隨機利率及O－U過程下的彩虹期權定價

石方圓，李翠香

（河北師范大學數學與信息科學學院，河北石家莊050024）

隨機利率及O－U過程下的彩虹期權定價

石方圓，李翠香

（河北師范大學數學與信息科學學院，河北石家莊050024）

假設標的資產價格服從Ornstein－Uhlenback過程，利率r （t）服從Vasicek模型，利用保險精算方法給出了彩虹期權的定價公式，豐富了期權定價的理論.

Ornstein－Uhlenback過程；隨機利率；彩虹期權；保險精算

近年來，隨著全球金融市場的迅猛發展，期權在衍生證券中的地位顯得尤為重要，其定價問題也是金融數學的核心問題之一，受到越來越多國內外學者的關注和研究.彩虹期權［1］是一種重要的新型金融衍生產品，它是討論兩個風險資產的最大值或最小值期權.資產最大值彩虹期權在到期日T的收益為

max｛ωmax［S1（T），S2（T）］－ωK，0｝，

資產最小值彩虹期權在到期日T的收益為

max｛ωmin［S1（T），S2（T）］－ωK，0｝，

其中ω＝±1.當ω＝1時為看漲期權，當ω＝－1時為看跌期權.

許多金融產品的定價可以利用彩虹期權的定價公式，例如外幣期權、選擇權債券和貨幣期權債券等等.因此對彩虹期權進行深入的研究與擴展有重要的意義.1982年，Stulz［2］在假設標的資產服從幾何布朗運動以及利率、波動率為常數的條件下，研究了彩虹期權的定價公式.2011年，盛冠楠［3］在Stulz的基礎上加入了跳擴散過程，得到了跳擴散模型下彩虹期權的定價公式.

在現實的金融市場中，股票的期望收益率不是隨時間朝一個方向（上升或下降）變化的，資產的價格常常在上升到一定高度后有下降的趨勢，應用O－U過程可以削弱上升的趨勢.利率也不是一成不變的常數，在短時間內表現出一定的隨機性，但長久來看，利率的變化有一定的均值回復性.這些在金融市場中都是十分常見的行為.因此，本文將在隨機利率［4－5］的環境下，研究股票價格遵循指數O－U過程［4－6］的彩虹期權的定價公式.

另外，傳統的定價方法通常假設金融市場是無套利、均衡、完備的，這與實際市場不太吻合.1998年Bladt和Rydberg［7］首次提出用保險精算方法給期權定價.該方法無任何經濟假設，適用于有套利、非均衡、不完備的金融市場.之后許多學者利用此方法研究了期權的定價［8－10］.筆者將利用保險精算的方法給彩虹期權定價.

1 預備知識

定義1 隨機過程Si（t）在時間［0，t］上產生的期望收益率ds定義為

定義2 執行價格為K，到期日為T的資產最大值彩虹期權和資產最小值彩虹期權在0時刻的保險精算價格定義分別為

以下假設彩虹期權中兩個資產價格及無風險利率r t（）分別服從如下隨機微分方程（以后簡稱SDE）

其中B（t）＝（B1（t），…，Bn（t））為概率空間（Ω，T，｛t｝，P）上n維布朗運動，μi，αi，σij，m，a，σrj為常數.

引理1 假設資產價格Si（t）服從SDE（6），則有

證 由Ito公式可得

對上式兩邊從0到t積分并整理可得（8）.

由定義1及（8）可得

從而（9）式成立.

綜上，引理1得證.

引理2 假設r t（）服從SDE（7），則有

證 由Ito公式可得

兩邊從0到t積分并整理可得

然后，從0到T積分可得

引理2得證.

引理3［11］設B（t）＝（B1（t），…，Bn（t））為測度P下n維布朗運動，H（t）＝（H1（t），…，Hn（t））為可料過程，且

則在Q下

引理4［11］設Λ（t）是正的P－鞅過程，且EP［Λ（T）］＝1.定義概率測度Q，使），則對任意隨機變量X都有

2 彩虹期權的定價公式

下面來研究資產最大值彩虹看漲期權的保險精算定價.

定理1 假設Si（t）和r t（）分別服從SDE（6）和（7），則到期日為T，執行價格為K的資產最大值彩虹看漲期權在0時刻的保險精算價格為

故

證 因為

把這三項分別記作Π1，Π2，Π3，下面分別估計它們.

則Λ1（t）為正的P－鞅過程，且EP［Λ1（T）］＝1.定義概率測度Q1，使，則由引理4知

且由引理3知

是測度Q1下n個相互獨立的布朗運動.

