線性正則變換在信號處理中的應用

許水清，柴 毅，馮 莉

(重慶大學 自動化學院，重慶 400044)

線性正則變換在信號處理中的應用

許水清，柴 毅，馮 莉

(重慶大學 自動化學院，重慶 400044)

線性正則變換作為Fourier變換和分數階Fourier變換的廣義形式，具有更強的靈活性，在非平穩信號處理中具有獨特的優勢，已經在信號處理領域引起了廣泛的關注。首先闡述了線性正則變換的基本定義與性質，然后著重介紹了在信號處理中的應用，最后對當前線性正則變換在故障診斷中的應用進行了探討。

線性正則變換；信號處理；故障診斷

線性正則變換(linear canonical transform, LCT)，又被稱作為ABCD變換[1]、廣義Fresnel變換[2]、擴展分數階Fourier變換[3]等。相對Fourier變換和分數階Fourier變換，LCT具有3個自由參數，使得傳統Fourier變換域和分數階Fourier變換域的非帶限信號可能為某個參數下LCT域的帶限信號。并且使LCT可以看作時頻平面上的仿射變換關系，這種關系與分數階Fourier變換在時頻面上的旋轉關系相比，不僅包括旋轉關系，還包括壓縮和拉伸等關系，同時在時頻平面上的總支撐域保持不變[1]。因此LCT具有更多的靈活性，在信號處理領域具有強大的潛力。

早在20世紀70年代，LCT由Monshinsky和Collins[1-2]分別提出，與分數階Fourier變換一樣，LCT最初也是被應用到微分方程求解和光學系統中[3]。 隨著分數階Fourier變換在信號處理領域中的廣泛應用，LCT在信號處理中的應用也逐漸引起國內外學者的重視，并在國內外頂級期刊《IEEE Transactions on Signal Processing》和《電子學報》等發表了一系列高水平論文。其中具有代表性的有：Barshan等[4]在1997年首次討論了LCT域的最優濾波器的設計問題；其后，Pei等[5]從2002年起先后探討了LCT的特征值、特征函數、二維LCT以及在時頻分析上的應用；Hennelly，Healy和Ozaktas等[6-8]從2005年起關注了離散LCT及其快速計算問題，提出了LCT的快速算法；而Stern[9-10]則在2006年首次研究了LCT域信號的采樣問題。

在國內，雖然對LCT的研究相對較晚，但許多專家學者從不同角度對LCT進行了深入的研究，成果各具特色。北京理工大學的陶然和李炳照等[11-12]在2006年首次在國內期刊上介紹了LCT，并對LCT的卷積定理、框架理論和采樣理論等進行了深入的研究；西安電子科技大學的魏德運等[13-15]則關注LCT域的多通道采樣理論以及在圖像超分辨率上的應用；哈爾濱工業大學的史軍等[16-18]關注LCT域不確定性原理和不受帶寬限制的采樣定理等；電子科技大學的向強等[19-20]主要研究LCT與模糊函數、Winger分布等時頻分布之間的關系；四川大學的張志超等[21-22]主要研究基于LCT域的新的時頻分布，如LCT域模糊函數、Gabor變換等。此外，徐冠雷[23]、趙輝[24-25]、柴毅[26-30]等知名學者也在各自的研究成果中體現對LCT的重視和探索。

國內外專家學者的研究成果極大地推動了LCT理論體系的發展與完善，展現了LCT在信號處理領域強大的作用與潛力。在此基礎上，以LCT在信號處理領域的應用為主線，闡述LCT的基本性質、LCT域算子與變換、離散LCT及其快速算法等一系列最新理論成果，描述了LCT在信號處理中的國內外最新研究進展，探討LCT目前存在的問題，展望未來的研究熱點與難點。

1 線性正則變換

1.1 線性正則變換的定義

(1)

(2)

1.2 線性正則域算子與變換

LCT作為一個統一的時頻分析工具，其在時頻平面上的仿射變換具有強大的靈活性。因此許多專家學者定義了一些有用的LCT域算子與變換, 為LCT域信號的分析與處理提供了有力支撐。

LCT域算子是指在LCT體系下的信號分析運算算子，如LCT域卷積與相關等。卷積和相關是兩個重要的基礎概念，已經在傳統Fourier域信號處理系統、圖像處理以及模式識別等領域得到了廣泛的應用與研究。作為傳統Fourier變換的進一步推廣，文獻[31]根據LCT與Fourier變換的關系提出了LCT域卷積定理。除了這種LCT域卷積與相關算子，許多學者從不同的角度提出了不同形式的LCT域卷積與相關算子[15,32-33]。

