數(shù)學“構(gòu)造法”運用探索與實踐

福建省尤溪第一中學 陳 賢

數(shù)學“構(gòu)造法”運用探索與實踐

福建省尤溪第一中學 陳 賢

數(shù)學構(gòu)造法是數(shù)學解題中的一種常見方法，構(gòu)造法的實質(zhì)就是依據(jù)某些數(shù)學問題的條件或結(jié)論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學對象，一種新的數(shù)學形式，或者利用具體問題的特殊性，為待解決的問題設(shè)計一個合理的框架，從而使問題轉(zhuǎn)化并得到解決的方法。

構(gòu)造法；整合；發(fā)散思維；知識模塊

構(gòu)造法在具體的解題過程中，其思維過程是：對條件、結(jié)論及其相互關(guān)系進行分析，通過創(chuàng)造性思維實現(xiàn)轉(zhuǎn)譯，構(gòu)造適當?shù)臄?shù)學對象或形式，再通過推演實現(xiàn)轉(zhuǎn)化，最后得出所求（證）結(jié)論。而要完成這一思維過程乃至整個構(gòu)造，實踐教學中要有意識地引導學生做到如下幾點：

一、加強知識的整合，是激發(fā)聯(lián)想的基石

加強原有知識的整合，理清知識的發(fā)生、發(fā)展過程，豐富了聯(lián)想的素材，保障了類比、聯(lián)想等思維過程的流暢性，是完成構(gòu)造法的基石所在。

如在立體幾何中，長方體、正方體、正四面體是幾種重要的幾何模型，它們之間也有著千絲萬縷的聯(lián)系，學習立體幾何后，可引導學生進行歸納，形成如下知識鏈：

1.圖形間的關(guān)系：

2.長方體具有的特征、性質(zhì)：

①從外部特征看，長方體是一個直棱柱，每個表面都為矩形，同一頂點上的三條棱相互垂直；

③長方體有一個外接球，球的直徑為長方體的體對角線長；

3.正方體具有長方體的所有性質(zhì)，但正方體也具有其特殊性：

①正方體的每個面都為全等的正方形，面對角線都相等；

4.正四面體可由正方體得來，其體積就為所對應(yīng)的正方體截去四個角后所得的幾何體體積；外接球的直徑即為正方體的外接球直徑。

學生在具備了以上知識模塊的基礎(chǔ)上，解決以下問題時就迎刃而解。

通過聯(lián)想類比等思維方法，由正方體的幾何特征，構(gòu)造出如圖2的正方體ACBD—PC1B1D1，從而使PB與AC所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BD所成的角（詳解略）。

圖1 圖2

二、構(gòu)建知識模塊，是完成創(chuàng)造性構(gòu)造的保障

創(chuàng)造性思維就是運用自己掌握的知識和經(jīng)驗，通過分析、綜合、比較、抽象，加上合理的想象，產(chǎn)生新思想、新觀點的思維方式。在平時教學中若能引導學生做知識的有心人，及時對所學過的相同、相似或似是而非的知識進行歸納、整理，形成知識的網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識的模塊，定能觸發(fā)構(gòu)造的靈感,點燃創(chuàng)新的火花，從而保障構(gòu)造性解題的完成。

如三角形的重心是三角形的一個重要幾何量，在平面幾何、平面向量、解析幾何中都有三角形重心的很多重要性質(zhì)，若能及時歸納、總結(jié)，則為構(gòu)造新的數(shù)學模型提供了素材，并能促進創(chuàng)新思維。我在教學中對三角形的重心做了如下歸納：

此題作為選擇題，既可采用坐標的方法，也可采用特殊值法，令△ABC為正三角形，再通過向量的坐標形式得出答案。但若有了上述知識模塊作基礎(chǔ)，并對三角形的重心的性質(zhì)有較清晰的認識，則不難聯(lián)想到三角形重心的向量形式（詳解略）。

由上述解題過程知，對三角形重心的全面認識，觸發(fā)了構(gòu)造的靈感，促進了解答的創(chuàng)造性。

三、鼓勵發(fā)散性思維，是促進構(gòu)造性解題完成的催化劑

發(fā)散性思維是指思維的廣度，反映了思維的靈活性與多樣性。構(gòu)造法是數(shù)學中最富有活力和創(chuàng)造性的化歸方法之一，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，同時它也滲透了思維的廣泛性、深刻性和敏捷性。故在平時的教學中，努力創(chuàng)設(shè)問題情境，鼓勵學生進行發(fā)散性思維，是促進構(gòu)造法完成的催化劑。

在此題的教學中，教師“啟發(fā)生疑——鼓勵質(zhì)疑——引導解疑”，鼓勵學生通過一題多解進行發(fā)散性思維訓練，從而催化了學生進行構(gòu)造性解題的思維火花，達到了解題的創(chuàng)造性。

美國著名數(shù)學教育家波利亞曾說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇。”在構(gòu)造法的教學中，不僅要教給學生構(gòu)造什么，更重要的是要通過揭示構(gòu)造的思維方式教會學生如何去構(gòu)造，而要教會學生如何構(gòu)造，教師只有從源頭抓起，才能取到事半功倍的效果。