數(shù)學(xué)建模思想在解高考數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用探究

歐陽群壯

【摘要】數(shù)學(xué)建模是“普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂”提出來的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，近幾年高考數(shù)學(xué)試題非常重視數(shù)學(xué)建模思想的考查，本文以高考數(shù)學(xué)真題為載體，從函數(shù)等五大數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用進(jìn)行探究.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模高考數(shù)學(xué)題；探究

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修訂）》提出我國(guó)中學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，應(yīng)培養(yǎng)好六大核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)建模就是其中的六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，它是運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、方法和知識(shí)解決實(shí)際問題的過程，把現(xiàn)實(shí)世界的原型問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象與提煉，用數(shù)字、符號(hào)或圖形表格等建立數(shù)學(xué)模型，繼而應(yīng)用數(shù)學(xué)工具、方法求出數(shù)學(xué)模型的解，進(jìn)而還原為實(shí)際問題的解，并與原型問題進(jìn)行對(duì)照修改、深化、擴(kuò)展，再尋求更優(yōu)化的解答.近幾年高考相當(dāng)重視數(shù)學(xué)建模思想的考查，下面以高考數(shù)學(xué)題為載體進(jìn)行探究.

一、函數(shù)模型

挖掘數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的隱含條件，建立目標(biāo)函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型求解.

例1（2016年四川卷）某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）.

（參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）

A.2018年

B.2019年

C.2020年

D.2021年

解析設(shè)2015年后的第n年，該公司全年投入的研發(fā)資金為y，由題意有y=130（1+12%）n，又y>200，得1.12n>2013，兩邊取對(duì)數(shù)，得n>lg2-lg1.3lg1.12≈195，所以n≥4，選B.

點(diǎn)評(píng)：本題是指數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際生活中的應(yīng)用，考查了在實(shí)際問題中提取數(shù)量關(guān)系、建立數(shù)學(xué)模型，在不等式的求解過程中，考查了數(shù)據(jù)處理和運(yùn)算求解能力.

二、線性規(guī)劃模型

線性規(guī)劃是輔助人們進(jìn)行科學(xué)管理的一種數(shù)學(xué)方法，在經(jīng)濟(jì)管理、交通運(yùn)輸、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)等經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中有著廣泛的應(yīng)用.在高考數(shù)學(xué)試題中，有關(guān)線性規(guī)劃的應(yīng)用與求解是熱點(diǎn)與難點(diǎn)，主要有遷移線性規(guī)劃思想求函數(shù)的最值問題、通過二元一次不等式組表示的平面區(qū)域來確定實(shí)際問題的最優(yōu)解等數(shù)學(xué)模型.

例2（2016年全國(guó)Ⅰ卷）某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料.生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5個(gè)工時(shí)；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3個(gè)工時(shí)，生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤(rùn)為2 100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤(rùn)為900元.該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150 kg，乙材料90 kg，則在不超過600個(gè)工時(shí)的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤(rùn)之和的最大值為多少元？

解析設(shè)生產(chǎn)產(chǎn)品A，產(chǎn)品B分別為x，y件，利潤(rùn)之和為z元，那么，

1.5x+0.5y≤150，x+0.3y≤90，5x+3y≤600，x≥0，x∈N+，y≥0，y∈N+.

目標(biāo)函數(shù)為z=2 100x+900y.作出二元一次不等式組的平面區(qū)域（如圖所示），即可行域?yàn)閳D中的陰影部分，包括邊界內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)，圖中陰影四邊形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（60，100），（0，200），（0，0），（90，0），當(dāng)直線z=2 100x+900y經(jīng)過點(diǎn)（60，100）時(shí)，z取得最大值216 000元.

點(diǎn)評(píng)：試題以工業(yè)生產(chǎn)中的現(xiàn)實(shí)問題為載體，考查線性規(guī)劃最優(yōu)解的模型，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)建模、分析解決問題和運(yùn)算求解能力的考查，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想和方法要求較高.

三、排列組合模型

排列組合應(yīng)用問題蘊(yùn)含著許多豐富的數(shù)學(xué)思想和方法.其因內(nèi)容的抽象、思維的獨(dú)特、解題方法的特殊性而成為高考數(shù)學(xué)科命題的一個(gè)熱點(diǎn)和考點(diǎn)，若能認(rèn)真理解題意，抽象出其中的數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建“排位置”“投球入盒”“抓球”“填格子”等幾種數(shù)學(xué)模型來求解，則可簡(jiǎn)捷、巧妙地解決.

例3（2013年全國(guó)卷）6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有種.（用數(shù)字作答）

解析本題屬有條件的“排位置”模型，可用直接法或間接法求解.

思路1：先排甲、乙共有10A22=20（種）排法，再排其余的4個(gè)人，有A44=24（種）排法，據(jù)分步法原理，可知所求共有20×24=480（種）.

