高中新生函數(shù)變量意識(shí)培養(yǎng)初探

段錄平

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)科體系中最基本、最重要的概念之一，函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，包含的內(nèi)容非常廣泛，它的概念和思想滲透高中數(shù)學(xué)教學(xué)的各個(gè)方面.學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)知識(shí)最主要的是樹立函數(shù)觀點(diǎn)，并自覺養(yǎng)成用函數(shù)的觀點(diǎn)和方法解決各類相關(guān)的復(fù)雜問(wèn)題的習(xí)慣.

高中數(shù)學(xué)注重?cái)?shù)學(xué)思維品質(zhì)的培養(yǎng)，注重?cái)?shù)學(xué)思維邏輯的建立，強(qiáng)調(diào)學(xué)生要善于從具體到抽象的概括歸納與總結(jié)，注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的“變式思想”“數(shù)形結(jié)合思想”“形變等價(jià)思想”“化歸趨同思想”等數(shù)學(xué)思想與方法.

函數(shù)觀點(diǎn)下的變量意識(shí)形成不易

在初中函數(shù)是這樣定義的：如果在某變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，并且對(duì)變量x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某個(gè)對(duì)應(yīng)法則，y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，變量x叫自變量，y叫因變量.

高中在學(xué)習(xí)了映射以后，用映射對(duì)函數(shù)進(jìn)行了新定義：設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集，在對(duì)應(yīng)法則f下，對(duì)于自變量x在集合A內(nèi)的任意一個(gè)值，在集合B中都有唯一元素y與之對(duì)應(yīng)，且集合B中任意一個(gè)元素在集合A中都有原象與之對(duì)應(yīng)，那么在這條件下的映射稱之為函數(shù).并且，如果y是x的函數(shù)，特記為y=f（x），f是對(duì)應(yīng)法則，x是自變量.并且集合A稱作函數(shù)的定義域，設(shè)值域?yàn)镸，則MB.

（1）

（2）

（3）

（1）是映射不是函數(shù)，（2）（3）既是映射又是函數(shù).

從函數(shù)的兩種定義知道，構(gòu)成一個(gè)函數(shù)必有三要素：定義域、對(duì)應(yīng)法則和值域.通過(guò)函數(shù)概念在不同歷史時(shí)期的演變及發(fā)展史不難發(fā)現(xiàn)：

一、函數(shù)自變量的相對(duì)獨(dú)立性

例1函數(shù)f（2x）的定義域是[-1，1]，求函數(shù)f（log2x）的定義域.

分析在這里，函數(shù)定義域是指獨(dú)立自變量x的范圍是-1≤x≤1，故12≤2x≤2，從而f（x）的定義域是12，2，而我們所要求的函數(shù)f（log2x）的定義域顯然既不是[-1，1]，也不是12，2，而應(yīng)根據(jù)f（x）中x∈12，2得x∈[2，4].從而求解得x∈12，2.

在這里2x與log2x中的變量x其意義是不一樣；二是2x與log2x在f作用下的取值范圍是相同的.又如，

例2已知函數(shù)f（x-2）=x2-3x+5，求f（2）的值.

分析這里f（2）=f（4-2），即x=4.從而f（2）=f（4-2）=42-3×4+5=9.在這里充分注意到自變量的獨(dú)立性，從而避免了通過(guò)想辦法求解f（x）的解析式這一繁雜的過(guò)程.用同樣方法不難求解下面的題目.

二、函數(shù)自變量的整體性

函數(shù)自變量在具有獨(dú)立性的同時(shí)，有時(shí)往往又具有待定的整體性.

例3已知f（x2-4）=lgx2x2-8，求函數(shù)的定義域.

分析f（x2-4）與f（x）是兩個(gè)不同的函數(shù)，如果通過(guò)求解x2x2-8>0，得x>22或x<-22，所得范圍是f（x2-4）的定義域而非f（x）的定義域，但是x2-4與x在f作用下的地位是相同的，本質(zhì)屬性是一樣的，我們將x2-4視作一個(gè)整體，不難得到f（x2-4）=lg（x2-4）+4（x2-4）-4，故f（x）=lgx+4x-4.從此也就不難求得f（x）的定義域是（-∞，-4）∪（4，+∞）.

例4已知f（x）=2x+1-2x，求f（x）的值域.

分析解本題關(guān)鍵在于找到函數(shù)解析式的內(nèi)在聯(lián)系，不難發(fā)現(xiàn)f（x）=-（1-2x）+1+2x+1，不妨將1-2x視為一個(gè)整體，如，設(shè)

t=1-2x≥0，則原函數(shù)變?yōu)閥=-t2+t+1（t≥0），問(wèn)題也就迎刃而解了.這里x為變量，從而1-2x也為變量，1-2x也為變量，將1-2x視作一個(gè)新的變量t=1-2x≥0.由此可見，變量的整體性認(rèn)識(shí)與處理，有時(shí)往往可事半功倍.