LCT域變換是指在LCT基礎上得到的新的信號分析工具，主要是傳統Fourier體系下的信號分析工具擴展到LCT域。目前許多專家學者從不同的角度研究了LCT域Hilbert變換[34]、LCT域Winger分布[35]、LCT域模糊函數[36]、LCT域正弦與余弦變換[37]、LCT域哈利特變換[37]、LCT域Gabor變換[38]、LCT域小波包變換[39]以及短時LCT[40]等，這些變換豐富了LCT的理論體系并提供了新的信號處理與分析方法，在信號處理中具有重要的應用。

1.3 離散線性正則變換與快速算法

離散化方法和快速算法是LCT能否在實際工程廣泛應用的關鍵。由LCT的定義可知，相比傳統的Fourier變換，LCT具有3個自由參數，更加靈活同時也更加復雜，這給LCT的離散化方法和快速算法的帶來了具大的挑戰性與困難，一直是LCT研究領域的熱點與難點。

理想的離散線性正則變換不僅能夠保留連續LCT的性質，還應該具有較低的計算復雜度。類似離散Fourier變換的思想和方法，文獻[41]首先通過對連續信號進行采樣得到采樣信號，對采樣信號進行LCT變換，定義了離散線性正則變換。這種離散化算法雖然是最簡單的，但卻丟失了LCT的酉變換性質。為了彌補以上不足，文獻[42]首先對輸入輸出信號進行采樣，并通過限定輸入輸出采樣間隔來獲得新的離散線性正則變換。除了以上兩種采樣型離散線性正則變換外，Oktem等[8]提出一種與信號采樣周期無關的離散線性正則變換，這種定義形式下的離散線性正則變換在不知道連續信號的采樣間隔的情況下具有一定的優勢。

在實際工程應用中，低運算量的快速算法是一個變換方法在實際工程中廣泛應用的關鍵。正如快速Fourier變換極大地推動了Fourier變換在工程中的應用一樣，LCT的快速算法將是LCT在實際工程領域成功應用的關鍵。由LCT的定義可知，一個長度為N的離散序列，直接積分計算的算法復雜度為O(N2)，而不是類似快速Fourier變換算法的O(NlogN)，給LCT在實際工程中的廣泛應用帶來巨大的挑戰。近年來，國內外學者提出了多種LCT的快速算法，主要有基于離散線性正則變換的快速算法[43]、分解型快速算法[44-45]、混合型快速算法[46]。除了以上三種類型的快速算法，還有基于特征函數的快速算法[47]、基于Hermite多項式的快速算法[48]等。這些數值計算方法給LCT的快速算法提供了新的思路，為LCT在實際工程中的廣泛應用提供了基礎。

2 線性正則變換在信號處理中的應用

近年來，LCT理論體系得到不斷完善，在信號處理中的應用也逐漸展開。然而由于LCT的研究尚處于起步階段，LCT在信號處理中的應用還沒有分數階Fourier變換那么廣泛。目前，LCT已經被應用在信號處理、光學、解微分方程等領域(圖1)，本文主要介紹LCT在采樣、濾波、信號檢測、時頻分析等信號處理中的應用。

1) 信號調制

在傳統信號處理中，信號的調制是建立在Fourier變換的基礎上，但當信號在頻域為非帶限信號，而在LCT域為帶限信號時，利用LCT進行信號調制往往能夠取得更理想的效果。文獻[5]介紹了線性正則域信號的調制過程，首先選取合適的LCT參數(a,b,c,d)，使輸入信號gn(t)為線性正則域帶限信號。其次，對輸入信號作參數為(-c,-d,a,b)的線性正則變換，得到fn(t)。最后利用傳統的調制方法對fn(t)進行調制，得到對輸入信號gn(t)的調制。這種基于LCT的信號調制過程，對非平穩信號的調制有獨特優勢，尤其是對雷達信號和聲信號。此外，當輸入信號為實信號時，調制過程還可以利用LCT域Hilbert變換來產生LCT域解析信號節省帶寬，有利于信號的快速傳輸[49]。

