函數概念相關母題設計研究
——定義域、解析式、值域

江蘇省昆山市費俊龍中學 徐玉明

函數概念相關母題設計研究
——定義域、解析式、值域

江蘇省昆山市費俊龍中學 徐玉明

函數已經成為高考考查的重點內容，通過研習歷年高考試卷發現，函數相關試題基本可以歸納為定義域、值域以及解析式三大考點。如若在解題過程中，不能夠透過現象看本質，較易出現紕漏，進而與正確的答案失之交臂。函數定義并不復雜，但要理解清晰也確實存在一些難度，作為高考考查的重點內容，函數概念對應的相關考點還是存在一些難度的。筆者為了解決函數這一個重難點，從定義域、解析式、值域這三大考點出發，分別設計了函數母題，既能夠鍛煉和提高學生的解題能力，促使學生掌握技巧，還能夠鍛煉學生的數學邏輯。

一、求函數f（x）的定義域

從函數概念中可以看出，函數及其定義域存在密切的關系，是不可分割的，簡單來講就是每個函數都有其對應的定義域。因此，要想求得函數的解析式，不僅要求出變量間的對應法則，還要求出函數的定義域。通過分析歷年高考試卷發現，求函數定義域一般可以分為兩大類，具體為：

1.知函數解析式，求函數定義域

母型和方法：該類型題目在解決的過程中，必須要清晰函數解析式有意義需要滿足的條件，同時還要能夠意識到函數的定義域就是要滿足函數的解析式具有意義。函數解析式要具有意義，就必須要滿足七個方面：一是分式的分母不能夠為零；二是開偶次方根的被開方數不能夠為負數；三是對數函數的真數必須要為正數；四是指數、對數函數的底數必須大于0且不等于1；五是0的0次冪不具有意義；六是三角函數中的正切函數且 k∈Z），余切函數y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）；七是實際問題中變量（x）要具有實際意義等。

2.知一函數解析式，求另一函數定義域

例2 已知函數f（x）的定義域為[1，3]，那么函數f（2x-1）的定義域為 。

分析：根據函數概念可以知道，函數的定義域就是指函數自變量x的取值范圍。根據已知條件和函數的對應法則可以了解到：f（x）的定義域為[1，3]→1≤2x-1≤3，通過計算求得函數f（2x-1）的定義域為[1，2]。

母型與方法：已知簡單函數f（x）的定義域為[a，b]，求復合函數f[g（x）]的定義域。該類題目需要滿足的條件就是函數g（x）的自變量x在函數f（x）的定義域的取值范圍，就是復合函數f[g（x）]的定義域。

二、求函數f（x）的解析式

根據已知條件求取函數f（x）的解析式，是當今高考中的考點之一，因此必須要引起足夠的重視。求函數f（x）的解析式可以歸納為三大類，具體為：

1.已知函數類型且知函數圖像上的三個點

例3 已知函數f（x）的圖像為拋物線，且點（2，0）、（-2，0）、（4，0）在函數f（x）的圖像上，求函數f（x）的解析式。

母型與方法：通過已知條件，明確函數的特征，求取函數的解析式，一般會通過“待定系數法”求取。函數特征不同，圖像不同，要能夠根據圖像聯想到函數的特征，設定出函數的一般式，將相關參數代入即可。

2.已知復合函數解析式，求簡單函數解析式

例4 已知函數f（x-3）=x，求函數f（x）的解析式。

分析：該類題目解決的過程中，往往會運用換元法。設x-3=g，則x=g+3，故f（g）=x+3，即f（x）=x+3。

母型與方法：已知復合函數f[g（x）]的表達式，求簡單函數f（x）的解析式時，一般會選用換元法，偶爾也會運用到配湊法。這里就概述一下換元法。換元法的母題：令g（x）=t，求出x=h（t），之后代入就可以獲得函數f（x）的解析式。

3.已知函數f（x）滿足等式，且其為等式中的未知量

分析：分析題目發現只有一個已知條件，根本不足以解決問題。因此，必須要根據已知條件去構造其他條件。

母型與方法：如若已知函數f（x）滿足一個等式，且f（x）是該不等式中的未知量，且明確與其他未知量之間的關系，如f（x）、此時，就可以根據已知不等式，通過代換，構造另一個等式，從而得到一個方程組，就能夠獲得函數f（x）的解析式。

三、求函數f（x）的值域

值域是函數的三大元素之一，更是考試考查的重點內容。從函數特征來講，函數的種類具有多樣性的特點，導致求函數值域的試題數不勝數。筆者通過研究分析，從方法來講，求函數值域的方法有限，大致可以歸納為八種，分別為：直接法、配方法、換元法、反函數法、不等式法、判別式法、單調性法以及數形結合法。這里，就以“數形結合法”為例進行闡述。

分析：該類型題目看起來非常復雜，潛意識就會覺得難度大。從幾何意義上來講，根號可以看作是點到點的距離，在此基礎上，可知：f（x）表示點P（x，0）到點A（0，2）、點B（-1，-3）兩點之間的距離和，且點P位于x軸上任意一點。這樣一來，題目就轉化成為直線上任意一點到兩個頂點的距離的取值范圍。根據轉化題意，可以作出圖形，如圖1。

圖1 函數f（x）轉化后的圖形

母型與方法：面對具有明顯幾何特征的函數時，可以采用“數形結合法”求取函數的值域。該方法具有直觀、易懂的特點。

上述皆為與函數概念相關的函數母題，這里講述到的母題并不全面，而是一些高考中常常遇到且學生理解難度較大的。函數母題與函數學習有非常密切的關系，因此在日常的教學中，要認識到函數母題的重要性，加深學生對于母題的認識、理解，最好能夠實現靈活運用，從而取得良好的學習效果。

[1]鐘志敏，李士锜.高一學生函數對應關系的理解的研究[J].數學教育學報，2010（01）.

[2]衛德彬.函數概念難學的原因及教學對策[J].中學數學教學，2009（03）.