山東 楊宗柱
(作者單位:山東省泰安英雄山中學)
二項式中的系數問題


【例1】(2016·北京)在(1-2x)6的展開式中,x2的系數為 .(用數字作答)




【點評】已知二項式展開式中某一項的系數,求相關參數的值,是二項式定理的逆向應用.解這類問題主要是利用通項公式,建立關于參數的方程,由待定系數法求解.



【例3】(2014·浙江理·5)在(1+x)6(1+y)4的展開式中,記xmyn項的系數為f(m,n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )
A.45 B.60 C.120 D.210
【點評】求兩個二項式積的展開式中某一項的系數,可分別展開兩個二項式,由多項式乘法求得所求項的系數.
【變式3】 (1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數為 .
提示:因為(1+2x)3(1-x)4展開式的通項為

又由題意知r+s=2,



【點評】求二項式所有項的系數和,可采用“特殊值取代法”,通常令字母變量的值為1.
( )
A.-60 B.60
C.-30 D.30
(Ⅰ)若展開式中第5項,第6項與第7項的二項式系數成等差數列,求展開式中二項式系數最大項的系數;
(Ⅱ)若展開式前三項的二項式系數和等于79,求展開式中系數最大的項.

當n=14時,展開式中二項式系數最大的項是T8.


所以n=12或n=-13(舍去).
設Tk+1項的系數最大,



【點評】二項式系數、系數是兩個不同的概念,二項式系數最大的項一定是展開式中的中間項(或中間兩項);而系數最大的項通過解不等式組的方法解決,且一定要考慮到系數前的符號.

【點評】本題與基本不等式的應用結合,考查了二項式展開式的項的系數的逆向應用,體現了知識間的交匯.

(Ⅰ)求a的值;
(Ⅱ)若(xcosθ+1)5的展開式中x2的系數與(x+a)4的展開式中x3的系數相等,試求cos2θ的值.




故cos2θ=2cos2θ-1=0.

(作者單位:山東省泰安英雄山中學)