圖1 線性正則變換的應用

2) 瞬時頻率估計

信號的瞬時頻率估計是現代信號處理中的一個基本問題，在通信、雷達和生物醫學等領域起著重要的作用，尤其是非平穩信號的瞬時頻率估計一直是研究的熱點與難點。文獻[50]根據LCT在非平穩信號分析與處理方面的獨特優勢，提出利用LCT的功率譜和和信號的相位倒數來估計信號的瞬時頻率，獲得了以下瞬時頻率估計公式：

(3)

圖2 輸入信號的時頻分布

3) 線性正則域濾波

作為傳統乘性濾波器的進一步推廣，文獻[31]首先根據LCT域卷積理論，得到LCT域乘性濾波器，濾波器輸出為：

mout(t)=LA-1[LA(min(t))·HA(u)]。

(4)

這里HA(u)為濾波器的傳遞函數，當設計不同的HA(u)時，可以獲得不同形式的濾波器，如帶通、帶阻等。文獻[31]進一步介紹了LCT域乘性濾波器能夠解決一些傳統濾波器不能解決的問題，例如輸入信號min(t)=s(t)+n1(t)+n2(t)，n1(t)和n2(t)為噪聲，其時頻分布如圖2所示。

由其時頻分布可以看出，s(t)和噪聲在時頻面上存在耦合，傳統的時頻方法不能夠將信號很好的分離出來，而由LCT與時頻分布之間的關系知，可以利用改變LCT的參數來實現時頻平面的分割，即通過兩個參數分別為a1/b1=w1/t1,a2/b2=w2/t2的LCT域濾波就可以完全去掉噪聲，獲得原信號s(t)。文獻[32]等基于不同的LCT域卷積定義，也研究了LCT域乘性濾波，其實質是一樣的。

文獻[51]則提出了最小均方誤差準則下的LCT域Wiener濾波，假設輸入信號x(t)=s(t)+n(t)，令式(4)中的傳遞函數為

HA(u)=RS,X(u,u)/RX,X(v,v)。

(5)

其中：

(6)

Rsx(t,σ)為s(t)和x(t)的互相關函數，Rxx(t,σ)為x(t)的自相關函數。其思想是通過計算最小均方誤差來確定最佳的參數A，然后代入式(5)獲得LCT域Wiener濾波的傳遞函數。由于LCT域Wiener濾波是從信號的相關函數出發獲得的，具有更廣泛的普適性。此外，文獻[52]等也進一步討論了LCT域多通道濾波器和雙通道仿酉濾波器的設計問題，并通過實驗證明了基于LCT的濾波器在信號分離與濾波方面的優越性。

4) 在雷達中的應用

根據LCT在處理非平穩信號上的優勢，文獻[53]介紹了LCT在雷達系統中的應用，首先假設兩個球盤A和B之間的距離為D，其半徑和區域分布函數分別是RA,RB和FA(x,y),FB(s,h)。然后根據雷達的性質，可以得到FA(x,y)和FB(s,h)之間的關系為：

(7)

其中

(8)

(9)

5) 圖像處理

圖3 基于LCT的圖像加密過程

LCT在圖像處理方面的應用主要包括圖像的水印與加密、空間移變模式識別和非對稱模式識別[5]。分數階Fourier變換已經廣泛應用到圖像加密中，由于LCT具有4個參數，因此利用LCT做圖像加密比分數階Fourier變換更有優勢，安全度更高。文獻[5]提出了一種基于LCT的圖像加密算法(如圖3所示)。

首先對原始圖像數據乘以密鑰e1(t)，然后對獲得的數據做LCT，其次把得到的LCT在乘以密鑰e2(t)來完成加密。解密的過程與加密的過程相反，必須知道e1(t),e2(t)和LCT的參數才能完成解密過程。由于LCT相比分數階Fourier變換和Fourier變換，具有更多的參數，因此這種加密算法具有更高安全度的加密效果。在上述基本加密算法基礎上，文獻進一步提出級聯多個LCT，使用不同的LCT參數等許多不同的加密算法。類似圖像的加密過程，文獻[55]提出了一種基于LCT的數字水印算法以更好地提高水印算法的安全性和增加水印的容量。除了在圖像加密與水印上的應用，文獻[56]等分別進一步研究了把LCT域相關應用到空間移變模式識別和利用LCT域Hilbert變換進行非對稱邊緣檢測，并通過一系列仿真實驗驗證了LCT在圖像處理上的優勢。

