超越函數圖像非對稱性問題的常用結論及其應用

胡意榮

近年來在高考和各地模擬考中對于超越函數的圖像非對稱性問題的考查比較深入，經常以壓軸題的形式出現，難度很大，令很多考生無從下手.針對這種題型，我們可以借鑒二次函數的對稱性，把這些圖像不對稱的函數問題轉化到極點同側的等價問題來解決.這種數學思想方法可以讓考生找到明確方向，并體驗到成功的喜悅.

一、兩個結論

我們熟知一個平常結論：如果二次函數f（x）=ax2+bx+c的圖像以直線x=x0為對稱軸，且f（x1）=f（x2），那么x1+x2=2x0.

注意x=x0是該二次函數f（x）的最值點，而對于超越函數有何相應結論呢？

定理1如果函數f（x）在（m，x0]上遞增，在[x0，n）上遞減，且f（x1）=f（x2），（其中x1

（1）x1+x2>2x0f（2x0-x1）>f（x1）f（2x0-x2）

（2）x1+x2<2x0f（2x0-x1）f（x2）.

定理2如果函數f（x）在（m，x0]上遞減，在[x0，n）上遞增，且f（x1）=f（x2），（其中x1

（1）x1+x2>2x0f（2x0-x1）f（x2）；

（2）x1+x2<2x0f（2x0-x1）>f（x1）f（2x0-x2）

注意，定理1、定理2中的條件都分別出現兩個半開半閉區間（m，x0]，[x0，n），其實依次替換成[m，x0]，[x0，n]，或者（m，x0]，[x0，n]，或者[m，x0]，[x0，n），也都是可以的.

二、應用舉例

上述兩個定理可應用于符合條件的任何函數，而應用于超越函數卻具有很強的針對性.

例1（2010年天津高考數學理科第21題）已知函數f（x）=x·e-x（x∈R）.

（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；

（Ⅱ）已知函數y=g（x）的圖像與函數y=f（x）的圖像關于直線x=1對稱，證明當x>1時，f（x）>g（x）；

（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明x1+x2>2.

說明第（Ⅰ）、（Ⅱ）小題比較簡單，略解.第（Ⅲ）問即為超越函數非對稱性的問題，常規解法的思路彎繞，下面給出流暢解答.

解（Ⅲ）求導數得，f′（x）=e-x（1-x）.

令f′（x）=0，解得x=1，由此記x0=1.易知，函數f（x）在（-∞，1]上遞增，在[1，+∞）上遞減.由于x1≠x2且f（x1）=f（x2），則不妨設x1<1

運用定理1知，欲證明目標式x1+x2>2，只要證f（2x0-x1）>f（x1），

即只要證f（2-x1）>f（x1），

即只要證（2-x1）ex1-2>x1e-x1，

即只要證（2-x1）ex1-2-x1e-x1>0.

由此令h（x）=（2-x）ex-2-xe-x（x≤1），

則導數h′（x）=（x-1）（e-x-ex-2）=（x-1）e-x（1-e2x-2）<0（x<1），

則h（x）在（-∞，1]上遞減.

又因為x1<1，則h（x1）>h（1）=0，

即（2-x1）ex1-2-x1e-x1>0，故原結論正確.證畢.

評注：此外，用分析法轉化為論證不等式（2-x2）ex2-2-x2e-x2<0也是可行的.

例2（2016年全國新課標卷Ⅰ理科第21題）已知函數f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）設x1，x2是f（x）的兩個零點，證明x1+x2<2.

說明本題滿分12分，根據2016年廣東高考年報顯示，廣東考生本題得分的平均分僅為0.6分，難度系數為005，可見此題的難度之大，下面給出詳解第（Ⅱ）小題.

解（1）a的取值范圍為（0，+∞）.

（Ⅱ）求導數得

f′（x）=ex+（x-2）ex+2a（x-1）

=ex（x-1）+2a（x-1）

=（x-1）（ex+2a）（已求a>0），

則f（x）在（-∞，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增.

又因為f（x1）=0=f（x2），則不妨取x1<1

根據定理2，欲證明目標式x1+x2<2，

即只要證f（2-x2）

即只要證（2-x2-2）e2-x2+a（2-x2-1）2<0，

即只要證x2e2-x2-a（1-x2）2>0.

又因為0=f（x2）=（x2-2）ex2+a（x2-1）2，

則只要證x2e2-x2-（2-x2）ex2（x2-1）2（1-x2）2>0，

則只要證x2e2-x2+（x2-2）ex2>0.

由此令g（x）=xe2-x+（x-2）ex（x≥1），

則當x>1時導數g′（x）=（x-1）（ex-e2-x）>0，

則函數g（x）在區間[1，+∞）上遞增.

又因為x2>1，則g（x）>g（1）=0，

即x2e2-x2+（x2-2）ex2>0，故原結論正確.證畢.

評注：此例雖然與例1是一脈相承的，但在運用分析法的環節中卻增加了代入一個參數a=（2-x2）ex2（x2-1）2，這就增強了對學生的能力考查.

限于篇幅，不再舉例，最后提供一道附加題，供讀者練習.

已知f（x）=lnx-ax，a∈R.

（Ⅰ）若函數f（x）在x∈（1，+∞）上單調遞減，求實數a的取值范圍；

（Ⅱ）當a=1時，g（x）=f（x）+x+12x-m有兩個零點x11.