計及剪切變形的復合材料薄壁梁的阻尼分析模型

任勇生，朱 帥，張玉環，田繼爽

(山東科技大學 機械電子工程學院,山東 青島 266590)

計及剪切變形的復合材料薄壁梁的阻尼分析模型

任勇生，朱 帥，張玉環，田繼爽

(山東科技大學 機械電子工程學院,山東 青島 266590)

為精確描述阻尼對復合材料薄壁結構動力學特性的影響，提出一個計及剪切變形的復合材料薄壁梁的結構阻尼分析模型?；诟倪M的變分漸進法(VAM)描述復合材料薄壁梁的位移和應變，采用Hamilton原理導出Timoshenko梁的自由振動偏微分方程，采用Galerkin法將偏微分方程化為常微分方程，通過求解復特征值問題得到梁的模態阻尼。將阻尼計算結果與現有文獻的有限元阻尼計算結果進行比對，驗證了本文模型的有效性。通過算例分析得到圓截面薄壁復合材料梁的阻尼數值計算結果。研究表明，不考慮剪切變形將會得到偏高的阻尼預測結果。此外，采用的鋪層方式不同，產生最大阻尼的纖維鋪層角也將有所不同。

模態阻尼；復合材料薄壁梁；剪切變形；伽遼金法；纖維鋪層角

復合材料在風力機和汽車部件的輕量化設計中有著廣闊的應用前景[1-2]，而性能優良的風力機葉片和汽車傳動軸通常具有復合材料薄壁梁或軸的結構形式[3-4]，建立精確的復合材料薄壁結構的阻尼預測模型，對于揭示阻尼對復合材料薄壁結構動力學特性的作用機理和影響規律，具有重要的指導意義。

為研究復合材料薄壁結構的阻尼，人們采用不同理論與計算方法進行結構動力學建模。Suresh 等[5]基于經典層合薄板有限單元法對復合材料薄壁箱形梁進行離散化，采用彈性-黏彈性對應原理對復合材料阻尼進行描述。Saravanos等[6]建立了一個復合材料空心梁的阻尼分析有限元模型。Chortis等[7]研究了彈性耦合對復合材料阻尼的影響。任勇生等[8]基于變分漸進法(variational asymptotically method，VAM)[9]復合材料薄壁梁理論，考慮了扭轉翹曲、軸向拉伸和橫向彎曲翹曲等耦合變形的影響，建立了復合材料薄壁梁的結構阻尼分析模型。

迄今為止，基于傳統的VAM復合材料薄壁梁理論的振動特性研究，絕大多數均未考慮橫向剪切效應[8, 10-11]。為更準確地揭示復合材料薄壁梁的動力學和阻尼特性，將橫向剪切變形引入傳統的VAM復合材料薄壁梁理論顯得尤為重要。為此，任勇生等[12]以旋轉復合材料薄壁梁為研究對象，通過考慮橫向剪切變形，對傳統的VAM的復合材料薄壁梁理論進行改進，建立了具有剪切變形的旋轉復合材料薄壁梁的動力學模型，研究了剪切變形對旋轉復合材料薄壁梁的固有振動特性的影響。

本文在現有工作基礎上，進一步提出具有剪切變形的復合材料薄壁梁的結構阻尼分析模型。采用改進的VAM[12]復合材料薄壁梁理論描述結構的位移和應變，分別導出薄壁梁的應變能、耗散能和動能表達式。 基于Hamilton原理建立Timoshenko梁的運動方程。聯合采用Galerkin法和復特征值法確定復合材料薄壁梁的模態阻尼。并將阻尼預測結果與現有文獻的有限元計算結果[6]以及不計剪切變形的阻尼計算結果進行對比，驗證了本文模型的正確性。采用本文模型與方法獲得兩端固支、簡支和懸臂圓形截面復合材料薄壁梁，在兩種不同截面鋪層方式下的阻尼計算結果，揭示了纖維鋪層角、鋪層方式、邊界條件、薄壁梁長徑比以及剪切變形對阻尼性能的影響。

1 薄壁梁動力學模型

1.1 位移場和應變場

基于改進的VAM復合材料薄壁梁理論[10]描述位移場和應變場。復合材料薄壁梁如圖1所示，其中L、h和r分別表示梁的長、壁厚和中面曲率半徑。取下列坐標系：整體坐標系 (x,y,z)，原點在梁的固定端；局部坐標系 (x,s,ξ),s指向梁中面切線方向，逆時針為正，ξ指向梁中面法線方向，局部坐標系和橫截面如圖2所示。

圖1 坐標系與薄壁梁

圖2 局部坐標系與橫截面

薄壁梁的位移場為[12]

(1)