6) 語音信號分析

語音信號具有非平穩性，其頻率是不斷發生變化的。常見的語音信號模型有正弦信號模型、Chirp信號模型、AM-FM模型等[57]。由于LCT具有3個自由參數，在處理非平穩信號上具有獨特優勢，文獻[57]在多分量AM-FM的語音信號模型的基礎上，提出基于LCT的兩種語音信號分析與重構方法。第一種方法是根據AM-FM語音信號模型中的語音信號與干擾的Gauss信號在線性正則域具有不同的能量聚集性質，設計合理的LCT域濾波器濾掉大部分噪聲能量，隨后利用LCT的逆變換恢復原始語音信號，實現語音信號的去噪。第二種方法是根據AM-FM的語音信號模型具有多分量Chirp模型的形式，在多分量Chirp模型的檢測和參數估計中，為了避免強Chirp分量對弱Chirp分量的干擾，首先設置一個門限，利用擬牛頓方法進行思維峰值搜索來獲得最大峰值點的記錄值。然后可以利用單分量AM-FM模型的檢測和參數估計方法檢測估計出最強Chirp分量，這樣AM-FM模型中的第一強分量能夠被重構出來，其后在LCT域設計一個自適應濾波器來濾除最強Chirp分量，并利用LCT的逆變換獲得AM-FM模型中的第二強分量，重復以上過程直到檢測出的分量低于設置的門限值，恢復原始語音信號。在這兩種方法的基礎上，文獻進一步通過仿真和真實語音信號實驗驗證了基于LCT的語音信號分析與重構方法比傳統的ML方法、PPT方法和Dechirp方法具有更好的效果。

7) 在故障診斷上的應用

圖4 電機電流特征分析診斷系統

基于信號處理技術的故障診斷主要是對系統中測得的各種信號進行分析和處理，提取與故障相關的時域特征和頻域特征，進行故障診斷[58-59]。LCT作為一種新穎的信號分析工具，在非平穩信號的特征提取中具有獨特優勢。因此可以通過對信號的LCT域頻譜進行譜分析來診斷故障。例如當異步電機發生故障時，其輸出的故障諧波往往是非平穩信號，利用LCT在非平穩信號處理上的優勢，提出如圖4所示的異步電機故障診斷系統，為異步電機的故障診斷提供新的思路。

除了以上介紹的應用，LCT還在采樣時刻未知的信號重構、通信系統、GRIN系統等方面具有廣泛的應用。例如文獻[60]介紹了利用LCT級數來重構采樣時刻未知的信號、尤其是非平穩、非Gauss類采樣信號；文獻[11]介紹了LCT應用于通信信號抗多徑效應，能夠實現通信領域當中采用傳統頻域處理不能很好完成的任務。

3 結束語

作為Fourier變換和分數階Fourier變換的進一步推廣形式，LCT具有3個自由參數、靈活性更強，在非平穩信號的分析上具有獨特的優勢，引起了國內外眾多專家學者的關注。本文主要介紹線性正則變換在信號處理中的應用，然而由于線性正則變換的研究起步較晚，線性正則變換在信號分析中的應用還有待進一步研究。例如可以利用線性正則變換與時頻分析工具相結合來更加精細刻畫故障信號，從而對故障信號進行特征提取，為故障診斷提供新的思路。

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(責任編輯：呂海亮)

Application of Linear Canonical Transform in Signal Processing

XU Shuiqing, CHAI Yi, FENG Li

(College of Automation, Chongqing University, Chongqing 400044, China)

As a generalization of the Fourier transform and the fraction Fourier transform, the linear canonical transform (LCT) is more flexible and has unique advantages in non-stationary signal processing. It also has

much attention in the field of signal processing. In this paper, the definition and basic properties of LCT were first expounded. Then the applications of LCT in signal processing were focused on. Finally, the application of LCT in fault diagnosis was discussed.

linear canonical transform (LCT); signal processing; fault diagnosis

2017-03-31

國家自然科學基金重點項目(61633005);國家自然科學基金項目(61673076,61374135);重慶市自然科學基金項目(cstc2015jcyjA0480,cstc2016jcyjA1255)

許水清(1991—)，男，安徽太和人，博士研究生，主要從事信號處理、故障診斷研究 柴 毅(1962—)，男，安徽蕪湖人，教授，博士生導師，主要從事信息融合、故障診斷研究，本文通信作者. E-mail:chaiyi@cqu.edu.cn

TN929.5

A

1672-3767(2017)05-0043-09

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.05.007