基于Isight平臺DOE方法的并聯(lián)機構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

杜巖錦，郭宗和，李澤眾

（山東理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，淄博 255049）

基于Isight平臺DOE方法的并聯(lián)機構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

杜巖錦，郭宗和，李澤眾

（山東理工大學(xué) 機械工程學(xué)院，淄博 255049）

以提高并聯(lián)機構(gòu)的整體性能為目的。以3-PUU并聯(lián)機構(gòu)為例，首先根據(jù)虛設(shè)機構(gòu)法建立影響系數(shù)矩陣，包括雅可比矩陣和海塞矩陣，并通過Adams虛擬建模仿真驗證影響系數(shù)矩陣的正確性，然后綜合考慮工作空間、速度、加速度、慣性力等方面的需求建立并聯(lián)機構(gòu)的性能指標(biāo)，根據(jù)性能指標(biāo)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計模型，最后基于Isight軟件集成MATLAB，采用最優(yōu)拉丁超立方法進行試驗設(shè)計，通過NSGA-II算法進行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。優(yōu)化結(jié)果表明，基于Isight的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法不僅高效而且可以得到Pareto解集, 決策者可以根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的具體服役環(huán)境權(quán)衡選擇整體性能最優(yōu)解。

并聯(lián)機構(gòu)；影響系數(shù)矩陣；實驗設(shè)計；多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計；Isight

0 引言

并聯(lián)機構(gòu)以其運動精度高、剛性好、動態(tài)響應(yīng)靈敏、承載能力強等優(yōu)點被廣泛應(yīng)用于運動模擬器、工業(yè)機器人、虛擬軸機床、微動機械、醫(yī)用機器人等多個領(lǐng)域[1]。并聯(lián)機構(gòu)的多個需求性能之間存在著或相互制約、或相互耦合的的關(guān)系，某項性能指標(biāo)的提高有可能是以其他性能指標(biāo)的下降為條件，因此在并聯(lián)機構(gòu)整體性能的優(yōu)化設(shè)計中，要把多個性能需求同時考慮在內(nèi)，以多個性能指標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)建立多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計模型，對并聯(lián)機構(gòu)進行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計。在傳統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計[2,3]過程中，設(shè)計者們大多數(shù)采用多目標(biāo)優(yōu)化算法進行繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，理論性強，計算復(fù)雜，工作量大。

隨著計算機技術(shù)的快速發(fā)展，計算機輔助優(yōu)化軟件Isight[4]在航空航天、飛行器的優(yōu)化設(shè)計[5]中取得了顯著成果。本文以少自由度三平移3-PUU并聯(lián)機構(gòu)為例，在文獻[6,7]的基礎(chǔ)上，將Isight軟件應(yīng)用于3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中。根據(jù)3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的影響系數(shù)矩陣，綜合考慮并聯(lián)機構(gòu)在工作空間、速度、加速度和慣性力等方面的性能要求，構(gòu)建3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化模型。以Isight軟件為平臺，集成MATLAB，首先采用Isight封裝的實驗設(shè)計（DOE）組件中的最優(yōu)拉丁超立方法，分析設(shè)計變量與目標(biāo)函數(shù)之間的關(guān)系和趨勢，辨識關(guān)鍵的設(shè)計變量并得到初始優(yōu)化值；然后以實驗設(shè)計探索的結(jié)果為基礎(chǔ)，采用Isight封裝的優(yōu)化組件中非劣排序遺傳算法（NSGA—II）進行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，行成自動化、可視化的優(yōu)化流程，為提高并聯(lián)機構(gòu)的整體性能提供更加高效、直觀的思路和方法。

1 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)模型

3-PUU并聯(lián)機構(gòu)模型示意圖與結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示，由三條相同結(jié)構(gòu)參數(shù)的運動支鏈、動平臺以及立柱和定平臺組成的固定機架組成，每條運動支鏈都由移動副，兩個虎克鉸組成。各滑塊的中心位置為Pi(i=1,2,3)，滑塊與立柱之間通過移動副連接，移動副軸線記為Ri1，與滑塊相連的虎克鉸記為Ui1，Ui1轉(zhuǎn)動軸線中心位置為Ai，在本文的分析中將Pi與Ai簡化為一點，與動平臺相連的虎克鉸Ui2轉(zhuǎn)動軸線的中心位置為Bi，虎克鉸可看做由兩個正交轉(zhuǎn)動副組合而成，組成Ui1的兩個轉(zhuǎn)動副軸線記為Ri2、Ri3，組成Ui2的兩個轉(zhuǎn)動副軸線記為Ri4、Ri5，其中動平臺用B（等邊B1B2B3）表示，定平臺用D表示，三條支鏈用Pi-Ai-Bi表示。以定平臺D1D2D3的中心O為坐標(biāo)原點，X軸的方向與D1D2平行，沿立柱方向為Z軸，根據(jù)右手定則建立定坐標(biāo)系O-XYZ。以動平臺B(B1B2B3)的質(zhì)心B為坐標(biāo)原點，x軸與B1B2平行，豎直向上為z軸，在動平臺上建立動坐標(biāo)系o-xyz。定平臺D的外接圓半徑為R，動平臺B的外接圓半徑為r，連桿長度均為。

