B(H)上的可乘ξ－Lie同構

劉 珍，楊 翠

(1.喀什大學數學與統計學院，新疆喀什844000；2.河北工程技術學院人文學院，石家莊050091)

B(H)上的可乘ξ－Lie同構

劉 珍1，楊 翠2

(1.喀什大學數學與統計學院，新疆喀什844000；2.河北工程技術學院人文學院，石家莊050091)

設H，K為實數域或復數域F上的無限維Hilbert空間，B(H)，B(K)分別表示H和K上的全體有界線性算子構成的代數。若雙射φ:B(H)→B(K)滿足對任意的A，B＿φ([A，B]ξ)＝[φ(A)，φ(B)]ξ成立，則稱φ為B(H)上的一個可乘ξ－Lie同構。顯然，當ξ＝0，－1，1時的可乘ξ－Lie同構分別對應可乘同構，Jordan可乘同構以及Lie可乘同構。本文利用Peirce分解的方法證明了B(H)上的每個可乘ξ－Lie(ξ∈F且ξ≠0，±1)同構是可加的，從而存在非零數c∈F以及可逆算子T∈B(H，K)，使得對任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1。

Hilbert空間；可乘映射；ξ－Lie同構

0 引言

設A和B是實數域或復數域F上的兩個結合代數，A，B是代數A中的兩個元，若存在ξ∈F，使得AB＝ξBA，則稱A和B關于因子ξ交換。近年來，算子關于因子的交換性已成為量子群領域和算子代數中的重要課題之一[1－2]?；诖?，文獻[3]引入了一個新概念為:設ξ∈F，對于A中的兩個元A，B，定義A，B[]ξ＝AB－ξBA，稱作A，B的ξ－Lie積。顯然，ξ－Lie零積，即為我們熟知的關于因子ξ交換。設φ:A→B是一個雙射，若φ滿足φ([A，B]ξ)＝[φ(A)，φ(B)]ξ，則稱φ為A上的可乘ξ－Lie同構。事實上，當ξ＝0，－1，1時的可乘ξ－Lie同構分別對應可乘同構，Jordan可乘同構以及Lie可乘同構。而人們對這三方面一直備加關注[4－8]。本文將對B(H)上的可乘ξ－Lie同構(ξ≠0，±1)進行刻畫。

文中用H，K表示實數域或復數域F上的無限維Hilbert空間，B(H)和B(K)分別表示H和K上的全體有界線性算子構成的代數，Atr表示A(A∈B(H))的關于H的任意但固定標準基的轉置。

1 定理的證明

本文主要得到以下結果。

定理2.1設H和K是實數域或復數域F上的無限維Hilbert空間，ξ∈F且ξ≠0，±1。若φ:B(H)→B(K)為可乘ξ－Lie同構，則下列之一成立:

(1)若ξ∈R，則存在非零數c∈F以及有界可逆線性或共軛線性算子T:H→K，使得對任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1；

(2)若ξ∈C＼R且ξ≠1，則存在非零數c∈F以及可逆算子T∈B(H，K)，使得對任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1；

(3)若ξ＝1，則存在非零數c∈F以及可逆算子T∈B(H，K)，使得對任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1；或者存在有界可逆共軛線性算子T:H→K，使得對任意的A∈B(H)，有φ(A)＝cTAT－1。

取P1∈B(H)為一個非平凡冪等算子，記P2＝I－P1且Bij＝PiB(H)Pj(1￡i，j￡2)。則B(H)＝B11?B12?B21?B22.以下我們通過幾個引理來完成定理2.1的證明。

引理2.1(標準引理)設A，B，S∈B(H)滿足φ(S)＝φ(A)＋φ(B)，則對任意T∈B(H)，有φ([S，T]ξ)＝φ([A，T]ξ)＋φ([B，T]ξ)。

證明:對φ(S)＝φ(A)＋φ(B)等式兩邊分別左乘和右乘φ(T)，得:

φ(T)φ(S)＝φ(T)φ(A)＋φ(T)φ(B)及φ(S)φ(T)＝φ(A)φ(T)＋φ(B)φ(T)。

所以，φ(S)φ(T)－ξφ(T)φ(S)＝(φ(A)φ(T)－ξφ(T)φ(A))＋(φ(B)φ(T)－ξφ(T)φ(B))。從而由φ的定義知φ([S，T]ξ)＝φ([A，T]ξ)＋φ([B，T]ξ)。證畢。

引理2.2φ(0)＝0。

證明:由φ是滿射，則存在A∈B(H)使得φ(A)＝0。于是:

φ(0)＝φ([0，A]ξ)＝[φ(0)，φ(A)]ξ＝[φ(0)，0]ξ＝0。證畢。

引理2.3設S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)，則以下結論成立:

