善用舊瓶嘗新酒
——例談新定義類題目的解題策略

北京 杜巧衛

(作者單位：北京師范大學出版集團)

善用舊瓶嘗新酒
——例談新定義類題目的解題策略

在近年各地的高考題和模擬考試中，經常能見到一類“新定義”問題.這些題目一般在題設條件中給出課本上沒有的定義、概念或性質，要求考生解決與之相關的問題.很多同學對這一類問題感到困難，畏懼于題目給出的五花八門的新定義，甚至對一些有一定難度的題目感到無所適從.

其實，只要仔細分析這些題目就可以看出，這些所謂的“新定義”其實就是對傳統題目中的題設條件或設問換了一種說法，本質上都屬于“舊瓶裝新酒”.只要我們掌握好、用好這個“裝酒的舊瓶”(即基本的數學概念和基礎的數學思想、解題方法)，就能品嘗瓶中的“新酒”(給出的新定義新概念)，不論是醇厚的佳釀還是濃郁的烈酒，都能從容應對.下面我們就以2016年的幾道高考真題為例，談談解決這類新定義問題的策略和方法.

【例1】(2016·山東理·10)若函數y=f(x)的圖象上存在兩點，使得函數的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f(x)具有T性質.下列函數中具有T性質的是

( )

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=exD.y=x3

【試題分析】題意中的T性質，是指函數圖象上存在兩個點，這兩點處的切線互相垂直，實質上是函數圖象上存在兩點的導數值乘積等于-1的情況.依次驗證選項中的函數的導數是否滿足這個要求即可.

【解】當y=sinx，可知y′=cosx, 所以cos0·cosπ=-1，所以函數y=sinx的圖象上存在兩個點，使在這兩個點處的切線互相垂直，滿足T性質.而其他函數y=lnx，y=ex，y=x3的導數值均為非負數，所以均不具有T性質.故選A.

【評注】本題給出的“新定義”，其實只是傳統題目條件及設問的另一種表述方式，本質上還是在考查函數的求導和導數的幾何意義，所以理解給出的新定義或新性質的含義，進行適當的轉化是解題的關鍵.

①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A;

②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；

③若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱；

④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.

其中的真命題是 (寫出所有真命題的序號).

【試題分析】本題題意中給出的“伴隨點”的概念，實質上是給出了一種坐標變換，但應注意這種變換不一定是可逆的.判斷給出的命題是否為真命題時，既可以根據伴隨點的定義直接驗算，也可以舉出反例判斷，后者的方法往往更簡單.

綜上，本題應填②③.

以上兩道“新定義”類問題比較簡單，甚至可以說這兩道道題目不僅“盛酒的酒瓶”(即解題需要的技能和方法)是舊的，連 “瓶中的美酒”(即題設中給出的新定義)也是舊的，無非是在酒瓶上換了一個標簽而已！這類題目一般比較簡單，只要同學們能夠把握給出的“新定義”的本質，并將其轉換為我們熟悉的概念和性質，就能順利求解.

高考中還有一類“新定義”問題，它們一般出現在解答題中，有的甚至是在壓軸題中.這些題目給出的“新定義”往往無法直接轉化成我們熟悉的概念或性質，而要求同學們在認真研究給出的新定義同時，還必須深入挖掘蘊含在定義中的性質，并熟練運用基本的數學思想和方法才能順利解決.下面我們通過對2016年北京高考數學理科卷的壓軸題的分析和解答來加以說明.

【例3】(2016·北京理·20)設數列A：a1,a2，…，aN(N≥2).如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數k都有ak

(1)對數列A：-2，2，-1，1，3，寫出G(A)的所有元素；

(2)證明：若數列A中存在an使得an>a1，則有G(A)≠?；

(3)證明：若數列A滿足an-an-1≤1(n=2,3，…，N)，則G(A)的元素個數不小于aN-a1.