三、函數(shù)自變量的制約性

函數(shù)值是受自變量與對(duì)應(yīng)法則制約的.定義域是函數(shù)值存在的首要條件，在構(gòu)建函數(shù)模型、研究函數(shù)性質(zhì)、求解函數(shù)值域時(shí)，需時(shí)時(shí)注意函數(shù)的定義域，這一點(diǎn)中學(xué)生容易忽略.如，函數(shù)f（x）=2x，x∈R與函數(shù)f（x）=2x，x∈Z，由于其定義域不同，它們的值域也不同，第一個(gè)函數(shù)的值域是實(shí)數(shù)集，而第二個(gè)函數(shù)的值域是偶數(shù)集.又如，函數(shù)g（x）=x2，x∈R與函數(shù)g（x）=x2，x∈（-∞，0），這里第一個(gè)函數(shù)不具有反函數(shù)，而第二個(gè)函數(shù)有反函數(shù)；再如，求函數(shù)f（x）=sin2x+sinx+cosx的值域時(shí)，有學(xué)生按下面方求解：

解|sin2x|≤1，|sinx|≤1，|cosx|≤1，

∴-3≤sin2x+sinx+cosx≤3，

∴原函數(shù)的值域是y∈[-3，3].

這顯然是一個(gè)錯(cuò)誤的求解過(guò)程，錯(cuò)誤的原因在于學(xué)生在思考問(wèn)題的時(shí)候忽視了變量的制約性.其實(shí)在本題中，不難發(fā)現(xiàn)sin2x與sinx+cosx之間的緊密聯(lián)系：（sinx+cosx）2=1+sin2x.正確解法如下：

解設(shè)t=sinx+cosx，則|t|≤2，

∴y=t2+t-1=t+122-54，

∴y∈-54，1+2.

變量意識(shí)下的函數(shù)觀點(diǎn)，是通過(guò)函數(shù)的形式、方法對(duì)問(wèn)題加以研究，充分利用函數(shù)的性質(zhì)，如，函數(shù)的圖像與單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，從而使問(wèn)題獲得突破與解決，達(dá)到解題目的.

一、函數(shù)變量的轉(zhuǎn)換

例5a∈[-1，1]，函數(shù)f（x）=x2+（a-4）x+4-2a的值總大于零，求x的取值范圍.

分析對(duì)函數(shù)f（x），這里“a”是參變量，“x”是自變量.直接對(duì)二次函數(shù)f（x）進(jìn)行處理，困難不小，也找不到解決問(wèn)題的辦法，無(wú)從下手.不妨進(jìn)行自變量轉(zhuǎn)換，將“a”轉(zhuǎn)化為自變量，“x”為常量，令g（a）=（x-2）a+（x2-4x+4），a∈[-1，1]，這樣就得到一個(gè)以“x”為參變量，“a”為自變量的一次型函數(shù)，要符合題意條件，則可利用一次函數(shù)的單調(diào)性，只需g（-1）>0，且g（1）>0，這樣就可不難求得x的正確取值范圍是x<1或x>3.

二、建構(gòu)函數(shù)的思想

例6已知a，b，c∈R且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：ab+bc+ca>-1.

分析原不等式等價(jià)于ab+bc+ca+1>0，也即（b+c）a+（bc+1）>0，因?yàn)檫@里a∈（-1，1），這是一個(gè)很重要的信息條件，利用好這個(gè)信息條件是解決本問(wèn)題的關(guān)鍵.如果有變量意識(shí)，構(gòu)建一個(gè)以“a”為自變量的函數(shù)，令這個(gè)函數(shù)f（a）=（b+c）a+（bc+1），符合題意條件不外乎下面兩種情形：

（1）若b+c=0，則f（a）=bc+1，由|bc|<100；

（2）若b+c≠0，由于一次函數(shù)的單調(diào)性，只需滿足f（-1）>0且f（1）>0即可，

因f（-1）=（-b-c）+1+bc=（b-1）（c-1）>0，同理f（1）>0.

∴f（a）在|a|<1時(shí)，必有f（a）>0.從而問(wèn)題得證.

三、變量自身的函數(shù)特征

分析變量自身函數(shù)特征，能夠抓住問(wèn)題的主要方面，防止在認(rèn)知上出現(xiàn)偏差.

例7已知函數(shù)y=lg（mx2-4x+m-3）的值域是全體實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

分析對(duì)函數(shù)y=lgax的值域是R，其定義域?yàn)椋?，+∞），這一點(diǎn)學(xué)生深信不疑，但在其具體的解題過(guò)程中，普遍學(xué)生是這樣做的：

解設(shè)t=mx2-4x+m-3>0……①，要使原函數(shù)的值域?yàn)镽，須不等式①滿足m>0且Δ<0，從而得解為m>4.引導(dǎo)學(xué)生把函數(shù)t=mx2-4x+m-3（m>0），且Δ<0的圖形畫出來(lái)

（如右圖所示），如這里函數(shù)t=mx2-4x+m-3（m>0）有最小值t0，這里t的范圍是t∈[t0，+∞），無(wú)法保證t∈（0，+∞），學(xué)生一目了然，終于明白了自己認(rèn)識(shí)上的錯(cuò)誤.這里mx2-4x+m-3是一個(gè)函數(shù)，正確解法如下：

解設(shè)t=mx2-4x+m-3，當(dāng)m=0時(shí)，t=-4x-3，t∈（-∞，+∞），而（0，+∞）（-∞，+∞），符合題意；當(dāng)m>0時(shí)，Δ≥0即可得0

函數(shù)觀點(diǎn)下對(duì)變量意識(shí)的培養(yǎng)，深刻揭示了函數(shù)與變量的內(nèi)在聯(lián)系.變量特征是函數(shù)的本質(zhì)特征，努力培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)變量意識(shí)和變量意識(shí)下的函數(shù)思想，是全面掌握函數(shù)知識(shí)的有效手段之一.

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