整式形式的分式函數求不定積分的方法探討

李濤

【摘要】本文針對整式分式函數積分問題概括了五種特殊的積分方法，熟練掌握和應用這五種方法對于解決這類分式函數的不定積分問題非常方便快捷，從而有利于進一步拓寬思路，大大提高不定積分的運算能力.

【關鍵詞】整式分式函數；不定積分；方法

一、引言

不定積分是高等數學教材的一個重要知識點，整式分式函數求不定積分是微積分知識中的一個重點也是一個難點問題，在整式分式形式各異時，求不定積分的方法也不盡相同，很多學生在遇到求整式分式形式的函數不定積分時，不知該用哪種方法來解答，甚至不知如何入手.本文從分子、分母的特點出發，對整式分式形式函數求不定積分的方法進行了分類和總結.

二、方法分類

設f（x），g（x）為關于x的整式函數，下面對于計算不定積分∫f（x）g（x）dx時，常見情況進行分類討論.

（1）當分子f（x）為多項式，分母g（x）為單項式時，直接拆項（用f（x）每一項除以f（x）），對每一項使用基本積分公式進行積分.

例1∫x3+2x2+3x+33x2dx=∫x3+23+1x+1x2dx

=x26+23x+ln|x|-1x+C.

（2）當分子f（x）為常數C，分母g（x）為不可因式分解的二次多項式時，把分母g（x）化簡為“完全平方公式+正數”的形式（分母g（x）已經是“平方形式+正數”時，無須化簡），然后使用直接積分法積分.

例2∫13x2+2dx=12∫132x2+1dx

=66arctan62x+C.

例3∫1x2-6x+13dx=∫1（x-3）2+4dx

=12arctanx-32+C.

（3）當分子f（x）為多項式或單項式，分母g（x）為可因式分解的二次多項式時，把分母g（x）因式分解后，拆項（拆成加法或者減法形式），然后對每一項進行積分.

例4（平方差公式型，拆成減法）

∫14x2-1dx=∫1（2x+1）（2x-1）dx

=12∫12x-1-12x+1dx

=14ln|2x-1|-14ln|2x+1|+C.

例5（十字相乘型，拆成減法）

∫1x2-3x+2dx=∫1（x-1）（x-2）dx

=∫1x-2-1x-1dx=ln|x-2|-ln|x-1|+C.

例6（十字相乘型，拆成加法）

∫2x-3x2-3x+2dx=∫2x-3（x-1）（x-2）dx

=∫1x-1+1x-2dx=ln|x-1|+ln|x-2|+C.

（4）當分子f（x）可湊成分母g（x）或g（x）中的乘積因子時，把分子f（x）先加上（減去）一個因子（可以是常數因子也可以是函數因子）配成g（x）或g（x）中的那部分乘積因子，而后減去（加上）一個相同因子，然后拆項，再積分.

例7（加上（減去）常數因子）

∫x23（1+x2）dx=∫x2+1-13（1+x2）dx

=∫x2+13（1+x2）-13（1+x2）dx=13x-13arctanx+C.

例8（加上（減去）函數因子）

∫1x6（1+x2）dx=∫1+x2-x2x6（1+x2）dx

=∫x2+1x6（1+x2）-x2x6（1+x2）dx

=-15x5-∫1+x2-x2x4（1+x2）dx=-15x5+13x3-1x-arctanx+C.

（5）當分子f（x）可湊成分母g（x）的微分，或者分子f（x）的一部分可湊成分母g（x）的微分時，湊完后積分，或者湊完拆項后積分.

例9∫2x+2x2+2x+2dx=∫1x2+2x+2d（x2+2x+2）

=ln|x2+2x+2|+C.

例10∫2x-1x2+2x+2dx=∫（2x+2）-3x2+2x+2dx

=ln|x2+2x+2|-3arctan（x+1）+C.

三、結語

對于形式為整式的分式函數求不定積分，應用這些方法可以順利地、快速地、準確地計算出函數的積分來，但是一定要具體問題具體分析，根據分子、分母情況的特點來選擇合適的方法，應多練習以求熟能生巧，更應注重方法和方法的結合.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007：23-31.

[2]周志燕，程黃金.高等數學[M].沈陽：東北大學出版社，2014：11-15.