漸增大。表明當環境壓力隨時間變化，罩內壓力和溫度隨之改變，趨于發散。鐘罩式氣體流量標準裝置中的各類補償機構無法平衡此類內壓變化，因而排氣量的不穩定造成一定的測量誤差。

圖2 不考慮熱交換鐘罩內壓差、溫差隨時間的變化

圖3 環境壓力波動時鐘罩內壓差、溫差隨時間的變化

圖4 考慮熱交換鐘罩內壓差、溫差隨時間的變化

當環境壓力恒定時，考察氣體與罩壁的熱交換對流量測量的影響。如圖4所示，當排氣流量恒定，Tw-T（0）=0.5 K，氣體與罩壁的對流換熱系數αw=20W/（m2·K），氣體在經歷啟動階段的瞬態脈動后，逐漸趨于壁溫。除了內壓趨于穩定用時較長以外，計算結果并未發現熱交換對過程期間的內壓變化有顯著影響，可以認為罩內壓力主要受外力作用的影響。

為了分析熱交換對流量測量誤差的影響，引入以下絕熱測量模型[10]。鐘罩式氣體流量標準裝置的工作原理是，在一定的壓力和溫度狀態下，確定罩體在某一時間間隔內（Δt=t2-t1）排出的氣體體積量Vm。忽略泄漏量，測量過程中平均質量流量可表示為

式中ρ1是t1時刻氣體的空間平均密度。參考文獻[11]的處理方式，上式可用t2時刻的密度ρ2和轉換因子φρ表示，即：

圖5 在不同的對流表面換熱系數和流量下，絕熱測量模型的誤差與溫差的關系

式中P1，2是測量期間的時間平均壓力，n是多變指數，如果鐘罩排氣是等溫過程（n=1），氣體流量僅和初終狀態有關，無法體現溫度和壓力的耦合影響，所以測量模型將鐘罩排氣視為一個絕熱過程（n=k=1.4）[12]，則能夠反映壓力的變化對溫度及密度的影響。將qm作為鐘罩式氣體流量標準裝置的示值，qm，out為實際排出的氣體質量流量，不考慮罩內氣體與罩壁的熱交換所引起的誤差為

在不同的對流表面換熱系數和流量下，流量誤差隨氣壁溫差的變化如圖5所示，當給定對流換熱系數，誤差隨著氣體初始溫度和壁溫之間的溫差上升而線性增加，這意味著罩內氣體需要更長的時間趨于壁溫。對于相同的對流換熱系數，大流量的誤差斜率小于小流量，這表明隨著流量增加，罩體位移速度加快，誤差相對減少。圖6顯示了在給定的流量（qm，out=4 kg/h）和氣壁溫差（0.8 K）下，隨著對流換熱系數增加，誤差呈現雙曲型遞增。當 αw＞20W/（m2·K）后，誤差下降趨于平緩。由于空氣自然對流換熱系數約為 1～20 W/（m2·K）， 強制對流換熱系數約為 20～100W/（m2·K）， 罩體在靜置穩定后進行檢定或校準試驗，罩內空氣是自然對流換熱，因而αw＞20 W/（m2·K）的計算結果沒有實際意義。圖6還表明，一旦環境溫度發生顯著改變，引起氣體與罩壁間的熱交換，基于絕熱模型計算流量所導致的測量誤差不能忽略。

圖6 絕熱測量模型的誤差與對流表面換熱系數的關系

需要指出，為了便于氣體熱動力學分析，假設罩壁溫度和環境溫度時刻保持一致，罩內空氣溫度具有時滯性，在對流換熱作用下趨近壁溫。而實際情況是，罩內氣體和環境溫度之間存在罩內、罩外空氣對流換熱熱阻和罩壁的導熱熱阻，環境溫度的非穩態變化令系統熱動力學分析更為復雜，需要作進一步分析。