其中：U1(x,t),U2(x,t),U3(x,t)為橫截面沿x,y,z的剛體位移；θy(x,t),θz(x,t),φ(x,t)為橫截面繞y、z和x軸的轉角。g(s,x,t)為薄壁梁的翹曲函數，表示如下：

(2)

等號右端的函數分別代表扭轉、拉伸、繞z和y軸彎曲翹曲函數。

橫截面繞y、z軸的轉角為

(3)

與位移場(1)相對應的應變場如下

(4)

1.2 復合材料薄壁梁的應變能

復合材料薄壁梁橫截面應變能為

(5)

其中：

(6)

將式(6)代入(5)，沿厚度積分，可得

(7)

其中：

(8)

hk、hk-1分別為第k層的上、下表面坐標，N為總層數。

假設薄壁梁的環向正應力和剪應力很小，可以忽略不計，即

Nss=0, Nξs=0，

(9)

可得

(10)

將式(10)代入(7)消去γss和γξs，得

(11)

其中：

(12)

復合材料薄壁梁的應變能為

(13)

利用應變-位移關系(4)，得位移和扭轉角表示應變能為

(14)

(15)

1.3 復合材料薄壁梁的耗散能

復合材料薄壁梁橫截面耗散能表示為

(16)

其中：ηij是偏軸阻尼系數。

由式(16)積分，得

(17)

其中：

(18)

其中：[ηij]=[R]T[ηl][R]。[R]表示坐標變換矩陣，[ηl]=diag(ηl1,ηl2,ηl4,ηl5,ηl6)表示正軸阻尼矩陣。

類似地，利用式(10)對上式進行簡化，得

(19)

其中：

(20)

復合材料薄壁梁的耗散能為

(21)

利用應變-位移關系(4)，得位移和扭轉角表示耗散能為

(22)

其中：C為復合材料薄壁梁橫截面的6×6阻尼矩陣，其矩陣元素表達式類似于式(14)中剛度矩陣K，只要將A(s)、B(s)、C(s)、D(s)替換為Ad(s)、Bd(s)、Cd(s)、Dd(s)即可得到具體表達式。

1.4 復合材料薄壁梁的動能

復合材料薄壁梁動能可由式(23)確定

(23)

2 復合材料薄壁梁的自由振動方程及模態阻尼求解

按照Hamilton原理，有

(24)

由此推導出不計阻尼梁的自由振動方程

(25)

其中：Fx是軸向力，Qy、Qz是橫向剪力，My、Mz是彎矩，Mx是扭矩。具體表達式見文獻[12]，Ii(i=1,…,6)由動能變分得到，具體表達式可由文獻[12]中的公式，令轉速Ω=0得到。

將復合材料薄壁梁內力表達式代入方程(24),可得到位移表示的運動方程組，為了節省篇幅，此處不再列出。

假設位移具有如下形式

(26)

其中：αj(x)、ψj(x)、θj(x)表示軸的振型函數，滿足給定的位移邊界條件。

她講話的大概意思是，歡迎同學們的到來，你們從祖國的四面八方來到美麗的燕園，實屬不易。你們個個朝氣蓬勃，正是人生學習的黃金時期，在這里，你們可以獲得無價的知識和智慧，你們嶄新的人生之路將從這里開啟，你們美好的未來正在向你們招手，期待你們從當下這一刻行動起來……

由Galerkin法，可得

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

由方程(27)導出復合材料薄壁梁的特征方程

(33)

其中：{Xm}是復合材料薄壁梁的振型向量。

考慮復合材料薄壁梁的阻尼，則有

(34)

(35)