把式（11）代入式（9）中得

令

則（η1（T），η2（T））是相關系數為ρ1的二維正態分布.另外，由式（12）（13）（14）可得

故

其次計算Π2.

令

則Λ2（t）為正的P－鞅過程，且EP［Λ2（T）］＝1.定義概率測度Q2，使），則由引理4知

且由引理3知

是測度Q2下n個相互獨立的布朗運動.類似Π1的證明可得

最后計算Π3.

令

則Λ3（t）為正的P－鞅過程，且EP［Λ3（T）］＝1.定義概率測度Q3，使，則由引理4知

且由引理3知

是測度Q3下n個相互獨立的布朗運動.類似Π1的證明可得

Π3＝Ke－D（T）［1－N2（－d1，－d2；ρ3）］.

綜上，定理1得證.同理可證以下三個定理.

定理2 假設Si（t）和r t（）分別服從SDE（6）和（7），則到期日為T，執行價格為K的資產最大值彩虹看跌期權在0時刻的期權價值為

定理3 假設Si（t）和r t（）分別服從SDE（6）和（7），則到期日為T，執行價格為K的資產最小值彩虹看漲期權在0時刻的期權價值為

定理4 假設Si（t）和r t（）分別服從SDE（6）和（7），則到期日為T，執行價格為K的資產最小值彩虹看跌期權在0時刻的期權價值為

3 結束語

對新型期權進行合理定價已經成為金融數學研究的重要內容之一.至今為止，很多專家學者取得了豐碩的研究成果.筆者在這些研究的基礎上，在O－U過程下考慮資產收益率的均值回復性和利率的隨機性對期權價格的影響，用保險精算方法給出了彩虹期權定價公式.得到的期權定價公式擴展了文獻［1］中的結論，而且筆者結論還可以進一步擴展至多資產最優或最差選擇期權的定價.

［1］Zhang P G.Exotic options［M］.北京：機械工業出版社，2014：312－315.

［2］Stulz R M.Options on the minimum or maximum of two risky assets［J］.Journal of Financial Economics，1982，10（2）：161－185.

［3］盛冠楠.跳擴散模型下極值期權的定價［D］.廣西：廣西師范大學，2011.

［4］劉堅，文鳳華.歐式期權和交換期權在隨機利率及O－U過程下的精算定價方法［J］.系統工程理論與實踐，2009，29（12）：13－15.

［5］趙攀，肖慶憲.隨機利率下O－U過程的冪型歐式期權定價［J］.合肥工業大學學報（自然科學版），2014，37（11）：1386－1390.

［6］劉兆鵬，劉鋼.基于O－U過程具有不確定執行價格的期權保險精算定價［J］.杭州師范大學學報（自然科學版），2011，10（4）：316－319.

［7］M Bladt，H T Rydberg.An actuarial approach to option pricing under the physical measure and without market assumptions［J］.Insurance Mathematics and Economics，1998，22（1）：65–73.

［8］嚴海峰，劉三陽.廣義Black－Scholes模型期權定價新方法——保險精算方法［J］.應用數學與力學，2003，24（7）：730－738.

［9］鄭紅，郭亞軍.保險精算方法在期權定價模型中的應用［J］.東北大學學報（自然科學版），2008，29（3）：429－432.

［10］畢學慧，杜雪樵.復合期權的保險精算定價［J］.合肥工業大學學報（自然科學版），2008，31（8）：43－47.

［11］Fima C Klebaner.Introduction to stochastic calculus with applications［M］.北京：人民郵電出版社，2008.

Pricing of rainbow options under Ornstein-Uhlenback process and stochastic rate

SHI Fangyuan，LI Cuixiang
（College of Mathematics and Information Science，Hebei Normal University，Shijiazhuang 050024，China）

In this paper，we suppose that the underlying asset price process follow the Ornstein-Uhlenback process，the riskless interest r （t）submit to Vasicek model.The pricing of rainbow options is given by using an actuarial approach.These results enrich the theory of option pricing.

OrnsteinUhlenback process；stochastic interest rate；rainbow option；actuarial approach

O211.6

A

1671-9476（2017）02-0001-06

10.13450／j.cnkij.zknu.2017.02.001

2016-10-18；

2016-11-11

國家自然科學基金（No.11571089）

石方圓（1991－），女，河北邢臺人，碩士研究生，研究方向：金融工程與風險管理.