復合Poisson下m重風險模型

王鶴婷

【摘要】本文將復合Poisson分布下單一險種的風險模型推廣為多險種同時發生的一個風險模型.模型中，保費收入是一個常數，m重險種在同一時刻發生索賠，索賠過程為復合Poisson過程.

【關鍵詞】破產概率；鞅論；調節系數；復合Poisson過程

一、引言

精算是使保險行業合理運行的數學運算，并且是正常運行的數學基礎.它基于概率理論和數學統計，結合人口、社會、經濟等相關科學，評估風險事件，評估各種經濟安全方案的未來財政收支和債務水平.基于穩定的財政發展，風險理論[1-5]作為精算數學的一部分是目前精算學和數學研究的熱點話題.本文將經典復合Poisson風險模型推廣到多險種同時發生賠付的一個模型.最后得出m重風險下的破產概率的具體表達式[6-8].

二、概念與模型

設（Ω，F，P）為一完備概率空間，并且u≥0，c>0.以下對象均假設定義在這個完備概率空間上，有

U（t）=u+ct-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i，t≥0，（1）

S（t）=ct-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i，t≥0.（2）

i=1，2，…；j=1，2，…，m，其中，

① Y（j）={Y（j）i，i=1，2，…}，j=1，2，…，m是取值于[0，∞）上的獨立同分布隨機變量；

② Nj={Nj（t）；t≥0}，j=1，2，…，m是參數為αj>0的Poisson過程；

③ 假定Y（j），Nj互相獨立，則過程{U（t）；t≥0}稱為復合Poisson分布下m重風險模型，過程{S（t）；t≥0}為盈利過程.

為保證保險公司的穩定經營，假定E[S（t）]>0，因為E[S（t）]=Ect-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i=ct-∑mj=1αjμt>0.所以ct>∑mj=1αjμt，c>∑mj=1αjμ，所以c=（1+θ）∑mj=1αjμ，即c>∑mj=1αjμ，其中，μ=[-Y（j）i]<∞表示單位時間內保費高于每年支付額.定義安全負荷系數為θ=c∑mj=1αjμ-1>0，破產時刻T=inft>0{t；U（t）<0}，最終的破產概率為φ（u）=P{T<+∞|U（0）=u}，則生存概率為φ=1-φ（u）.

三、引理

引理1盈利過程（2）是右連續的隨機過程，且滿足下面的這些性質：

① E[S（t）]=ct-∑mj=1αjμt.

② 過程具有平穩獨立增量.

證明根據隨機概率方面的知識有：

① E[S（t）]=Ect-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i

=E[ct]-E∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i

=ct-∑mj=1∑∞k=0P{Nj（t）

=k}∑ki=1（EY（j）i）

=ct-∑mj=1∑∞k=0（αjt）kk！e-αjt∑ki=1μ

=ct-∑mj=1kμ∑∞k=0（αjt）kk！e-αjt=ct-∑mj=1αjμt.

② 令X（t）=∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i，對任意0

S（t1）=ct1-X（t1），

S（t2）-S（t1）=c（t2-t1）-[X（t2）-X（t1）]，

…

S（tn）-S（tn-1）=c（tn-tn-1）-[X（tn）-X（tn-1）].

顯然，上式均是互相獨立的.

對于任意t>0，s>0，有

S（t+s）-S（t）=[c（t+s）-X（t+s）]-[ct-X（t）]=cs-[X（t+s）-X（t）].

因為Y（j）={Y（j）i，i=1，2，…}，j=1，2，…，m具有相同的分布函數，所以

X（t+s）-X（t）=∑mj=1∑Nj（t+s）i=1Y（j）i-∑mj=1∑Nj（t）i=1Y（j）i

=∑mj=1∑Nj（t+s）i=1Y（j）i-∑Nj（t）i=1Y（j）i

=∑mj=1∑Nj（s）i=1Y（j）i=X（s）.

即X（t+s）-X（t）與X（s）具有相同的分布，故而S（t+s）-S（t）與S（s）具有相同的分布，所以{S（t）；t≥0}具有平穩獨立增量.

證畢.

引理2復合Poisson過程X（t）=∑Nj（t）i=1Y（j）i的矩母函數為

φY（j）i（r）=exp{αjt[φY（j）i（r）-1]}.

引理3對復合Poisson分布下m重風險，存在g（r）使得

E[exp{-rs（t）}]=exp{tg（t）}.

其中，g（r）=-cr-∑mj=1αjt[φY（j）i（r）-1]，

E[exp{-rs（t）}]=exp{tg（t）}.

引理4方程g（r）=0存在唯一正解，稱為調節系數，記為R.

證明已知g（r）=-cr-∑mj=1αjt[φY（j）i（r）-1]，則有

dg（r）g（r）=-c+α1∫+∞0xe-rxdFY（1）（x）+

α2∫+∞0xe-rxdFY（2）（x）+…+αm∫+∞0xe-rxdFY（m）（x），