圖1 3-PUU并聯(lián)機構(gòu)模型與結(jié)構(gòu)簡圖

2 影響系數(shù)矩陣的建立

并聯(lián)機構(gòu)運動影響系數(shù)不僅能反映并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)本質(zhì)，并且可以深入分析機構(gòu)的可速度、加速度、慣性力等性能指標(biāo)。將3-PUU并聯(lián)機構(gòu)運動支鏈上的虎克鉸等效分解為兩個正交的轉(zhuǎn)動副。用Sj(i)來表示第i(i=1,2,3)條運動支鏈上的第j(j=1,2,3,4,5)個運動副的中心軸線方向的單位矢量，Rj(i)是各個運動副在固定坐標(biāo)系O-XYZ中的位置矢量，向量q=(x,y,z)表示動平臺上的中心點B到定平臺中心點O的矢量，表示各個運動副與動平臺上的中心點B的線矩[8]。根據(jù)虛設(shè)機構(gòu)法[9]，將三個分支運動鏈中的虛設(shè)運動副的方向和線矩擬定為：

2.1 一階綜合影響系數(shù)矩陣及速度分析

根據(jù)3-PUU并聯(lián)機構(gòu)基本副的構(gòu)成特點，第i條支鏈的一階綜合影響系數(shù)矩陣[8]可寫為：

其中第i(i=1,2,3)條運動支鏈各運動副軸線方向的單位矢量分別為：

各個運動副的位置矢量R(i)j：

3-PUU并聯(lián)機構(gòu)三條支鏈上的移動副為驅(qū)動副。虛設(shè)運動副的輸入速度和加速度都必須為零。根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動輸入的選擇，以矩陣的第一行和第二行一共6個線性方程建立一個新的矩陣[GqB]，即一階綜合影響系數(shù)矩陣：

據(jù)此，可以建立3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺質(zhì)心B速度與驅(qū)動輸入之間的關(guān)系：

一階綜合影響系數(shù)矩陣[GqB]又稱為Jacobian矩陣，記為[G]。

2.2 二階綜合影響系數(shù)矩陣及加速度分析

聯(lián)合式(2)、式(4)并求導(dǎo)可以建立3-PUU并聯(lián)機構(gòu)動平臺質(zhì)心B加速度AB與驅(qū)動輸入加速度之間的關(guān)系：

式中：

“*”表示的具體運算方式為“*”前面的矩陣乘以“*”后面矩陣?yán)锏娜我辉亍ｎ惐瓤梢詫懗?/p>

[H]即為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的二階綜合影響系數(shù)矩陣，也叫做Hessian矩陣。

2.3 基于Adams仿真的影響系數(shù)矩陣驗證

給定3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)以及動平臺運動特征：R=200mm，r=50mm，l=150mm。設(shè)動平臺的質(zhì)心B點的運動特征為：

1）根據(jù)式(3)、式(5)，利用影響系數(shù)法求滑塊輸入速度和加速度（采用MATLAB繪制速度圖譜，如圖2(a)中v1,v2,v3所示，加速度圖譜如圖3(a)中a1,a2,a3所示。

2）采用Pro/E和Adams聯(lián)合建模的方式建立仿真模型[10]。利用Pro/E建立3-PUU并聯(lián)機構(gòu)模型，并拾取關(guān)鍵位置點(Pi,Bi,Di)的坐標(biāo)，在Adams中利用關(guān)鍵位置點建立與理論模型一致的仿真模型。在動平臺質(zhì)心B點添加入設(shè)定運動軌跡的運動激勵。在仿真結(jié)果后處理界面中可看到滑塊速度仿真曲線，如圖2(b)所示，加速度的仿真曲線如圖3(b)所示。

