數(shù)學(xué)“構(gòu)造法”運(yùn)用探索與實(shí)踐

福建省尤溪第一中學(xué) 陳 賢

數(shù)學(xué)“構(gòu)造法”運(yùn)用探索與實(shí)踐

福建省尤溪第一中學(xué) 陳 賢

數(shù)學(xué)構(gòu)造法是數(shù)學(xué)解題中的一種常見(jiàn)方法，構(gòu)造法的實(shí)質(zhì)就是依據(jù)某些數(shù)學(xué)問(wèn)題的條件或結(jié)論所具有的典型特征，用已知條件中的元素為“元件”，用已知的數(shù)學(xué)關(guān)系為“支架”，在思維中構(gòu)造出一種相關(guān)的數(shù)學(xué)對(duì)象，一種新的數(shù)學(xué)形式，或者利用具體問(wèn)題的特殊性，為待解決的問(wèn)題設(shè)計(jì)一個(gè)合理的框架，從而使問(wèn)題轉(zhuǎn)化并得到解決的方法。

構(gòu)造法；整合；發(fā)散思維；知識(shí)模塊

構(gòu)造法在具體的解題過(guò)程中，其思維過(guò)程是：對(duì)條件、結(jié)論及其相互關(guān)系進(jìn)行分析，通過(guò)創(chuàng)造性思維實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)譯，構(gòu)造適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)對(duì)象或形式，再通過(guò)推演實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，最后得出所求（證）結(jié)論。而要完成這一思維過(guò)程乃至整個(gè)構(gòu)造，實(shí)踐教學(xué)中要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生做到如下幾點(diǎn)：

一、加強(qiáng)知識(shí)的整合，是激發(fā)聯(lián)想的基石

加強(qiáng)原有知識(shí)的整合，理清知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程，豐富了聯(lián)想的素材，保障了類比、聯(lián)想等思維過(guò)程的流暢性，是完成構(gòu)造法的基石所在。

如在立體幾何中，長(zhǎng)方體、正方體、正四面體是幾種重要的幾何模型，它們之間也有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，學(xué)習(xí)立體幾何后，可引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納，形成如下知識(shí)鏈：

1.圖形間的關(guān)系：

2.長(zhǎng)方體具有的特征、性質(zhì)：

①?gòu)耐獠刻卣骺矗L(zhǎng)方體是一個(gè)直棱柱，每個(gè)表面都為矩形，同一頂點(diǎn)上的三條棱相互垂直；

③長(zhǎng)方體有一個(gè)外接球，球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)；

3.正方體具有長(zhǎng)方體的所有性質(zhì)，但正方體也具有其特殊性：

①正方體的每個(gè)面都為全等的正方形，面對(duì)角線都相等；

4.正四面體可由正方體得來(lái)，其體積就為所對(duì)應(yīng)的正方體截去四個(gè)角后所得的幾何體體積；外接球的直徑即為正方體的外接球直徑。

學(xué)生在具備了以上知識(shí)模塊的基礎(chǔ)上，解決以下問(wèn)題時(shí)就迎刃而解。

通過(guò)聯(lián)想類比等思維方法，由正方體的幾何特征，構(gòu)造出如圖2的正方體ACBD—PC1B1D1，從而使PB與AC所成的角轉(zhuǎn)化為PB與BD所成的角（詳解略）。

圖1 圖2

二、構(gòu)建知識(shí)模塊，是完成創(chuàng)造性構(gòu)造的保障

創(chuàng)造性思維就是運(yùn)用自己掌握的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，通過(guò)分析、綜合、比較、抽象，加上合理的想象，產(chǎn)生新思想、新觀點(diǎn)的思維方式。在平時(shí)教學(xué)中若能引導(dǎo)學(xué)生做知識(shí)的有心人，及時(shí)對(duì)所學(xué)過(guò)的相同、相似或似是而非的知識(shí)進(jìn)行歸納、整理，形成知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，構(gòu)建知識(shí)的模塊，定能觸發(fā)構(gòu)造的靈感,點(diǎn)燃創(chuàng)新的火花，從而保障構(gòu)造性解題的完成。

如三角形的重心是三角形的一個(gè)重要幾何量，在平面幾何、平面向量、解析幾何中都有三角形重心的很多重要性質(zhì)，若能及時(shí)歸納、總結(jié)，則為構(gòu)造新的數(shù)學(xué)模型提供了素材，并能促進(jìn)創(chuàng)新思維。我在教學(xué)中對(duì)三角形的重心做了如下歸納：

此題作為選擇題，既可采用坐標(biāo)的方法，也可采用特殊值法，令△ABC為正三角形，再通過(guò)向量的坐標(biāo)形式得出答案。但若有了上述知識(shí)模塊作基礎(chǔ)，并對(duì)三角形的重心的性質(zhì)有較清晰的認(rèn)識(shí)，則不難聯(lián)想到三角形重心的向量形式（詳解略）。

由上述解題過(guò)程知，對(duì)三角形重心的全面認(rèn)識(shí)，觸發(fā)了構(gòu)造的靈感，促進(jìn)了解答的創(chuàng)造性。

三、鼓勵(lì)發(fā)散性思維，是促進(jìn)構(gòu)造性解題完成的催化劑

發(fā)散性思維是指思維的廣度，反映了思維的靈活性與多樣性。構(gòu)造法是數(shù)學(xué)中最富有活力和創(chuàng)造性的化歸方法之一，它很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸的思想，同時(shí)它也滲透了思維的廣泛性、深刻性和敏捷性。故在平時(shí)的教學(xué)中，努力創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行發(fā)散性思維，是促進(jìn)構(gòu)造法完成的催化劑。

在此題的教學(xué)中，教師“啟發(fā)生疑——鼓勵(lì)質(zhì)疑——引導(dǎo)解疑”，鼓勵(lì)學(xué)生通過(guò)一題多解進(jìn)行發(fā)散性思維訓(xùn)練，從而催化了學(xué)生進(jìn)行構(gòu)造性解題的思維火花，達(dá)到了解題的創(chuàng)造性。

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家波利亞曾說(shuō)過(guò)：“解題的成功要靠正確思路的選擇。”在構(gòu)造法的教學(xué)中，不僅要教給學(xué)生構(gòu)造什么，更重要的是要通過(guò)揭示構(gòu)造的思維方式教會(huì)學(xué)生如何去構(gòu)造，而要教會(huì)學(xué)生如何構(gòu)造，教師只有從源頭抓起，才能取到事半功倍的效果。