對(duì)考查向量的試題背景分析與教學(xué)備考建議

上海市第四中學(xué) …周 科

對(duì)考查向量的試題背景分析與教學(xué)備考建議

上海市第四中學(xué) …周 科

《上海市高中數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)基本要求》（試驗(yàn)本）以及《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試上海卷考試手冊》都強(qiáng)調(diào)對(duì)學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的考查，考查的目的是基于強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)中學(xué)生的個(gè)性品質(zhì)，開拓中學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，促進(jìn)中學(xué)生理性思維的逐步形成。多年來，上海的高考試卷命制過程中都希望所命制的試卷能很好地貼切這一考查要求，通過命題專家的努力，這些年的數(shù)學(xué)高考卷都出現(xiàn)了很多具有創(chuàng)新性的試題。但這些好題也恰恰是學(xué)生難以逾越的一道道坎，這一方面暴露出當(dāng)前數(shù)學(xué)教學(xué)中知識(shí)遷移、組合、融匯的程度不高，能力區(qū)域不寬泛，創(chuàng)新意識(shí)不強(qiáng)，同時(shí)，學(xué)生也沒能很好地發(fā)揮數(shù)學(xué)基本思想、基本方法在這類題中的基礎(chǔ)性、工具性作用。本文僅就向量及其應(yīng)用中的問題，通過幾個(gè)典型例題做一個(gè)探究。

一、向量題的考查特點(diǎn)分析及典型例題剖析

1.以向量為背景，考查三角函數(shù)

依據(jù)《上海市中小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試行稿）》及其調(diào)整意見和高考選拔人才的選拔要求，結(jié)合中學(xué)教學(xué)實(shí)際，考試旨在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。如何在三角函數(shù)、向量這些傳統(tǒng)意義下的中低檔試題中進(jìn)行能力立意呢？近幾年的上海卷給出了較為滿意的回答。譬如：

例1 （2016年高考數(shù)學(xué)上海卷理科第12題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是。

試題分析：本題利用數(shù)形結(jié)合思想，將問題轉(zhuǎn)化到單位圓中，從而轉(zhuǎn)化成平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得到的取值范圍。主要考查了考生的邏輯推理能力、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等。

2.以向量為背景，考查函數(shù)的值域

高考命題以基礎(chǔ)知識(shí)為載體，結(jié)合對(duì)基本思想、基本方法與技能的考查，突出考查學(xué)生分析問題、轉(zhuǎn)化問題、解決問題的能力，在解題思路和方法的尋找上突顯學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。近幾年高考數(shù)學(xué)上海卷在這一點(diǎn)上做得比較成功。譬如：

例2 （2012年高考數(shù)學(xué)上海卷理科12題） 在平行四邊形ABCD中，邊AB、CD的長分別為2、1，若M、N分別是邊BC、 CD上的點(diǎn)，且滿足的取值范圍是。

解法1是用向量的數(shù)量積運(yùn)算，將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題；解法2是采用“建系”，用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。本題較好地考查了學(xué)生用數(shù)學(xué)基本知識(shí)和技能解決數(shù)學(xué)問題的能力。

3.以向量為背景，考查概率

高考命題要遵循《考試說明》，在高考數(shù)學(xué)《考試說明》中提出試題具備高信度、效度、必要的區(qū)分度和適當(dāng)?shù)碾y度。傳統(tǒng)涉及概率的試題一直是單一知識(shí)點(diǎn)，將向量和概率相結(jié)合，較為充分地踐行了這一宗旨。

例3 （2016年高考數(shù)學(xué)上海卷理科第14題） 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為正八邊形的中心，，任取不同的兩點(diǎn)點(diǎn)P滿足則點(diǎn)P落在第一象限的概率是

試題分析：本題主要考查古典概型概率的計(jì)算。解答本題的關(guān)鍵在于能準(zhǔn)確確定所研究對(duì)象的基本事件空間、基本事件個(gè)數(shù)，利用概率的計(jì)算公式求解。本題能較好地考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、基本運(yùn)算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想等。

4.……以向量為背景，考查解析幾何中存在性問題

例4 （2014年高考數(shù)學(xué)上海卷理科第14題） 已知曲線若對(duì)于點(diǎn)存在C上的點(diǎn)P和 L上的點(diǎn)Q使得的取值范圍為。

本題考查了兩個(gè)基本能力：推理論證和運(yùn)算求解。運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合，提高運(yùn)算求解能力的關(guān)鍵是“算理”，要讓思在算之前，通過思明確算的方向，并對(duì)運(yùn)算結(jié)果有一定的預(yù)見性。

5.以向量為背景，考查多變量問題

現(xiàn)在已進(jìn)入大數(shù)據(jù)的信息化時(shí)代，高考試題也順應(yīng)這一變化，命題時(shí)除了設(shè)置一些“三基”試題外，也設(shè)置了一些信息量大、多變量的問題。譬如：

本題信息量大，綜合性強(qiáng)，思維要求高，考查學(xué)生對(duì)信息的提取和處理能力，考查學(xué)生運(yùn)算求解能力和分析、解決問題的能力。

