解析幾何中的轉化與化歸思想

河北 李鳳迎

(作者單位：河北省武邑縣職教中心)

解析幾何中的轉化與化歸思想

轉化與化歸思想不僅是高中數學中的一種非常重要的數學思想，還是一種非常重要的解題方法.尤其是在高考試題中，它會經常和我們捉迷藏，這時就需要我們冷靜處理，充分發掘題目中的關鍵信息，透過現象看本質，充分發揮轉化與化歸思想的化復雜為簡單、化難為易、化陌生為熟悉的這種積極作用，再輔以其他思想和方法，則問題即可解決.

可以說，沒有轉化與化歸思想就不能建立高考試題中有關信息和數據之間的有效聯系，解題就不能順利進行.它是解題的核心思想，是解題的橋梁，地位不可小覷.

下面這三題難度中等偏上，看似不同，實則相同，考查的是同一思想和方法.這三道例題對知識的考查豐富全面，不僅很好地考查了學生的分析問題和解決問題的能力，同時考查了對轉化與化歸思想和解析法在解決問題中的應用.

【分析】(Ⅰ)略；(Ⅱ)由已知條件可知，此例題屬于直線和圓錐曲線的交點問題. 假設∠OPM=∠OPN，則可知直線PM和PN傾斜角互補，也即其斜率互為相反數.充分利用這一轉化思想，再結合解平面解析幾何中所熟悉的解析法，問題即可解決.

【點評】對于題目中已知條件∠OPM=∠OPN的靈活轉化處理，是解決此類是否存在問題的關鍵所在.當然還需要數形結合思想來輔助解答.

【分析】(Ⅰ)略；(Ⅱ)問題的關鍵是對條件∠APQ=∠BPQ如何利用.通過作圖可將其轉化為直線PA、PB的傾斜角互補，也即它們的斜率互為相反數即可；接下來又將直線AB的斜率問題轉化為y1-y2與x1-x2的比值問題.這可設A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直線PA、PB方程與橢圓方程聯立消元，借助于韋達定理，將y1-y2與x1-x2用含有k的代數式表示，問題即可解決.

【點評】對題目中動點A，B所滿足的條件∠APQ=∠BPQ的理解和合理轉化，是實現判斷直線AB的斜率是否為定值的突破點.數形結合思想功不可沒.

所以，平時要養成良好的勤于思考、善于總結的習慣.比如這幾道例題，就是基于我們平時訓練所得出的結論來實現題目中相關關系的建立的：若兩條直線關于垂直于x軸或y軸的直線對稱，則它們的斜率互為相反數.

(作者單位：河北省武邑縣職教中心)