空間幾何體初步教學的一些想法

安徽省祁門縣第一中學 胡愛軍

空間幾何體初步教學的一些想法

安徽省祁門縣第一中學 胡愛軍

空間幾何是培養學生空間想象能力的重要章節。空間幾何主要教什么？怎么教？教的哪些是重點？對于學生而言，學習過程要注重什么？這些教師思考是空間幾何初步教學的關鍵。

空間幾何；數學；想象能力；代數；圖形

空間幾何初步是學生空間想象能力培養的重要章節。從學生學習空間幾何的現狀來看，學生在空間感知、傳統幾何公理化體系的認知、空間向量代數化運算等環節充滿了學習障礙。主要因素在于：第一，空間感知是需要培養和創造的，而且不少學生（尤其是女生）對于空間幾何體的形態和想象是極度缺乏的，這與其頭腦中長期缺乏對三維空間物體的關注有關；第二，傳統公理化體系的數學性、嚴密性無可挑剔，但是公理化體系中諸多定理和性質往往被現代數學教學所忽視，對其的使用頻率也大幅降低，在學生很多解答問題中的第一選擇上升為向量方式；第三，隨著向量方式的進入，空間幾何問題也漸漸成為代數化趨勢，吳文俊大師說的向量代數化手段解決幾何問題恰恰是這一層面的意思。因此筆者以為對于空間幾何初步教學，教師要更多的以上述三個較困難的學生認知層面出發，循序漸進地認知空間幾何教學的難點和重點，在教學中不斷加以滲透和改進，使學生既獲得知識，也得到了空間想象能力的提高。

一、空間感知

空間感知是一個非常抽象的教學難點。空間幾何初步從三視圖及幾何圖形概念出發，循序漸進地培養學生的空間感知，教學中需要加以滲透和體會。

問題1：在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________。（填上所有正確答案的序號）

分析：異面直線是空間感知的難點。從位置關系來說，空間直線位置關系有三種，主要是異面、平行、相交（學生往往將垂直錯記為一種位置關系）。考查異面直線，正是考查了基本的空間感知。證明異面直線在教材中的知識是反證法為主的一種介入，這在考試要求中并不作為重點。因此，教師引導學生的判斷主要是從排除相交和平行導致共面的逆向思維為主，從而形成空間感知。很明顯，①、③是平行導致的共面直線，而②中M點不落在面HGN中、④中H點不落在GMN中導致異面直線的存在。因此，對于類似問題的處理，教師還可以通過幾何模型教具進一步加強學生的認知和理解，從而獲得更好的感知體驗。

二、公理化體系

公理化體系是立體幾何傳統教學的核心和支柱。簡單來說，公理化體系是建立在四條公理體系基礎上的一系列定理和推論以及常見性質組成的證明理論。我們知道，空間幾何的公理是4條，以這四條公理為基準建立起了8條著名的平行和垂直判定性質定理，是學生解決問題的主要利器。

分析：證明線線垂直有不少方式，主要是從異面直線多成角為直角、線面垂直概念、線線垂直性質定理入手，這是公理化體系的方式，教學中要引導辨別；線面平行的判斷自然是以判定定理為主的論證。公理化體系中空間幾何問題的求解核心思想主要是將問題平面化，因此自然而然地尋找到線面角的位置，在三角形中計算求解。

三、向量方式

隨著向量代數特性的引入，不少空間幾何問題獲得了更好的解題體驗。從理論上來說，空間幾何問題都可以運用向量求解，將幾何問題代數化成為一種通性通法，其優點是培養了學生問題解決的一般性、快捷性、共性，但是其缺點也是比較明顯，即很有可能大量抹殺學生的創造性。因此，向量方式解決空間幾何問題成為我們一個不可或缺的補充，但不能僅僅以此為本原地踏步。

問題3：如圖，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC=2,AD=4，，。（1）求證：面ABF；（2）求異面直線BE與AC所成的角的余弦值；（3）在線段BE上是否存在一點P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

由于篇幅有限，此處解析略。

分析：向量方式最大的特征是利用其運算的特性，解決了公理化體系中較難的“找、證”環節！因此教師教學需要將代數化向量運算逐步在公理化體系后引入，獲得更多的知識解決方式。

總之，空間幾何初步教學要注重上述三方面的介入，以空間感知為主的引入、以公理化體系為本的論證、以代數化向量運算的輔助，這是空間幾何初步教學必備的、不可或缺的、循序漸進的三部曲。

[1]沈恒.浙江七年高考立體幾何自主命題的回顧與前瞻[J].數學通訊，2012（10）.

[2]俞求是.高中數學新課程立體幾何教學問題研究[J].數學教學，2010（2）.

[3]岳儒芳.由高考立體幾何題閱卷引發的思考[J].數學通訊，2014（8）.