圖2 滑塊速度圖譜

圖3 滑塊加速度圖譜

通過對比發(fā)現(xiàn)，利用影響系數(shù)法和Adams軟件虛擬建模仿真這兩種方式所得三滑塊的速度和加速度的圖譜是吻合的，這驗證了影響系數(shù)矩陣的正確性，為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)性能指標(biāo)的建立以及優(yōu)化設(shè)計的提供了基本前提和保證。

3 性能評價指標(biāo)

3.1 工作空間指標(biāo)

現(xiàn)階段的并聯(lián)機構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的重點之一就是如何解決工作空間小的問題。根據(jù)文獻[6]對3-PUU并聯(lián)機構(gòu)工作空間的分析，利用極坐標(biāo)搜索法得到工作空間體積公式[9]：

通過合理的設(shè)置機構(gòu)參數(shù)，使得3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的工作空間越大越利于實際應(yīng)用。

3.2 速度全域性能指標(biāo)

并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動副輸入與動平臺輸出速度精度由速度性能指標(biāo)[11]kG評價：

Jacobian矩陣隨著并聯(lián)機構(gòu)形位的改變而改變。因此，以工作空間三維圖以及體積的求取為基礎(chǔ)，用速度全域性能指標(biāo)來衡量并聯(lián)機構(gòu)在整個工作空間內(nèi)的速度傳遞性能，即：

其中，W表示并聯(lián)機構(gòu)的工作空間。

并聯(lián)機構(gòu)能夠?qū)χ噶钭龀隹焖夙憫?yīng)，因此速度性能指標(biāo)vη的值越小越好。

3.3 加速度全域性能指標(biāo)

根據(jù)影響系數(shù)法對3-PUU并聯(lián)機構(gòu)加速度與Jacobian矩陣和Hessian矩陣的關(guān)系，得到少自由度3-PUU并聯(lián)機構(gòu)加速度性能指標(biāo)

ηa反映了并聯(lián)機構(gòu)在整個工作空間內(nèi)加速度的精確度，ηa的取值越小加速度精度越高，本文的分析計算中取a=2%，b=2%。

3.4 慣性力全域性能指標(biāo)

慣性力指標(biāo)密切影響著并聯(lián)機構(gòu)的控制精度。僅考慮并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)本身對慣性力的影響，少自由度并聯(lián)機構(gòu)關(guān)于Jacobian矩陣和Hessian矩陣的慣性力綜合條件數(shù)[11]為：

(i=1,2,3)為轉(zhuǎn)動影響系數(shù)矩陣的第i行。并聯(lián)機構(gòu)的慣性力條件數(shù)，來討論并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)與慣性力大小的關(guān)系。以慣性力全域性能指標(biāo)來衡量控制精度。

τF的值越小表示并聯(lián)機構(gòu)的控制精度越高。

4 實驗設(shè)計為基礎(chǔ)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

4.1 多目標(biāo)設(shè)計優(yōu)化模型的建立

其中，約束條件即為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)工作空間的限制約束條件[6]。

4.2 基于Isight的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計

以Isight軟件為平臺，采用實驗設(shè)計（DOE）組件和優(yōu)化（Optimization）組件集成MATLAB軟件的優(yōu)化策略[12]，完成并聯(lián)機構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化。優(yōu)化基本流程為：采用實驗設(shè)計，在設(shè)計空間中均勻采樣，對輸入?yún)?shù)進行敏感度分析，并捕捉整個設(shè)計空間中最有效的設(shè)計區(qū)域，得到優(yōu)化初始值，然后在初始值的基礎(chǔ)上在有效設(shè)計區(qū)域中進行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，在所有得到的pareto最優(yōu)解[13]中根據(jù)實際應(yīng)用選擇最優(yōu)折衷解。

在Isight中建立多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計流程如圖2所示。在優(yōu)化參數(shù)與方法設(shè)置方面：在MATLAB組件中導(dǎo)入程序，根據(jù)多目標(biāo)優(yōu)化模型設(shè)置輸入設(shè)計變量（Input Mappings），輸出設(shè)計變量（Output Mappings），以動平臺外接圓半徑r，定平臺外接圓半徑RI，定長連桿長度l為輸入設(shè)計變量，以工作空間（V），速度全域性能指標(biāo)（sudu），加速度全域性能指標(biāo)（jiasudu），慣性力全域性能指標(biāo)（guxingli）為輸出變量。DOE組件中選擇最優(yōu)拉丁超立方法（OptLHD法能使所有的試驗點均勻的分布在設(shè)計空間，具有很好的空間填充性和均衡性），將樣本點設(shè)置為20，設(shè)置輸入設(shè)計變量的上下限以及輸出變量的取值傾向。在Optimization組件中選擇封裝的NSGA-Ⅱ算法（NSGA-Ⅱ在非支配排序中，由于貼近Pareto前沿的個體被選取，使Pareto的前進能力明顯增強），將種群大小設(shè)置為4，遺傳代數(shù)設(shè)置為20。

