高三幾何概型復(fù)習(xí)面面觀

李琳

【摘要】概率是高考中的必考題型，在高考中的重要地位是眾所周知的，作為幾何概型，考試中常常以選擇題或填空題的形式考查，很多同學(xué)因?yàn)闆](méi)有全面掌握或沒(méi)有牢固地掌握這個(gè)知識(shí)點(diǎn)而導(dǎo)致考試中扣分.為此，對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行全面的復(fù)習(xí)是非常有必要的.下面我們將幾何概型里面幾種常考的題型總結(jié)一下.

【關(guān)鍵詞】高考；概率；幾何概型；無(wú)限性；等可能性

概念復(fù)習(xí)：幾何概型

如果事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，而與A的形狀和位置無(wú)關(guān)，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱幾何概型.

幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)：

一是無(wú)限性，即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無(wú)限的；二是等可能性，即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的.因此，用幾何概型求解的概率問(wèn)題和古典概型的思路是相同的，同屬于“比例解法”.即隨機(jī)事件A的概率可以用“事件A包含的基本事件所占的圖形面積（體積、長(zhǎng)度）”與“試驗(yàn)的基本事件所占的總面積（體積、長(zhǎng)度）”之比來(lái)表示.

P（A）=構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（體積或面積）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（體積或面積）.

（2）如圖1所示，在△ABC中，∠B=60°，∠C=45°，高AD=3，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，則BM<1的概率.

分析（1）這個(gè)題目相對(duì)較簡(jiǎn)單，總的事件數(shù)是在[0，π]上任取一個(gè)數(shù)的結(jié)果，有無(wú)數(shù)個(gè)，所以用長(zhǎng)度度量.sinx>12可得x∈π6，5π6，長(zhǎng)度為2π3，所以本小題的答案是23.

（2）這是個(gè)典型的易錯(cuò)題.常見(jiàn)解法如下：

∵∠B=60°，∠C=45°，AD=3，∴BD=1，DC=3，∴P（BM<1）=11+3=3-12.

在學(xué)生的解答過(guò)程當(dāng)中，絕大部分同學(xué)是按上面方法算的，而且還想不明白為什么是錯(cuò)的.下面先看正確的解法：

解∵∠B=60°，∠C=45°，AD=3，∴BD=1，∠BAC=75°，∴P（BM<1）=30°75°=25.

好像兩種解法都很有道理，但是結(jié)果卻不一樣！問(wèn)題到底出在哪里呢？讓我們回到題目上來(lái)，題目是要求在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點(diǎn)M，也就是說(shuō)點(diǎn)M是在∠BAC內(nèi)作射線與BC相交產(chǎn)生的，是先有射線再產(chǎn)生點(diǎn)M，而不是直接到BC上去取點(diǎn)M，這個(gè)事件是找符合條件的射線，不是找符合條件的點(diǎn).所以解題的時(shí)候就是從角的度量區(qū)域出發(fā)，而不是從線段長(zhǎng)度的區(qū)域出發(fā).

題型二：與面積有關(guān)的幾何概型

例2（1）如圖2所示，矩形OABC內(nèi)是y=sinx，x∈（0，π）的一部分，AB=3，向矩形內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，求落在陰影部分內(nèi)的概率為.

（2）甲、乙兩艘輪船都要在某個(gè)泊位停靠6小時(shí)，假定它們?cè)谝粫円沟臅r(shí)間段中隨機(jī)地到達(dá)，試求這兩艘船中至少有一艘在停靠泊位時(shí)必須等待的概率.

解這是常規(guī)題型，難度不大，如下解.

（1）由題知，矩形的面積是3π，陰影部分的面積是∫π0sinxdx=2.所求概率為陰影部分面積與矩形的面積之比即P=23π.

（2）設(shè)甲到達(dá)的時(shí)間為x，乙到達(dá)的時(shí)間為y，則0

題型三：與體積有關(guān)的幾何概型

例3（1）如圖4所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)O為底面ABCD的中心，在正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1的概率.

（2）如圖5所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1內(nèi)（含正方體表面）任取一點(diǎn)M，則AA1·AM≤1的概率.

解（1）正方體的體積為2×2×2=8，以O(shè)為球心，1為半徑且在正方體內(nèi)部的半球的體積為12×43πr3=12×43πr3=23π，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1的概率為23π8=π12.

（2）由向量數(shù)量積的幾何意義知：AM·AA1可以表示向量AM在向量AA1上的投影與|AA1|的乘積，所以AM·AA1≤1，即表示向量AM在向量AA1上的投影小于等于12，因此，M落在與平面ABCD平行且與ABCD距離為12的平面A′B′C′D′和平面ABCD所夾的長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖6所示.

∴P（A）=2×2×122×2×2=14.

小結(jié)求幾何概型主要有“線型”“面積型”“體積型”三種典型的題型.我們?cè)诮忸}時(shí)，首先，要理解好題意，審題要仔細(xì)，判斷是哪種幾何概型，然后，去求相應(yīng)的比值得出概率.幾何概型主要是考查數(shù)形結(jié)合思想和邏輯思維能力.另外，我們也可以看出，在高三的復(fù)習(xí)中，我們也要注重基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用.