(1)設Tij∈Bij(1￡i，j￡2)，則STij－ξTijS＝S1iTij＋S2iTij－ξTijSj1－ξTijSj2。

(2)若對任意Tij∈Bij，有TijSjk＝0(1￡i，j，k￡2)，則Sjk＝0.同理，若對任意Tij∈Bij，有SkiTij＝0(1￡i，j，k￡2)，則Ski＝0。

(3)若對任意Tij∈Bij，有STij－ξTijS∈Bij(1￡i≠j￡2)，則Sji＝0。

(4)若對任意Tjj∈Bjj，有STjj－ξTjjS∈Bij(1￡i≠j￡2)，則Sji＝Sjj＝0.同理，若對任意Tjj∈Bjj，有STjjξTjjS∈Bji(1￡i≠j￡2)，則Sij＝Sjj＝0。

證明:(1)簡單計算可得。

(2)由B(H)是素環，即得。

(3)由于STij－ξTijS∈Bij，則(STij－ξTijS)Pi＝0。于是由(1)及ξ≠0，得TijSji＝0對任意Tij∈Bij成立。從而由(2)知Sji＝0。

(4)由于STjj－ξTjjS∈Bij，則(STjj－ξTjj)Pi＝0.于是由(1)(2)及ξ≠0可得Sji＝0。另外，我們還可知道Pj(STjj－ξTjj)Pj＝0.由(1)化簡得SjjTjj－ξTjjSjj＝0對任意Tjj∈Bjj成立。特別地，取Tjj＝Pj，則有Sjj＝ξSjj。而ξ≠1，故Sjj＝0。類似可證另一種情形。

引理2.4φ(Aii＋Aij)＝φ(Aii)＋φ(Aij)，φ(Aii＋Aji)＝φ(Aii)＋φ(Aji)(1￡i≠j￡2)。

證明:設Aii∈Bii，Aij∈Bij(1￡i≠j￡2)。由φ是滿射，則存在S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)，使得

對于(2.1)式關于Tij∈Bij運用標準引理，得:

φ([S，Tij]ξ)＝φ([Aii，Tij]ξ)＋φ([Aij，Tij]ξ)＝φ(AiiTij)。

故由φ的單射性知STij－ξTijS＝AiiTij∈Bij.從而由引理2.3(3)知Sji＝0。因此，有:

對于(2.1)式關于Tjj∈Bjj運用標準引理，得:

φ([S，Tjj]ξ)＝φ([Aii，Tjj]ξ)＋φ([Aij，Tjj]ξ)＝φ(AijTjj)。

所以，STjj－ξTjjS＝AijTjj∈Bij對任意Tjj∈Bjj成立.從而由引理2.3(4)知Sjj＝0.故SijTjj＝AijTjj且(2.2)式變為SiiTij＝AiiTij。于是由引理2.3(2)知Sij＝Aij，Sii＝Aii。故S＝Aii＋Aij.類似可證φ(Aii＋Aji)＝φ(Aii)＋φ(Aji)(1￡i≠j￡2)。證畢。

引理2.5φ在B12和B21上可加。

證明:設A12，B12∈B12.由A12＋B12＝[P1＋B12，A12＋P2]ξ，則由引理2.4，有:

φ(A12＋B12)

＝[φ(P1)＋φ(B12)，φ(A12)＋φ(P2)]ξ

＝[φ(P1)，φ(A12)]ξ＋[φ(P1)＋φ(P2)]ξ＋[φ(B12，φ(A12)]ξ＋[φ(B12＋φ(P2)]ξ

＝φ([P1)＋φ([P1)＋φ([B12)＋φ([B12)

＝φ(A12)＋φ(B12)

類似地，設A21，B21∈B21.由A21＋B21＝[A21＋P2，P1＋B21，]ξ，可得:

φ(A21＋B21)＝φ(A21)＋φ(B21)。

引理2.6φ在Bii(i＝1，2)上可加。

證明:設Aii，Bii∈Bii(i＝1，2)，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

對(2.3)式關于Tjj∈Bjj(j≠i)運用標準引理，得STjj－ξTjjS＝0.而0∈Bij∩Bji，于是由引理2.3(4)知Sij＝Sji＝Sjj＝0.對(2.3)式關于Tij∈Bij(1￡i≠j￡2)運用標準引理，得:

φ([S，Tij]ξ)＝φ([Aii，Tij]ξ)＋φ([Bii，Tij]ξ)＝φ(AiiTij)＋φ(BiiTij)

由引理2.5及Sij＝Sji＝Sjj＝0，得SiiTij＝(Aii＋Bii)Tij。從而由引理2.3(2)知:

