函數(shù)概念相關(guān)母題設(shè)計(jì)研究
——定義域、解析式、值域

江蘇省昆山市費(fèi)俊龍中學(xué) 徐玉明

函數(shù)概念相關(guān)母題設(shè)計(jì)研究
——定義域、解析式、值域

江蘇省昆山市費(fèi)俊龍中學(xué) 徐玉明

函數(shù)已經(jīng)成為高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，通過研習(xí)歷年高考試卷發(fā)現(xiàn)，函數(shù)相關(guān)試題基本可以歸納為定義域、值域以及解析式三大考點(diǎn)。如若在解題過程中，不能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，較易出現(xiàn)紕漏，進(jìn)而與正確的答案失之交臂。函數(shù)定義并不復(fù)雜，但要理解清晰也確實(shí)存在一些難度，作為高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，函數(shù)概念對(duì)應(yīng)的相關(guān)考點(diǎn)還是存在一些難度的。筆者為了解決函數(shù)這一個(gè)重難點(diǎn)，從定義域、解析式、值域這三大考點(diǎn)出發(fā)，分別設(shè)計(jì)了函數(shù)母題，既能夠鍛煉和提高學(xué)生的解題能力，促使學(xué)生掌握技巧，還能夠鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯。

一、求函數(shù)f（x）的定義域

從函數(shù)概念中可以看出，函數(shù)及其定義域存在密切的關(guān)系，是不可分割的，簡(jiǎn)單來講就是每個(gè)函數(shù)都有其對(duì)應(yīng)的定義域。因此，要想求得函數(shù)的解析式，不僅要求出變量間的對(duì)應(yīng)法則，還要求出函數(shù)的定義域。通過分析歷年高考試卷發(fā)現(xiàn)，求函數(shù)定義域一般可以分為兩大類，具體為：

1.知函數(shù)解析式，求函數(shù)定義域

母型和方法：該類型題目在解決的過程中，必須要清晰函數(shù)解析式有意義需要滿足的條件，同時(shí)還要能夠意識(shí)到函數(shù)的定義域就是要滿足函數(shù)的解析式具有意義。函數(shù)解析式要具有意義，就必須要滿足七個(gè)方面：一是分式的分母不能夠?yàn)榱悖欢情_偶次方根的被開方數(shù)不能夠?yàn)樨?fù)數(shù)；三是對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須要為正數(shù)；四是指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于0且不等于1；五是0的0次冪不具有意義；六是三角函數(shù)中的正切函數(shù)且 k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）；七是實(shí)際問題中變量（x）要具有實(shí)際意義等。

2.知一函數(shù)解析式，求另一函數(shù)定義域

例2 已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇1，3]，那么函數(shù)f（2x-1）的定義域?yàn)?。

分析：根據(jù)函數(shù)概念可以知道，函數(shù)的定義域就是指函數(shù)自變量x的取值范圍。根據(jù)已知條件和函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則可以了解到：f（x）的定義域?yàn)閇1，3]→1≤2x-1≤3，通過計(jì)算求得函數(shù)f（2x-1）的定義域?yàn)閇1，2]。

母型與方法：已知簡(jiǎn)單函數(shù)f（x）的定義域?yàn)閇a，b]，求復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的定義域。該類題目需要滿足的條件就是函數(shù)g（x）的自變量x在函數(shù)f（x）的定義域的取值范圍，就是復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的定義域。

二、求函數(shù)f（x）的解析式

根據(jù)已知條件求取函數(shù)f（x）的解析式，是當(dāng)今高考中的考點(diǎn)之一，因此必須要引起足夠的重視。求函數(shù)f（x）的解析式可以歸納為三大類，具體為：

1.已知函數(shù)類型且知函數(shù)圖像上的三個(gè)點(diǎn)

例3 已知函數(shù)f（x）的圖像為拋物線，且點(diǎn)（2，0）、（-2，0）、（4，0）在函數(shù)f（x）的圖像上，求函數(shù)f（x）的解析式。