圖4 優(yōu)化設(shè)計流程

4.3 多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計結(jié)果分析

4.3.1 實驗設(shè)計（DOE）結(jié)果分析

通過試驗設(shè)計可以得出的主效應(yīng)圖和貢獻率圖可定性定量的分析設(shè)計變量與優(yōu)化目標(biāo)之間關(guān)系。由于篇幅有限，在實驗設(shè)計的結(jié)果分析中，僅列舉部分優(yōu)化結(jié)果。如圖5所示為設(shè)計變量對速度性能的主效應(yīng)圖，圖6為設(shè)計變量對速度性能的貢獻率圖。從主效應(yīng)圖可以看出動平臺和定平臺的半徑對速度性能指標(biāo)的影響都比較大，基本呈線性關(guān)系，速度全域性能指標(biāo)隨著動平臺半徑徑的增大而減小，連桿長度對速度的影響相對較小。在貢獻率圖中，正效應(yīng)由藍色條形表示，反效應(yīng)由紅色條形表示，定平臺半徑對速度的貢獻率為-32.8%（以負號表示反效應(yīng)），動平臺半徑對速度的貢獻率為31.6%，影響相對較大；連桿長度對速度的貢獻率為11.2%，影響相對較小。主效應(yīng)圖與貢獻率圖所反映的設(shè)計變量與優(yōu)化目標(biāo)之間關(guān)系相一致。在零部件的加工制造中，我們可以參考主效應(yīng)圖和貢獻率圖控制結(jié)構(gòu)尺寸的加工精度，對需求性能指標(biāo)影響較大的設(shè)計參數(shù)，應(yīng)該嚴(yán)格控制其加工精度。

圖5 設(shè)計變量對優(yōu)化目標(biāo)（速度）的主效應(yīng)圖

圖6 設(shè)計變量對優(yōu)化目標(biāo)（速度）的貢獻率圖

4.3.2 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果分析

通過Isight可以查看NSGA-II算法優(yōu)化過程中的History表格，如圖7所示，通過History表格可看到每次優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)尺度參數(shù)以及相對應(yīng)的優(yōu)化結(jié)果，即Pareto解集。圖8是由History表格得到的可行性設(shè)計點歷史圖，目的是可以看到每次優(yōu)化后所得優(yōu)化結(jié)果的變化規(guī)律。History表格中綠色數(shù)據(jù)條表示Isight推薦的最佳設(shè)計點，淺藍色數(shù)據(jù)條表示可行設(shè)計點，白色數(shù)據(jù)條沒有明顯優(yōu)勢。優(yōu)化過程中的可行性設(shè)計點用藍色圓點標(biāo)記，Isight推薦的最優(yōu)設(shè)計點用綠色圓點標(biāo)記。結(jié)合History表格，我們可以看出Isight推薦的最優(yōu)設(shè)計點為第61個樣本，在這個樣本下，工作空間、加速度和慣性力性能分別達到最優(yōu)，但是速度性能較差。

在實際應(yīng)用中，最優(yōu)設(shè)計點應(yīng)根據(jù)并聯(lián)機構(gòu)的服役環(huán)境和性能需求綜合考慮多個優(yōu)化目標(biāo)的優(yōu)劣程度進行權(quán)衡選擇。比如當(dāng)把3-PUU并聯(lián)機構(gòu)應(yīng)用于高精度小型精密零件的加工設(shè)備中，首先保證并聯(lián)機構(gòu)的速度全域性能和加速度全域性能都需要越小越好，平衡兩個性能指標(biāo)的取值可以選取第11，17，55，58，68，73組優(yōu)化解；其次要求慣性力全域性能盡可能小，選取第17，55，58組優(yōu)化解； 然后考慮工作空間足夠大選擇第58組優(yōu)化解。因此最終結(jié)構(gòu)尺寸的優(yōu)化解取為l=218.75mm，r=45.84，RI=131.31mm。通過表1的對比結(jié)果可以看出，3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的整體性能得到提高。