Sii＝Aii＋Bii.故Sii＝Aii＋Bii。證畢。

引理2.7φ(A11＋A22)＝φ(A11)＋φ(A22)。

證明:設A11∈B11，A22∈B22，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

對(2.4)式關于P1運用標準引理，得:

φ([S，P1]ξ)＝φ([A11，P1]ξ)＋φ([A22，P1]ξ)＝φ((1－ξ)A11)。

所以，SP1－ξP1S＝(1－ξ)A11，即(1－ξ)S11＋S21－ξS12＝(1－ξ)A11。從而有ξS12＝0，S21＝0，(1－ξ)S11＝(1－ξ)A11。而ξ≠0，1，故S11＝A11，S12＝0。同理，對(2.4)式關于P2運用標準引理可得S22＝A22。故S＝A11＋A22。

引理2.8φ(A12＋A21)＝φ(A12)＋φ(A21)。

證明:設A12∈B12，A21∈B21，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

對(2.5)式關于T12∈B12運用標準引理，得:

φ([S，T12]ξ)＝φ([A12，T12]ξ)＋φ([A21，T12]ξ)＝φ(A21T12－ξT12A21)。

所以，ST12－ξT12S＝S11T12＋S21T12－ξT12S21－ξT12S22＝A21T12－ξT12A21。從而ξT12S21＝ξT12A21。再由引理2.3(2)及ξ≠0，得S21＝A21。類似地，對(2.5)式關于T21∈B21運用標準引理可得S12＝A12。

對(2.5)式關于P1運用標準引理，得:

對(2.6)式關于－ξ－1P2運用標準引理，有:

φ([SP1－ξP1S，－ξ－1P2]ξ)＝φ([－ξA12，－ξ－1P2]ξ)＋φ([A21，－ξ－1P2]ξ)。

化簡得:

φ(S12＋S21)＝φ(A12)＋φ(A21)＝φ(S)。

由φ的單射性.則S＝S12＋S21＝A12＋A21。

引理2.9φ(A11＋A12＋A21)＝φ(A11)＋φ(A12)＋φ(A21)。

證明:設A11∈B11，A12∈B12，A21∈B21，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

φ(S)＝φ(A11)＋φ(A12)＋φ(A21)。

由引理2.4，則:

對(2.7)式關于P2運用標準引理及引理2.8，得:

φ([S，P2]ξ)＝φ([A11＋A12，P2]ξ)＋φ([A21，P2]ξ)＝φ(A12－ξA21)。

所以，S12＋(1－ξ)S22－ξS21＝A12－ξA21。從而S12＝A12，ξS21＝ξA21，(1－ξ)S22＝0。則S21＝A21，S22＝0。

對(2.7)式關于T21∈B21運用標準引理，得:

φ([S，T21]ξ)＝φ([A11＋A12，T21]ξ)＋φ([A21，T21]ξ)。

將S21＝A21，S22＝0代入(2.8)式，并結合ξ≠0及引理2.3(2)，則S11＝A11.故S＝A11＋A12＋A21。

引理2.10φ(A11＋A12＋A21＋A22)＝φ(A11)＋φ(A12)＋φ(A21)＋φ(A22)。

證明設Aij∈Bij(i，j＝1，2)，S＝S11＋S12＋S21＋S22∈B(H)滿足:

對(2.9)式關于P1運用標準引理及引理2.8和引理2.9，得:

φ([S，P1]ξ)＝φ([A11＋A22，P1]ξ)＋φ([A12＋A21，P1]ξ)＝φ([A11＋A12＋A21，P1]ξ)。

所以，(1－ξ)S11＋S21－ξS12＝(1－ξ)A11＋A21－ξA12。從而(1－ξ)S11＝(1－ξ)A11，S21＝A21，ξS12＝ξA12。結合ξ≠0，1，故S11＝A11，S12＝A12。

對(2.9)式關于T12∈B12運用標準引理，得:

φ([S，T12]ξ)＝φ([A11＋A22，T12]ξ)＋φ([A12＋A21，T12]ξ)。

對(2.10)式關于P1運用標準引理，得:

φ([ST12－ξT12S，P1]ξ)＝φ([A11T12－ξT12A22，P1]ξ)＋φ([A21T12－ξT12A21，P1]ξ)。

化簡，并結合引理2.4，得:

φ(－ξT12S21－ξS11T12＋ξ2T12S21＋ξ2T12S22)＝φ(－ξA11T12＋ξ2T12A22－ξT12A21＋ξ2T12A21)。

所以，－ξT12S21－ξS11T12＋ξ2T12S21＋ξ2T12S22＝－ξA11T12＋ξ2T12A22－ξT12A21＋ξ2T12A21。從而ξ2T12S22＝ξ2T12A22。于是由ξ≠0及引理2.3(2)知S22＝A22。所以，S＝A11＋A12＋A21＋A22。