思路2：用間接法.6個(gè)人排成一行的排法總數(shù)為A66=720（種），其中甲、乙兩人相鄰的排法數(shù)為2A55=240（種），所以6個(gè)人排成一行，其中甲、乙兩人不相鄰的不同排法共有720-240=480（種）.

點(diǎn)評(píng)：試題以生活中的真實(shí)情境為素材，考查考生運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，解決實(shí)際問題的能力，在運(yùn)算過程中應(yīng)合理應(yīng)用排列組合公式優(yōu)化運(yùn)算，引導(dǎo)考生關(guān)心身邊的數(shù)學(xué)問題、發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

四、立體幾何模型

新課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出教師可借助幾何模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面的位置關(guān)系的定義，并了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.在高考中常考的模型有柱體、錐體和臺(tái)體，因此，教師應(yīng)靈活運(yùn)用模型化，處理立體幾何知識(shí)及生活中與幾何圖形有關(guān)的應(yīng)用問題，幫助學(xué)生找到解題突破口，把問題化難為易.

例4（2015年全國(guó)Ⅱ卷）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有（）.

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

解析因?yàn)槊锥褳橐粋€(gè)圓錐的四分之一，由米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，可知圓錐底面圓的四分之一圓周長(zhǎng)為8尺，從而可得米堆的底面半徑R=16π尺.又圓錐的高為5尺，可算得米堆的體積為V=3203π立方尺，所以可估算出米堆約有22斛，選擇B.

點(diǎn)評(píng)：試題以《九章算術(shù)》中的問題為背景，傳承了中國(guó)文化，考查了考生的應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模思想.根據(jù)米堆形狀和所給條件，建立立體幾何模型，計(jì)算出堆放米的體積，著重考查考生空間想象、邏輯推理、運(yùn)算、應(yīng)用和估算能力，體現(xiàn)了新一輪高中課程改革的要求.

五、概率統(tǒng)計(jì)模型

在近幾年的全國(guó)和各省市高考試題中，“概率與統(tǒng)計(jì)”應(yīng)用問題是考查的重點(diǎn)內(nèi)容，試題非常注重理論聯(lián)系生活實(shí)際，常考的數(shù)學(xué)模型有古典概率、互斥事件、條件概率、分布列、二項(xiàng)分布、正態(tài)分布、直方圖、莖葉圖、線性回歸模型等等.

例5（2014年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷）4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為（）.

A.18B.38C.58D.78

解析由題意知4名同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)有24種情況，而4名同學(xué)都選周六有1種情況，4名都選周日有1種情況，故周六、日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為p=24-1-124=78，故選D.

點(diǎn)評(píng)：試題選取考生熟悉的情境，屬于簡(jiǎn)單的古典概率模型問題，考查了概率的基本知識(shí)和方法，引導(dǎo)考生關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí).

例6（2016全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷）某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a（單位：元），繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：

上年度出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5

保費(fèi)0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

設(shè)該險(xiǎn)種一續(xù)保人一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)與相應(yīng)概率如下：

一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)01234≥5

概率0.300.150.200.200.100.05

（1）求一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)的概率；

（2）若一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)，求其保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%的概率；

（3）求續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值

解析（1）設(shè)A表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)”，則事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1，故P（A）=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

（2）設(shè)B表示事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)比基本保費(fèi)高出60%”，則事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于3，故P（B）=0.1+0.05=0.15.

又P（AB）=P（B），

故P（B|A）=P（AB）P（A）=P（B）P（A）=0.150.55=311，

因此，所求概率為311.

（3）記續(xù)保人本年度的保費(fèi)為X，則X的分布列為：

X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

P0.300.150.200.200.100.05

EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a，

所以續(xù)保人本年度的平均保費(fèi)與基本保費(fèi)的比值為1.23.

點(diǎn)評(píng)：試題考查互斥事件、條件概率、分布列等模型，通過概率、數(shù)學(xué)期望的計(jì)算考查運(yùn)算求解能力，通過隨機(jī)變量的分布列考查數(shù)據(jù)處理能力，利用貼近生活的實(shí)際問題考查分析問題、解決問題的能力、應(yīng)用意識(shí)和數(shù)學(xué)建模思想方法.

縱觀多年的高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題，取材貼近生產(chǎn)、生活熟悉的情境和當(dāng)前社會(huì)的熱點(diǎn)問題，數(shù)學(xué)建模靈活多樣，試題注重?cái)?shù)學(xué)文化的承傳和數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的培養(yǎng)，有利于考生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)的價(jià)值和數(shù)學(xué)知識(shí)在生活實(shí)際中的應(yīng)用，側(cè)重?cái)?shù)學(xué)建模這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查，在常規(guī)教學(xué)中，要重視多用案例融入數(shù)學(xué)建模思想的新的教學(xué)方法，探索新的教學(xué)模式，加強(qiáng)學(xué)生的實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和探索創(chuàng)新能力.