母型與方法：通過已知條件，明確函數(shù)的特征，求取函數(shù)的解析式，一般會(huì)通過“待定系數(shù)法”求取。函數(shù)特征不同，圖像不同，要能夠根據(jù)圖像聯(lián)想到函數(shù)的特征，設(shè)定出函數(shù)的一般式，將相關(guān)參數(shù)代入即可。

2.已知復(fù)合函數(shù)解析式，求簡(jiǎn)單函數(shù)解析式

例4 已知函數(shù)f（x-3）=x，求函數(shù)f（x）的解析式。

分析：該類題目解決的過程中，往往會(huì)運(yùn)用換元法。設(shè)x-3=g，則x=g+3，故f（g）=x+3，即f（x）=x+3。

母型與方法：已知復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的表達(dá)式，求簡(jiǎn)單函數(shù)f（x）的解析式時(shí)，一般會(huì)選用換元法，偶爾也會(huì)運(yùn)用到配湊法。這里就概述一下?lián)Q元法。換元法的母題：令g（x）=t，求出x=h（t），之后代入就可以獲得函數(shù)f（x）的解析式。

3.已知函數(shù)f（x）滿足等式，且其為等式中的未知量

分析：分析題目發(fā)現(xiàn)只有一個(gè)已知條件，根本不足以解決問題。因此，必須要根據(jù)已知條件去構(gòu)造其他條件。

母型與方法：如若已知函數(shù)f（x）滿足一個(gè)等式，且f（x）是該不等式中的未知量，且明確與其他未知量之間的關(guān)系，如f（x）、此時(shí)，就可以根據(jù)已知不等式，通過代換，構(gòu)造另一個(gè)等式，從而得到一個(gè)方程組，就能夠獲得函數(shù)f（x）的解析式。

三、求函數(shù)f（x）的值域

值域是函數(shù)的三大元素之一，更是考試考查的重點(diǎn)內(nèi)容。從函數(shù)特征來講，函數(shù)的種類具有多樣性的特點(diǎn)，導(dǎo)致求函數(shù)值域的試題數(shù)不勝數(shù)。筆者通過研究分析，從方法來講，求函數(shù)值域的方法有限，大致可以歸納為八種，分別為：直接法、配方法、換元法、反函數(shù)法、不等式法、判別式法、單調(diào)性法以及數(shù)形結(jié)合法。這里，就以“數(shù)形結(jié)合法”為例進(jìn)行闡述。

分析：該類型題目看起來非常復(fù)雜，潛意識(shí)就會(huì)覺得難度大。從幾何意義上來講，根號(hào)可以看作是點(diǎn)到點(diǎn)的距離，在此基礎(chǔ)上，可知：f（x）表示點(diǎn)P（x，0）到點(diǎn)A（0，2）、點(diǎn)B（-1，-3）兩點(diǎn)之間的距離和，且點(diǎn)P位于x軸上任意一點(diǎn)。這樣一來，題目就轉(zhuǎn)化成為直線上任意一點(diǎn)到兩個(gè)頂點(diǎn)的距離的取值范圍。根據(jù)轉(zhuǎn)化題意，可以作出圖形，如圖1。

圖1 函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化后的圖形

母型與方法：面對(duì)具有明顯幾何特征的函數(shù)時(shí)，可以采用“數(shù)形結(jié)合法”求取函數(shù)的值域。該方法具有直觀、易懂的特點(diǎn)。

上述皆為與函數(shù)概念相關(guān)的函數(shù)母題，這里講述到的母題并不全面，而是一些高考中常常遇到且學(xué)生理解難度較大的。函數(shù)母題與函數(shù)學(xué)習(xí)有非常密切的關(guān)系，因此在日常的教學(xué)中，要認(rèn)識(shí)到函數(shù)母題的重要性，加深學(xué)生對(duì)于母題的認(rèn)識(shí)、理解，最好能夠?qū)崿F(xiàn)靈活運(yùn)用，從而取得良好的學(xué)習(xí)效果。

[1]鐘志敏，李士锜.高一學(xué)生函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的理解的研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2010（01）.

[2]衛(wèi)德彬.函數(shù)概念難學(xué)的原因及教學(xué)對(duì)策[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2009（03）.