二、備考建議

1.注重基礎(chǔ)，加強(qiáng)知識(shí)交匯性訓(xùn)練

結(jié)合近幾年上海卷對(duì)向量知識(shí)點(diǎn)的考查特點(diǎn)，在向量復(fù)習(xí)中要注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的內(nèi)在挖掘，考查知識(shí)的交匯性問題比較多，因而在課堂教學(xué)中，我們要注重基礎(chǔ)知識(shí)，加強(qiáng)能力培養(yǎng)，從注重學(xué)習(xí)結(jié)果向注重學(xué)習(xí)過程轉(zhuǎn)變，要從學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)向會(huì)學(xué)，要讓學(xué)生從被動(dòng)接受轉(zhuǎn)向主動(dòng)發(fā)現(xiàn)，要從信息單向傳遞轉(zhuǎn)向信息多向交流，以適應(yīng)課程改革的新要求。

2.重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力

解決數(shù)學(xué)問題是離不開數(shù)學(xué)思想方法的，數(shù)學(xué)思想方法在解決問題中有著舉足輕重的地位，方法選擇得當(dāng)，往往有出奇制勝的效果，方法思路混亂，可能導(dǎo)致思維受阻。另外，要加強(qiáng)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng)，有不少學(xué)生就是因?yàn)檫\(yùn)算能力不強(qiáng)導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，進(jìn)而影響解題的進(jìn)度，使得解答陷入困境。

3.解題思路的生成才是教學(xué)的重點(diǎn)

高三主要是解題教學(xué)，解題教學(xué)就是教會(huì)學(xué)生學(xué)會(huì)如何解題、怎樣解題，而不是只給學(xué)生講題、把題講明白、把題講懂。高三教學(xué)中教學(xué)時(shí)間緊、任務(wù)重，總感覺時(shí)間不夠用，課堂上師生都有些囫圇吞棗——基礎(chǔ)教學(xué)不夠扎實(shí)，例題、習(xí)題的講解更是急于求成，教師往往不注重“解題思路的生成過程”的分析、傳授、講解，而過多地關(guān)注或停留在答案和解題上。著名教育學(xué)家波利亞的解題理論告訴我們：解題要做到“七分構(gòu)思（讀題、審題、發(fā)散、聯(lián)想、歸納），三分表述（書寫、運(yùn)算、訂正、反思與回顧）”；解題無外乎就是“架起由已知通向未知的橋梁，橋梁承載著數(shù)學(xué)知識(shí)、思想、方法、能力、技巧”。教學(xué)中教師必須清楚“我講明白，不等于學(xué)生明白，更不等于學(xué)生理解、掌握和熟練運(yùn)用”，加強(qiáng)解題教學(xué)的過程分析、注重解題思路與脈絡(luò)生成的傳授是教會(huì)學(xué)生的關(guān)鍵。

4.適當(dāng)加大向量的研究難度，突出其工具性

從近幾年的高考試題來看，有關(guān)向量的考查難度呈不斷增大的趨勢。向量是代數(shù)和幾何的橋梁，向量既可作為表達(dá)問題的工具，也可作為解決問題的工具，本文例3中的向量兼?zhèn)鋬烧叩墓δ堋?/p>

5.加強(qiáng)對(duì)上海卷考試大綱和考試說明的研究

高考命題的指導(dǎo)思想之一，是突出對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法的考查?！犊荚囌f明》中對(duì)知識(shí)的考查要求依次分為三個(gè)層級(jí)：記憶水平；解釋性理解水平；探究性理解水平。考試要求對(duì)向量的考查要求為：（1）解釋性理解平面向量分解定理，會(huì)求向量的長度及夾角，懂得運(yùn)用向量方法進(jìn)行簡單的幾何證明；（2）探究性理解向量的數(shù)量積運(yùn)算及其性質(zhì)，平面向量的坐標(biāo)表示，會(huì)用坐標(biāo)討論兩個(gè)向量的平行或垂直。在復(fù)習(xí)過程中要依據(jù)學(xué)科基本要求和考試說明，仔細(xì)推敲、認(rèn)真研究、全面鋪開，不放過任何一個(gè)可能考查到的知識(shí)點(diǎn)，注重在知識(shí)交匯處設(shè)置問題，培養(yǎng)學(xué)生處理綜合問題的能力。

6.注重回歸課本，加強(qiáng)對(duì)往年試題的研究

課本是教學(xué)之本，在最后的復(fù)習(xí)過程中，一定要加強(qiáng)對(duì)課本習(xí)題、重點(diǎn)例題的探究，注重對(duì)教材的挖掘和利用，許多好的高考試題都源于教材而高于教材，是對(duì)教材的二次開發(fā)和再利用，因此一定要用好教材，加強(qiáng)對(duì)課本的研究。

[1]2017年《普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試上海卷考試手冊》

[2]過家福，王華民.三角函數(shù)、向量試題特點(diǎn)及應(yīng)對(duì)策略[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與參考，2017（5）.

[3]胡書軍，李素香，霍紅梅.解題思路的生成才是解題教學(xué)的重中之重[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與參考，2016（5）.