圖7 優(yōu)化過程的History表格

圖8 設(shè)計參數(shù)的可行設(shè)計點圖

表1 多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果分析

5 結(jié)論

1）采用虛設(shè)機構(gòu)法建立了少自由度三平移3-PUU并聯(lián)機構(gòu)的影響系數(shù)矩陣，并采用影響系數(shù)法理論計算所得驅(qū)動副的速度和加速度圖譜與Adams虛擬建模仿真曲線是吻合的，由此驗證了影響系數(shù)矩陣的正確性。這為3-PUU并聯(lián)機構(gòu)基于影響系數(shù)矩陣的性能指標(biāo)的建立以及設(shè)計優(yōu)化提供了基本前提和保證。

2）根據(jù)性能評價指標(biāo)構(gòu)建3-PUU并聯(lián)機構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化模型，以Isight軟件集成MATLAB，采用最優(yōu)拉丁超立方法進行試驗設(shè)計（DOE），可以非常方便的得出各個設(shè)計變量與各個目標(biāo)函數(shù)的影響程度關(guān)系圖，為并聯(lián)機構(gòu)各個構(gòu)件的加工精度提供了依據(jù)。對DOE得出的近似模型通過NSGA-II算法進行多目標(biāo)優(yōu)化，得到Pareto解集, 決策者可以根據(jù)實際情況綜合考慮多目標(biāo)的優(yōu)劣程度進行權(quán)衡選擇。基于Isight的3-PUU并聯(lián)機構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計方法可視性及可理解性增強，也有利于提高并聯(lián)機構(gòu)整體性能優(yōu)化設(shè)計的效率及準(zhǔn)確性。

[1] 彭忠琦.并聯(lián)機構(gòu)的發(fā)展及應(yīng)用[J].光機電信息,2011,28(12):45-50.

[2] 孔民秀,陳琳,杜志江,等.基于NSGA-II算法的平面并聯(lián)機構(gòu)動態(tài)性能多目標(biāo)優(yōu)化[J].機器人.2012,32(2):271-277.

[3] Wang C, Fang Y, Sheng G. Multi-objective Optimization of a Parallel Ankle Rehabilitation Robot Using Modified Differential Evolution Algorithm[J].Chinese Journal of Mechanical Engineering,2015,28(4):702-715.

[4] 賴宇陽.Isight參數(shù)優(yōu)化理論與實例詳解[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2012.

[5] ZhangMing, NieHong, HeZhihang. Parameter Optimization of Nose Landing Gear Considering Both Take-off and Landing Performance of Catapult Take-off Carrier-Based Aircraft[J].南京航空航天大學(xué)學(xué)報(英文版),2016,33(2):187-198.

[6] 蒲志新,趙慶,于英華.3-PUU并聯(lián)機構(gòu)工作空間分析與優(yōu)化設(shè)計[J].機械傳動,2015(8):55-58.

[7] 蔡飛躍.3-PUU并聯(lián)機構(gòu)運動學(xué)和動力學(xué)研究[D].南京航空航天大學(xué),2010.

[8] 黃真,趙永生,趙鐵石.高等空間機構(gòu)學(xué)[M].北京:高等教育社,2006:170-189.

[9] 黃真,郭希娟.虛設(shè)機構(gòu)法正確性的論證[J].機械工程學(xué)報,2001,37(5):48-51.

[10] 盛連超,李威,劉玉飛,等.基于Pro/E和Adams的3-RRR并聯(lián)平臺運動學(xué)與動力學(xué)研究[J].組合機床與自動化加工技術(shù),2015,(6)5-7.

[11] 郭希娟.機構(gòu)性能指標(biāo)理論與仿真[M].北京:科學(xué)出版社,2010:97-113.

[12] 李會榮,凡遵金,賴宇陽.基于Sculptor和Isight的SUV前阻風(fēng)板結(jié)構(gòu)優(yōu)化[J].計算機輔助工程,2013,22(z2):232-235.

[13] Li H, Lian J. Multi-objective optimization of water-sedimentationpower in reservoir based on pareto-optimal solution[J].Transactions of Tianjin University, 2008, 14(4):282-288.

Multi-objective optimization design of parallel mechanism based on Isight platform DOE methods

DU Yan-jin, GUO Zong-he, LI Ze-zhong

TH122

：A

1009-0134(2017)07-0099-07

2017-05-15

國家自然科學(xué)基金資助項目：基于柔性關(guān)節(jié)的多維高頻激振平臺設(shè)計理論及非線性解耦控制（50905077）；山東省自然科學(xué)基金項目：考慮多源不確定性的并聯(lián)機器人多學(xué)科可靠性設(shè)計優(yōu)化（ZR2016EEM12）

杜巖錦（1988 -），女，山東泰安人，碩士研究生，研究方向為機器人學(xué)和多學(xué)科優(yōu)化。