例說軸對稱在解題中的妙用

重慶市魯能巴蜀中學校 杜星蘭

例說軸對稱在解題中的妙用

重慶市魯能巴蜀中學校 杜星蘭

本文研究的主要目標就是應用軸對稱理論嘗試解題，并從中發現軸對稱解題存在的實踐意義，讓學生更好地掌握科學的解題方法，并沿用到生活當中。

軸對稱；解題；妙用

伴隨時代的不斷發展以及社會文明的不斷進步，人們越來越重視教育工作的質量升級目標，通過科學的學習方式能夠培養學生更加優秀的綜合能力。因此，本文就針對軸對稱的解題思路進行分析，希望能夠讓學生掌握更為靈活的解題思維。

一、選擇最優路線問題

采取軸對稱的方式在解題的過程中充分應用，能夠滿足實際的解題需求，即應用翻折變換的方式勾畫基礎途徑，進而獲得解題思路，從而得到答案。本次研究首先從選擇最優路線的解題用法入手，從中體會解題應用軸對稱的妙處。

例1 如圖1所示，瓜農從A處去挑水，然后回到B處，A處為瓜農的家，B處是瓜棚的位置，嘗試尋找在什么位置取水能夠走最短的路程？解題：尋找A點關于直線CD的翻折變換對稱點A1，選擇連接A1B與直線CD交于點M。根據題目給出的信息進行解題，理順對稱軸的性質能夠得知，AM=A1M。因為AM+BM=A1M+BM=A1B，因此獲得兩點之間的直線最短。所以，點M為本題答案。

圖1

例2 根據圖2理解，兩條道路之間形成的夾角α＜90°。在兩條道路之間存在一個汽油儲存地點，該地點表示為P。如果希望在兩條道路上都設置一個加油站，應當能選擇的位置是哪里？要求能夠將兩個加油站設置在與汽油儲存地點分別達到比較近的位置，即從汽油儲存位置到一個加油站，再到另一個加油站后回到原點的距離最近。嘗試分析這樣的題目，就是把生活中實際存在的問題轉化為數學理論。即已知條件為∠ABC和∠ABC內的P點，∠ABC為α，且α＜90°，在射線BA和BC的線路中尋找符合要求的Q點、R點，促使折線(PQ+QR+RP)后得到的線路長度最短。這樣的方式說明，如果解題過程中應用軸對稱中的翻折變換方式，就能夠從P點找到BA和BC的軸對稱點，即P1，P2，然后就能夠為找尋最短路徑的問題找到解題方案。具體解題方案就是，在BA和BC兩側找到關于P點的對稱點，分別是P1，P2，并連接P1，P2，與BA、BC交于點Q和點R，最終獲得的點Q、點R就是答案。

圖2

二、臺球運動反射原理

臺球運動在固定的桌面范疇內，存在不同的球位置，因此能夠促成非常有趣的數學題目，應用軸對稱的翻轉變換方式進行解題，可以獲得很多科學的思路，進而滿足數學教學的實際需求。如圖3所示，在矩形的臺球桌中存在C，D，E，F四個點，其中A、B分別表示黑色球和白色球，假使通過球桿擊打黑色球，就能夠在黑色球達到桌邊時碰撞EF線，然后反彈回去恰好擊中白色球，希望達成這樣的擊打線路，應當如何控制黑色球的運動軌跡路線？為了能夠解答這道題目，第一步需要在臺球桌的線路內尋找能夠反彈球的線路及其規律，將A球擊打到臺球桌面的EF射線上，就會遇到M點，進而通過反彈可以滿足集中B球的要求，MN就是EF的垂線，∠AMN和∠BMN分別稱之為入射角和反射角。了解并掌握自然反射中存在的規律信息，就能夠發現，假如光線從A的角度射入，然后通過鏡面的操作呈現出M反射就會到達B點。∠AMN與∠BMN是相等的，這也是反射原理的內容，而出現在M點的角度也是最佳的反射點，首先，通過延長BM獲得A1，進而能夠得到MA1=MA，并且可以發現A在EF右側存在對稱點，即A1，連接A,B與EF交于M點，即M是最優點。其次，在EF上存在的任意一個點再到A、B點上的距離之和，都顯示AM+MB為最短線路。

圖3

三、幾何證明題中的應用

利用軸對稱和翻轉變換的理論能夠在幾何證明題中充分應用，并輔助得到良好的題目解答方案。在幾何圖形中，非常常見的圖形都是由線、角組成的，其中包含等腰三角形等。為了能夠證明幾何題目中才能存在的對稱關系，就需要根據翻折變換的方式將不對稱的圖形轉變為軸對稱圖形，進而達成解題證明的需求。如圖4所示，△ABC是等邊三角形，將線段BA延長到E，再將線段BC延長到D，使AE與BD相等，然后連接CE和DE，求證CE=DE。嘗試分析，假如CE=DE，那么在CD的中垂線兩側存在對稱的線段關系，根據這一原則進行圖形的補充，采取翻折變換的方式能夠補全圖形，最終延長BD到 F，其中DF=BC，補充一個軸對稱的圖形，就能夠獲得等邊三角形EBF，通過證明△EBC≌△EFD即可獲得證明結果。

圖4

通過切實有效的分析、探討和總結能夠發現，在數學教學過程當中，應當重視對學生感性認知的調節，滿足學生自身對實踐學習的要求，讓學生在解題的過程中，通過自己的操作實現對軸對稱理論的理解，進而能夠讓學生在翻轉變換的過程中體驗相關的信息，進而借助自身學習到的理論實現對生活中存在問題的解答，從而讓學生在大腦思維中構建數學思維模式，讓學生更好地將學習到的數學知識應用到生活當中。

[1]李志英.初中生關于軸對稱知識理解的研究[D].河北師范大學，2014.

[2]陳丞.對初二學生解決軸對稱圖形問題的研究[D].蘇州大學，2014.

[3]王連東.軸對稱塑性變形問題的廣義滑移線方程推導[J].燕山大學學報，2000（03）：250-253.