基于Lebesgue積分意義下的積分中值定理

楊立星

【摘要】積分中值定理在高等數學的理論研究中占有非常重要的地位.本文中，首先給出了定理中的參數“ξ”可以存在于開區間的證明；此外，在Lebesgue積分意義下，給出了二重積分的積分中值定理的證明.

【關鍵詞】Lebesgue積分；積分中值定理；介值定理

一、理論背景

在大多數高等數學教材中，定積分的積分中值定理如下：

定理1f（x）∈C（[a，b]），則ξ∈[a，b]，使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

在定理中，參數ξ∈[a，b]，利用微分中值定理，可將參數ξ縮小至開區間（a，b），有下面定理：

定理1′f（x）∈C（[a，b]），則ξ∈（a，b），使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

證明因為f（x）∈C（[a，b]），所以f（x）在區間[a，b]上存在原函數F（x），即F′（x）=f（x），且F（x）∈C（[a，b]）.

由Lagrange中值定理：存在ξ∈（a，b），使得

F（b）-F（a）=F′（ξ）（b-a）.

又因為∫baf（x）dx=F（b）-F（a），F′（ξ）=f（ξ），代入上式，則可得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

顯然，此處ξ∈（a，b）.顯然定理1′是定理1的改進.

此外，在一般數學分析教材中，積分中值定理敘述如下：若函數f（x）在[a，b]連續，函數g（x）在[a，b]可積且不變號，則ξ∈[a，b]，

∫baf（x）g（x）dx=f（ξ）∫bag（x）dx.

特別地，若g（x）≡1，則結論變成∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.利用介值定理，可得到參數ξ可縮減到開區間（a，b）.

二、Lebesgue積分意義的積分中值定理

類似地，我們有如下的二重積分中值定理：

定理2二元函數f（x，y）在有解閉區域D連續，二元函數g（x，y）在D上可積且不變號，則（ξ，η）∈D，使

Df（x，y）g（x，y）dxdy=f（ξ，η）Dg（x，y）dxdy.

眾所周知，Lebesgue積分是普通積分（Riemann積分）的推廣，而Lebesgue積分具有Riemann積分的一些好的性質，下面定理給出了Lebesgue積分意義下的積分中值定理及其證明.

定理3設D是二維平面上一個連通的有界閉區域或有限個不相交的連通有界閉區域的并，且m（D）=0，f：DR2→R在D內具有介值性且Lebesgue可積；g：DR2→R在D Lebesgue可積，且g（x，y）≥0 a.e.于D，則（ξ，η）∈D·，使得∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

證明由介值性：m≤f（x，y）≤M，

又g（x，y）≥0 a.e.于D，所以

mg（x，y）≤f（x，y）g（x，y）≤Mg（x，y） a.e.于D.

所以，對上述不等式取Lebesgue積分：

m∫Dg（x，y）dσ≤∫Df（x，y）g（x，y）dσ≤M∫Dg（x，y）dσ.

（1）若∫Dg（x，y）dσ=0，有∫Df（x，y）g（x，y）dσ=0，此時，任取（ξ，η）∈D·結論成立.

（2）若∫Dg（x，y）dσ>0，設c0=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，則m≤c0≤M.

當m

當c0=m或c0=M時，不妨假設c0=M，

因為g（x，y）≥0 a.e.于D，

所以[f（x，y）-c0]g（x，y）≤0 a.e.于D，

又因為c0=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，

所以∫D[f（x，y）-c0]g（x，y）dσ=0，

所以[f（x，y）-c0]g（x，y）=0 a.e.于D.

設D=∪si=1Di，其中Di是彼此不相交的連通有界閉域，所以，∫Dg（x，y）dσ=∑si=1∫Dig（x，y）dσ>0.

所以，Di，使得∫Dig（x，y）dσ>0，所以存在可測的子集D*iDi，且m（D*i）>0，（x，y）∈D*i，有g（x，y）>0.又因為[f（x，y）-c0]g（x，y）=0 a.e.于D*i，所以f（x，y）-c0=0 a.e.于D*i，所以（ξ，η）∈D*iD·，使得f（ξ，η）-c0=0即f（ξ，η）=c0，f（ξ，η）=∫Df（x，y）g（x，y）dσ∫Dg（x，y）dσ，

所以∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

結論成立.

綜上，定理得證.

三、實例

例如，f（x，y）=x+1，0≤x≤1，0≤y≤1，

-x+2，1

區域D為兩個閉區域的并，函數f（x，y）在D上Lebesgue可積，所以（ξ，η）∈D·，使得

∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ.

事實上，∫Df（x，y）dσ=2，取（ξ，η）=0，12，顯然，∫Df（x，y）g（x，y）dσ=f（ξ，η）∫Dg（x，y）dσ=f0，12·D的面積.定理3成立.

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