數列“函數”角色的精彩演繹

廣東 林錫龍

(作者單位：廣東省惠來一中)

數列“函數”角色的精彩演繹

數列是自變量為正整數的特殊函數，其項數n對應函數的自變量x，其通項公式an對應函數的解析式f(x).利用函數的單調性可以研究數列的單調性，進而可研究數列的最大項、最小項問題.可是在實際應用中，如果把研究數列的單調性的方法完全等同于研究函數的單調性的方法的話，往往會出現這樣或那樣的問題.本文通過引入兩者異同并結合例題分析，探究如何做到將數列的“函數”角色演繹精彩.

一、兩者異同

1.同：數列{an}與函數f(x)有著一樣的淵源，都屬于映射

圖1

圖2

2.異：(n,an)只是其同源函數f(x)圖象上一系列孤立的點

由于數列的單調性與其同源函數的單調性不盡相同，所以在解決最值問題時，學生往往忽視了n∈N*而發生錯誤.

二、數列的最值問題轉化為同源函數的最值問題

【例1】(2016·新課標Ⅰ)設等比數列{an}滿足a1+a3=10，a2+a4=5，則a1a2…an的最大值為________.

又因為29=512，210=1 024，211=2 048，

……

……

【例3】(2016·寧波模擬)等差數列{an}的前n項和為Sn，若數列{Sn}有唯一的最大項S3，Hn=S1+2S2+3S3+…+nSn，則( )

A.S5·S6<0

B.H5·H6<0

C.數列{an}、{Sn}都是單調遞減數列

D.H6可能是數列{Hn}的最大項

“社會越來越充滿喧鬧，連本來是寧靜的大學校園，如今與喧鬧的市井大街也沒有多大的區別。”作家張煒為此寫了一篇《尋獲安靜》的文章。網絡上有個熱詞，叫作“我想靜靜”，曾入選2015年度十大網絡用語，盡管它的“熱”，是由于其中有被（故意）曲解為“我想念靜靜”的意思在，但它的原意畢竟是“讓我靜一靜”，反映了許多人“尋求安靜”的心聲。

對于選項B，H5·H6=(55a1+85d)(91a1+175d)=[55(a1+2d)-25d]·[91(a1+2d)-7d]，因為a1+2d>0,d<0，所以H5·H6>0，所以B錯；

對于選項D，因為5S5=15a3>0，6S6=18(a3+a4)，7S7=49a4<0，8S8=32(a4+a5)<0，所以當6S6=12(a3+a4)>0時，H6為{Hn}的最大項；當6S6=18(a3+a4)<0時，H5為{Hn}的最大項.所以D正確.

【解析】因為S15>0,S16<0，所以S15=15a8>0,S16=8(a8+a9)<0，所以a8>0，a9<0，由等差數列各項的性質(各項遞減)可知，a1,a2,…,a8>0，a9,a10,…，a15<0.

三、數列的恒成立問題化歸為數列的最值問題

當n=1時，T1>λ(S2+1)，

(作者單位：廣東省惠來一中)