【試題分析(1)】本題給出的新定義“G時刻”不能簡單地轉化為我們學過的數學概念或性質，需要認真分析它的定義，并挖掘其蘊含的性質.為此，我們可以畫出一個數列圖象的草圖幫助我們理解題意并分析，如下圖.圖中加下劃線的序號，即為此數列的“G時刻”，我們把它們對應的項用虛線連成了一條曲線.

對照題意給出的“G時刻”的定義，即“如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數k都有ak

【解】(1)數列A：-2，2，-1，1，3中，第2項大于第1項，第5項大于之前的4項，故數列A的G時刻為2和5，所以G(A)的元素為2和5.

【試題分析(2)】題意要求證明當數列A中存在an使得an>a1時，則數列A存在“G時刻”，參考上面給出的數列圖象，可以看出，如果數列A中存在大于a1的項，那么第一個大于a1的項對應的項數，即是此數列的G時刻，根據這個思路，便不難證明第(2)問.注意解題時要使用嚴謹的數學語言.

【證明】(2)因為數列A中存在an使得an>a1，

所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠?.

設m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}，

則m≥2，且有當k∈N*且k

所以根據定義可知m∈G(A)，所以G(A)≠?.

【試題分析(3)】本題第三問有一些難度，很多同學做到這一問時會感到沒有頭緒.這就需要我們在初步掌握了G時刻的定義后，還要繼續挖掘蘊含在這個概念中的數學性質，并結合題設條件和要求證明的結論加以分析.

不妨設G(A)的元素個數為p，則題目條件為“數列A滿足an-an-1≤1”，要證明的結論為“p≥aN-a1”.由“aN-a1”和“an-an-1”的式子特點，我們可以聯想到要用到“累加法”.再由p為G(A)的元素個數，這就提示我們進一步研究數列A的G時刻對應的項的性質.

通過圖象可以看出，G時刻對應的數列中的項是單調遞增的，這應該是G時刻的基本性質.

不妨設G(A)={n1,n2,n3,…,np}，且n1

進一步觀察圖象，研究G時刻的性質，我們可以得出，若在相鄰的G時刻ni,ni+1對應的項ani,ani+1之間還有其他的項，則這些項必不大于ani.再結合數列A滿足an-an-1≤1的條件，不難得出ani+1≤an(i+1)-1+1≤ani+1，即ani+1-ani≤1；若ani,ani+1之間沒有其他的項，即ani,ani+1是數列A中相鄰的兩項，由題設條件也可得ani+1-ani≤1，而ani+1-ani≤1正是我們要使用累加法所需要的關系式.將上面的思路整理一下，用嚴謹的數學語言表述出來，即可得到第(3)問的證明.

【證明】(3)不妨設G(A)的元素個數為p，則p≥0.

若aN≤a1，則aN-a1≤0≤p，命題成立.以下設aN>a1，由第(2)問可知G(A)≠?.

設G(A)={n1,n2,n3,…,np}，且1

由G時刻的定義可知:a1

設2≤i≤p,且ni∈G(A)={n1,n2,n3,…,np}，若ni-ni-1=1，則有ani-an(i-1)≤1；

若ni-ni-1>1，設Gi={k∈N*|ni-1ani-1}，若Gi≠?，令mi=minGi，所以mi∈G(A)，矛盾.所以若ni-1

所以ani≤1+ani-1≤1+an(i-1)，即ani-an(i-1)≤1.

(注意“an(i-1)”表示第(i-1)個G時刻對應的項；而“ani-1”表示第i個G時刻對應的項的前一個項)

所以an1-a1≤1,

an2-an1≤1,

an3-an2≤1,

……

anp-anp-1≤1，

即G(A)的元素個數不小于aN-a1.證畢.

【評述】本題給出的新定義比較抽象，需要我們借助實例、圖象來深入理解，但本題考查的仍是高中數學基本的概念和方法.第(3)問的證明有一定的難度，不僅需要考生通過對題設條件和待證式的結構特征的觀察聯想到要用到“累加法”，還要求考生能挖掘出“G時刻”的相關性質，并結合題設條件由定性的性質得出定量的結果.

(作者單位：北京師范大學出版集團)