應用質點動力學的潮汐力分析

胡雪蘭++張艷峰+++Jo?l+FLAHAUT

【摘要】從質點運動學基本定律出發，分析了太陽系中天體的運動對于地球表面潮汐項的影響，用簡單通用的物理定律解釋了潮汐現象的成因，有助于大學生將理論知識應用于解釋物理現象的能力的提高，激發學生學習大學物理的興趣。

【關鍵詞】潮汐力 參考系 運動學基本方程

【中圖分類號】G642 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）24-0184-02

潮汐是沿海地區的一種自然現象，指的是海水在垂直于海洋面方向周期性的漲落現象。在白天的稱為“潮”，在夜間的稱為“汐”。海水在垂直方向的漲落具有一定的周期性，一般每個月會有兩次大潮，分別為農歷的初一和十五。潮汐的升降和漲落，與人們的多種活動有密切的關系，如船只航行及進港出港、艦艇活動、沿海地區的農業、漁業、鹽業、港口建設、大地測量、環境保護等，都必須掌握潮汐變化的規律[1，2]。此外，利用潮汐進行發電，也是能源開發的一個重要方面。

潮汐現象主要是由于月球和太陽的萬有引力引起的。但是，太陽和月球相對于地球的相對運動為什么會影響海水漲落，影響有多大呢。本論文將從非慣性參考系中的動力學基本方程出發，來分析影響海水垂直方向漲落的潮汐力。

一、潮汐項的推導

1.在地球參考系中的加速度

在研究大海中的水滴相對于地球表面運動之前，我們先定義如下物理量：

將大海中質量為m的水滴定義為質點M，M點在地軸上的投影用H表示，地球的中心用O表示，O點在哥白尼參考系（RCop）中的運動代表地球在太陽系中相對于太陽系的質心的運動，地球在RCop中的加速度用表示。地球在質點M處產生的萬有引力場用表示，除地球之外的太陽系中其他天體在M處的總的引力場用表示，水滴相對于地球表面的運動速度用表示，水滴相對于地球表面的加速度用表示。

水滴受到地球及太陽系中其他天體對其萬有引力的作用和。由于RT為非慣性參考系，因此水滴還受到慣性牽引力和科里奧利力的作用。其中，。因此，在非慣性參考系RT中應用牛頓第二定律：

其中質點M處的重力加速度，因此

2.潮汐項的推導

為了更好的描述水滴相對于地球表面的運動，需要將繼續簡化。在哥白尼參考系中研究質量為mT的地球的運動（用MT表示）。哥白尼參考系為慣性參考系，地球受到太陽及太陽系中的其他天體萬有引力的作用，且。因此有。

因此（1）可以變為

是指太陽系中除地球以外的天體在M點和O點產生的引力場只差，與天體的質量及與地球的距離有關，我們定義這一項為潮汐項。

即

二、潮汐項的分析

引力場具有疊加性，

其中和 是指第i個天體在M點和O點產生的引力場。

圖1 為以地心和第i個天體的中心P的連線為i軸，與i軸垂直的方向為j軸建立的坐標系。Oij平面為平行于黃道面（非赤道面）的平面，M為地面上的點（位于Oij平面內）。假設第i個天體也位于該平面上（太陽本身就在該面內，月亮的公轉平面與黃道面夾角為5.1°，可以近似認為月球也在黃道面內）。為與的夾角。則

，

根據矢量關系，為天體距離地球中心的距離，為地球的半徑，。

因此的長度為 ：

這里取的一階泰勒展開。

潮汐項可以化為：

圖2是根據公式（3）分析所得地球表面某一緯度受到月球影響的潮汐項的大小分布示意圖。在和時，潮汐力最大。

下面我們分析不同的天體對于地球表面潮汐力影響的大小。有公式（2）可得太陽系中某一個天體對于地球表面M點的潮汐項影響的大小為：

最大值為：

表1為太陽、月球、水星、金星、火星、木星和土星的質量、與地球的之間的距離以及由此計算所得對于地球表面潮汐項影響的最大值。

由表1 可知，每個天體對于潮汐項影響的最大值均遠小于地球表面重力加速度9.8 m.s-2。太陽和月球對于地球表面的潮汐項影響最大，且月球的影響大于太陽的影響：，其他天體的影響遠比太陽和月球的影響小得多，可以忽略不計。即地球上的引潮力主要受到月球和太陽的萬有引力的影響。

當月球距離地球最近時，對潮汐項影響最大。每月陰歷初一、十五，太陽，地球和月亮會基本處在同一直線上，會有兩次大潮。在月球繞地球轉動的同時，地球也在繞地軸做自轉，因此，地球上一個地點，會出現兩次潮水的張落，

當然，潮汐現象除了受太陽、月球與地球的相對運動影響之外，還受到海溝的形狀、海岸線的形狀對海水流動的影響。除此之外緯度、地潮和氣潮等多種因素也對于流體流動有很大的影響[2，3]，在此對于這些因素，我們在此不做討論，僅僅從質點動力學角度對潮汐力產生的原因進行分析。

三、結論

本文從質點運動學基本定律出發，通過在哥白尼參考系、地球參考系中研究地面上M點的水滴相對于地球表面的運動，分析了太陽系中天體的運動對于地球表面潮汐項的影響。此部分內容屬于大學物理的范圍，用簡單通用的物理定律解釋了潮汐現象的成因，有助于大學生將理論知識應用于解釋物理現象的能力的提高，激發學生學習大學物理的興趣。

參考文獻：

[1]韓忠全.潮汐現象的成因及規律分析 [J]. 物理教學探討 2012，28（370）： 27-28.

[2]田曉岑. 潮汐現象的成因[J] . 大學物理 1996， 15（10）：24-27.

[3]宋海珍. 引力場中潮汐力的研究[J]. 河南師范大學學報（自然科學版）. 33（1）：49-52.

致謝：感謝中國民航大學院級優質建設課程《經典物理（上、下）》項目的資助。