定理2.1的證明。設A＝A11＋A12＋A21＋A22，B＝B11＋B12＋B21＋B22∈B(H)，其中Aij，Bij∈Bij(i，j＝1，2)。由引理2.5，引理2.6及引理2.10，有:

φ(A＋B)＝φ(A11＋A12＋A21＋A22＋B11＋B12＋B21＋B22)

＝φ(A11＋B11)＋φ(A12＋B12)＋φ(A21＋B21)＋φ(A22＋B22)

＝φ(A11)＋φ(B11)＋φ(A12)＋φ(B12)＋φ(A21)＋φ(B21)＋φ(A22)＋φ(B22)

＝φ(A11＋A12＋A21＋A22)＋φ(B11＋B12＋B21＋B22)

＝φ(A)＋φ(B)

這表明φ是可加映射.故對任意冪等算子P∈B(H)，由[P，I－P]ξ＝0及φ(0)＝0，則[φ(P)，φ(I)－φ(P)]ξ＝0?；喌?

同理，由[φ(I)－φ(P)，φ(P)]ξ＝0，可得:

(2.11)式減(2.12)式，得:(1＋ξ)φ(P)φ(I)＝(1＋ξ)φ(I)φ(P)。

而ξ，得:φ(P)φ(I)＝φ(I)φ(P)。

由文獻[8]知無限維Hilbert空間上的每個有界性算子是有限個冪等算子的和，于是由φ是雙射且φ(0)＝0知，存在非零數c∈F使得φ(I)＝cI。此時，對任意的A∈B(H)，定義Ψ(A)＝c－1φ(A)。顯然，Ψ為可加雙射且Ψ(0)＝0，即Ψ為保關于因子ξ的交換性的可加雙射。從而由文[2，定理2.2]知定理2.1中的(1) (2)(3)成立。

φ(S)＝φ(A11)＋φ(A12)＋φ(A21)＋φ(A22)。

由引理2.7及引理2.8知:

[1] Kassel C.Quantum Groups[M].New York:Springer－Verlag，1995.

[2] Cui JL，Hou JC，PARK Choonkil.Additivemaps preserving commutativity up to a factor[J].Chin.Ann.Math.，2008，29A(5): 583－590.

[3] Qi X F，Hou JC.Additive Lie(ξ－Lie)derivations and generalized Lie(ξ－Lie)derivations on nest algebras[J].Lin.Alg.Ap-pl.，2009(431):843－845.

[4] Zhang JH，Zhang F J.Nonlinearmaps preserving Lie products on factor von Neumann algebras[J].Lin.Alg.Appl.，2008(429): 18－30.

[5] 安潤玲.算子代數上的約當同構和初等映射[D].太原:山西大學，2007.

[6] JiP S.Additivity of Jordanmaps on Jordan algebras[J].Lin.Alg.Appl.，2009(431):197－188.

[7] Lu F Y.Multiplicativemappings of operator algebras[J].Lin.Alg.Appl.，2002(347):283－291.

[8] Bunch H L.Localmultiplications on algebras spanned by idempotents[J].Lin.Mul.Alg.，1994(37):259－263.

責任編輯:程艷艷

M ultiplicativeξ－Lie Isomorphism on B(H)

LIU Zhen1，YANG Cui2
(1.School of Mathematics and Statistics，Kashgar University，Kashgar 844000，China；2.School of Humanities，Hebei Polytechnic Institute，Shijiazhuang 050091，China)

Let H and K be the infinite－dimensional Hilbert space over real number field or complex number field F，and B(H)and B(K)be the algebra of all bounded linear operators on H and K.If a bijectivemappingφ:B(H)→B(K)meets arbitrary A，B＿＿＿φ([A，B]ξ)＝[φ(A)，φ(B)]ξ，φis called multiplicativeξ－Lie isomorphism over B(H).Obviously，whenξ＝0，－1，1，themultiplicativeξ－Lie isomorphism respectivelymatches tomultiplicative isomorphism，Jordan multiplicative isomorphism and Lie multiplicative isomorphism.With the help of Peirce de-composition，we have proved thateverymultiplicativeξ－Lie(ξ∈Fandξ≠0，±1)isomorphism on B(H)is addi-tive，and there exist a nonzero c∈Fand an invertible operator T∈B(H，K)，making that there isφ(A)＝cTAT－1for arbitrary A∈B(H).

Hilbert space；multiplicativemapping；ξ－Lie isomorphism

O177.1

A

1009－3907(2017)06－0025－05

2017－04－20

國家自然科學基金項目(11471199)；新疆維吾爾自治區自然科學基金項目(2016D01A014)

劉珍(1979－)，女，山東臨沂人，講師，碩士，主要從事算子代數研究。