通過求解方程(34)得到復特征值，從而得到復合材料薄壁梁的模態阻尼。

3 數值結果與討論

首先檢驗本文提出的計及剪切變形的復合材料薄壁梁的阻尼模型結果的正確性。表1和表2分別表示圓形和箱形截面懸臂復合材料梁，截面鋪層分別為[02/902/452/-452]8和[45/-45]8的結構阻尼預測結果，并與文獻[6]的有限元以及不考慮剪切變形的結果進行比較，圓形和箱形截面復合材料薄壁梁的幾何尺寸和材料性能見文獻[6]。表1所示為復合材料圓管型梁不同鋪層方式的模態頻率，其中包括了考慮剪切變形、不考慮剪切變形以及文獻[6]中求解的固有頻率值和損耗系數值。在截面鋪層方式為[02/902/452/-452]8條件下，考慮剪切變形模型結果與文獻[6]計算結果的差值要小于不考慮剪切變形的模型結果與文獻[6]中計算結果的差值。以一階揮舞模態為例，考慮剪切變形模型的固有頻率為2.488 8 Hz，不考慮剪切變形模型的固有頻率為2.539 1 Hz，與文獻[6]中的固有頻率值2.4 Hz相比，考慮剪切變形的模型與其差值0.088 8 Hz小于不考慮剪切變形模型與其差值0.139 1 Hz。同樣地，考慮剪切變形的模型損耗系數1.457 6%與不考慮剪切變形的模型損耗系數1.527 7%相比較，也更接近文獻[6]中的損耗系數1.44%。在截面鋪層方式為[45/-45]8條件下，同樣以一階揮舞模態為例，考慮剪切變形模型的固有頻率2.070 4 Hz與文獻[6]中的固有頻率2.0 Hz差值為0.070 4 Hz，不考慮剪切變形模型的固有頻率2.302 5 Hz與文獻中的固有頻率2.0 Hz差值為0.102 5 Hz?？紤]剪切變形模型的損耗系數2.471 2%與文獻[6]中的損耗系數2.45%差值為0.021 2%，不考慮剪切變形模型的損耗系數2.609 1%與文獻中的損耗系數2.45%差值為0.159 1%。經過對比分析，無論固有頻率還是損耗系數，考慮剪切變形模型都比不考慮剪切變形模型的結果更為精確，更接近文獻[6]中的計算結果。表2所示為復合材料圓管型梁不同鋪層方式的模態頻率，采取和表1同樣的對比分析方法，對各鋪層方式、各階模態的固有頻率、損耗系數一一對比，發現考慮剪切變形模型的結果更精確，更接近文獻[6]中的計算結果。

表1 復合材料圓管型梁不同鋪層方式的模態頻率 (L/d=26)

表2 復合材料箱型梁不同鋪層方式的模態(L/a=14.36, a/b=5)

在圓截面薄壁復合材料的模態阻尼數值計算中，分別考慮[θ]16(鋪層方式一)和[θ/-θ]8(鋪層方式二)，2種復合材料鋪層方式，鋪層數為16層。選取3種支承條件的梁：兩端固支梁，簡支梁和懸臂梁。梁的幾何尺寸為：圓截面直徑d=0.352 m，單層厚度為0.000 635 m，復合材料性能參數如表3所示。

表3 復合材料性能參數

4 結論

通過與現有文獻的有限元模型進行結果對比，驗證了本模型的正確性。針對具有2種不同鋪層方式以及3種不同邊界條件的圓截面薄壁復合材料梁，進行阻尼計算。結果表明：

1) 計及剪切變形的阻尼模型能更加準確地預測復合材料薄壁梁的阻尼，不計剪切變形將導致對梁阻尼的估計偏高，考慮剪切變形的影響對模態阻尼的預測則更為準確和精確。

2) 鋪層角對阻尼具有明顯的影響，在[θ]16和[θ/-θ]82種鋪層方式下的彎曲模態阻尼分別發生在鋪層角θ=40°和θ=50°的附近。

3) 在幾何尺寸與鋪層方式不變的前提下，懸臂梁的阻尼最小，兩端固支梁的阻尼最大，簡支梁的阻尼大小介于懸臂梁和兩端固支梁的阻尼之間。

圖4 具有鋪層方式[θ/-θ]8和三種邊界條件的圓截面復合材料薄壁梁的模態阻尼

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(責任編輯：高麗華)

Analytic Model of Modal Damping for Thin-walled Composite Beams with Shear Deformation

REN Yongsheng, ZHU Shuai, ZHANG Yuhuan, TIAN Jishuang

(College of Mechanical and Electronic Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qingdao, Shandong 266590，China)

In order to accurately predict the effect of damping on the dynamical behavior of composite thin-walled beams, this paper presents an analytic model of modal damping for thin-walled composite beams with shear deformation. The displacement and strain of the beams were firstly described by using a modified variational asymptotically method (VAM) and the partial differential equations of Timoshenko beam’s free motion were derived by using Hamilton’s principle. Then the partial differential equations were transformed into ordinary differential equations by using Galerkin method and the modal damping was obtained by solving the complex eigenvalues of the system. The effectiveness of the model was verified by comparing the damping computation results with those available in current literature and the numerical results of damping were presented for circular cross-section composite thin-walled beams by analysis of examples. The study shows that higher damping will be predicted without taking shear deformation into consideration and that different laminate configurations yield different fiber laminate angles for the largest damping.

modal damping; composite thin-walled beam; shear deformation; Galerkin method; fiber orientation

2017-01-07

國家自然科學基金項目(11272190)；山東科技大學研究生科技創新基金項目(SDKDYC170220)

任勇生(1956—)，男，山西太原人，教授，博士生導師，主要從事機械系統動力學、非線性振動、復合材料力學、振動控制的研究.E-mail：renys@sdust.edu.cn

TK83

A

1672-3767(2017)05-0097-10

10.16452/j.cnki.sdkjzk.2017.05.014