4 標定試驗

圖7 臨界流文丘里噴嘴（2m3/h）標定流出系數

圖8 臨界流文丘里噴嘴（5m3/h）標定流出系數

通過標定臨界流文丘里噴嘴試驗來評估環境條件對鐘罩式氣體流量標準裝置的影響。1000L鐘罩式氣體標準裝置經德國聯邦物理技術研究院（PTB）比對[13]和中國計量科學研究院（NIM）測量審核，流量范圍 0.4～65m3/h，相對擴展不確定度 Urel=0.06%（k=2）。工作環境要求：18～23℃，10min內溫度變化±0.1℃，1min內壓力變化小于10Pa。試驗期間，室外平均氣溫16℃，通過獨立空調系統將實驗室溫度控制在10，20，30℃，分別標定2個臨界流文丘里噴嘴（名義流量2m3/h和5m3/h）的流出系數。每個設定溫度下重復試驗8次，每次排氣量300L。流出系數及其標準誤差如圖7和圖8所示。當空調系統偏離20℃設定工況，進入加強制冷或制熱狀態，頻繁地送排風和熱交換導致實驗室溫度、壓力波動。2個噴嘴在10℃時的流出系數平均值與20℃的標定值分別偏差0.11%和0.27%；30℃時的流出系數平均值與20℃的標定值分別偏差0.14%和0.09%。當環境溫度為20℃，2個噴嘴的流出系數重復性分別為0.03%和0.02%，而當環境溫度為10℃和30℃，測得流出系數的重復性不符合標定結果的要求。對比圖7和圖8可知，在相同的排氣量下，由于測量時間短，實驗室環境條件波動的影響相對較小，所以5m3/h噴嘴的測量重復性優于2m3/h噴嘴。由此可知，環境條件的無規則大幅變化直接影響到測量結果的不確定度，并且難以通過改進裝置結構予以消除。

5 結束語

鐘罩式氣體流量標準裝置技術已近成熟，配置各類機械部件和補償機構以保證流量的穩定。環境條件的無規則變化，特別是空調系統造成的室內壓力、溫度變化不利于罩內壓力的穩定，從而導致流量變化。借鑒隙封活塞式氣動系統，將鐘罩工作過程理想化為一個變容出口系統，建立熱動力學模型，從理想的等壓絕熱過程出發，分析環境條件變化時，罩內氣體狀態參數隨時間的演化規律，并考察氣體和罩壁的熱交換對測量誤差的影響，得到以下結論：

1）當鐘罩排氣流量一定，環境條件不變，罩內壓力和溫度經歷短暫的瞬態脈動后趨于穩定，與環境條件保持熱力學平衡。

2）環境壓力和溫度的無規則變化使鐘罩內壓無法維持恒定，因而排氣流量變化導致的測量誤差難以通過改進裝置結構予以消除。

3）如果不考慮氣體與環境之間的熱交換，會導致一定的測量誤差。在一定的流量下，誤差隨著氣體與罩壁之間溫差增加而增加，誤差值與兩者之間的對流換熱系數及流量大小有關。本文的分析僅限于對流換熱系數的經驗值，通過數值模擬或實驗測量分別獲得罩內氣體、環境空氣與罩體表面的對流換熱系數將有助于對系統作進一步的熱動力學分析。

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（編輯：李妮）

Thermodynamical analysis of the effect of environmental conditions on measurement error of bell prover

LIU Yiping1， CHEN Chao1， WU Jinchuan1， QUAN Xiaojun2
（1.Shanghai Institute of Measurement and Testing Technology，Shanghai 201203，China；2.School of Mechanical Engineering，Shanghai Jiaotong University，Shanghai 200240，China）

Using air conditioning system to adjust the environmental temperature of bell type gas flow standard device，but its control effect is difficult to fully meet the requirements of the verification of high accuracy flowmeter.In order to obtain time-variant state parameters during the operation period of bell prover，the discharging process was regarded as a one-exit variablevolume system which was similar to clearance-sealed piston pneumatic system， and a thermodynamic model was presented for the displacement and the velocity of bell prover，as well as the pressure and the temperature inside the bell.An analysis of the thermodynamic model was implemented by solving four first order differential equations.The results show that neglecting the heat exchange between gas and environment will give rise to measurement error， which will become larger with the increased temperature difference.The random variation of environmental pressure and temperature caused by air conditioning system prevents the inner pressure from reaching constant，thus the measurement error caused by variable flow rate is hardly eliminated by the improvement of mechanical structures.

metrology； bell prover； thermodynamics； flow rate

A

1674-5124（2017）06-0118-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2017.06.025

2016-12-05；

2017-01-20

國家自然科學基金（51276109）；上海市質量技術監督局科研項目（2015-35）

劉夷平（1974-），男，上海市人，高級工程師，博士，研究方向為氣、液流量測量。