比較大小題型的解題方法

遼寧 隋 清

(作者單位：遼寧省本溪市第一中學(xué))

比較大小題型的解題方法

比較大小是高中數(shù)學(xué)常見題型，也是高考中常考常新的題目.這類問題涉及面廣，往往與不等式有關(guān)，同時可與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容相結(jié)合，其解法靈活但仍有規(guī)律可循，下面介紹幾種常用的比較大小的方法.

一、充分利用函數(shù)的單調(diào)性

【評注】比較大小問題首先應(yīng)該從相同數(shù)字入手.底數(shù)相同，就構(gòu)造對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)；指數(shù)相同，就構(gòu)造冪函數(shù).對于底數(shù)不同指數(shù)也不同的，可以根據(jù)函數(shù)圖象觀察比較獲得.

( )

A.y3>y1>y2B.y2>y1>y3

C.y1>y2>y3D.y1>y3>y2

【解析】y1=21.8，y2=21.44，y3=21.5，∵y=2x在定義域內(nèi)為增函數(shù)，∴y1>y3>y2.

二、尋求媒介值0，1比較大小

【例2】設(shè)a=0.60.6,b=0.61.5,c=1.50.6，則a,b,c的大小關(guān)系是

( )

A.a

【解析】由y=0.6x在區(qū)間(0,+∞)是單調(diào)減函數(shù)可知，0<0.61.5<0.60.6<1，又1.50.6>1，故選C.

【評注】比較大小往往要利用函數(shù)的單調(diào)性研究值所在范圍，選取中間媒介值0，1比大小.

( )

A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>b

三、析出整數(shù)，變換底數(shù)，放縮真數(shù)

【例3】設(shè)a=log36,b=log510,c=log714，則a,b,c的大小關(guān)系是 .

【解析】a=log36=log32+1,b=log52+1,c=log72+1，即比較log32,log52,log72的大小，利用換底公式.

根據(jù)函數(shù)y=log2x單調(diào)性，

即log32>log52>log72，所以得a>b>c.

【評注】指數(shù)式與對數(shù)式比較大小，依據(jù)指數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性研究值所在范圍，選取中間媒介值0，1比大小，有時還要構(gòu)建函數(shù)或用作差或作商法比較大小.其中，對數(shù)比較大小，底數(shù)和真數(shù)都不相同時，可以先分離出整數(shù)，使得真數(shù)相同，再比較同真數(shù)的對數(shù)大小；同真數(shù)的對數(shù)比較大小，可以利用換底公式換成同底數(shù)的對數(shù)，再利用單調(diào)性比較大小.

【變式3】設(shè)a=log36,b=log48,c=log510,則

( )

A.c>b>aB.b>c>a

C.a>c>bD.a>b>c

四、 作差作商，放縮變形

【典例4】若x>1，試比較logx(x+1)與logx+1(x+2)的大小.

【評注】作差法和作商法是比較大小的常用方法，但是有些較難的題目需要利用放縮法變形后才能比較出結(jié)果.放縮法一般包括：用縮小分母，擴大分子，分式值增大；縮小分子，擴大分母，分式值縮小.或者利用均值不等式進行放縮.

又∵0.30.2>0.30.3>0.20.3,∴0.30.2>0.20.3,

五、構(gòu)造函數(shù)比較大小

【典例5】已知x,y,z為正數(shù)，滿足3x=4y=6z，比較3x、4y、6z的大小.

【評注】通過觀察要比較的幾個數(shù)值的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造相應(yīng)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.要想準(zhǔn)確、快速地構(gòu)造出函數(shù)，就應(yīng)該從函數(shù)本身的性質(zhì)出發(fā)，這就為我們?nèi)グl(fā)現(xiàn)函數(shù)構(gòu)造函數(shù)提供了思考的切入點.

(作者單位：遼寧省本溪市第一中學(xué))