題組變式訓(xùn)練(一)
——立體幾何探究性問題

陜西 呂二動 湖北 胡曙彪 江蘇 王懷學(xué) 徐海洋

題組變式訓(xùn)練(一)
——立體幾何探究性問題

1.與平行有關(guān)的探究性問題

1.1 根據(jù)平行關(guān)系求比值

1.2 確定滿足平行條件的點(diǎn)的位置

1.3 先猜后證解決“是否存在”線面平行

1.4 求作滿足條件的直線

2.與垂直有關(guān)的問題

2.1 線面垂直的條件必須證明

2.2 探究線面垂直的條件

2.3 面面垂直的探究性問題

2.4 面面垂直的條件探究性問題

1. 與平行有關(guān)的探究性問題

1.1 根據(jù)平行關(guān)系求比值

【解析】如圖，設(shè)B1D交BC1于點(diǎn)F，連接EF，

則平面A1BC1∩平面B1DE=EF．

因?yàn)锳1B∥平面B1DE，A1B?平面A1BC1，

所以A1B∥EF，

又由三角形相似可知：

1.2 由平行關(guān)系確定動點(diǎn)所滿足的條件

【典例】如圖，有公共邊AB的兩個全等矩形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi)，P,Q分別是對角線AE,BD上的動點(diǎn)，當(dāng)P,Q滿足什么條件時，PQ∥平面CBE？

【解析】如圖，連接AQ并延長交直線BC于點(diǎn)G，連接EG．

若PQ∥平面CBE，PQ?平面APQ，

平面APQ∩平面CBE=EG．

所以PQ∥EG，

因?yàn)锽G∥AD，

又因?yàn)榫匦蜛BCD和ABEF全等，

所以AE=DB，AP=DQ．

即當(dāng)AP=DQ時，PQ∥平面CBE．

【評注】本題也可以先下結(jié)論，再進(jìn)行證明，即先回答問題：當(dāng)AP=DQ時，PQ∥平面CBE. 然后，將“AP=DQ”作為條件，證明“PQ∥平面CBE”即可.

【變式1】如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運(yùn)動，則M滿足什么條件時，有MN∥平面B1BDD1.

【變式2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AB上，且AB=4AF.若M為線段BE上一點(diǎn)，試確定M在線段BE上的位置，使得C1D∥平面B1FM.

【變式3】如圖，多面體ABCDE中，CD=2AE，AE∥CD．在BC上找一點(diǎn)N，使得AN∥面BED．

1.3 先猜后證解決“是否存在”線面平行、面面平行

有EC∥平面FBD．

證明：連接AC，交BD于點(diǎn)H，

因?yàn)锳B∥CD，AB=2CD，

所以△ABH∽△CDH,

所以FH∥EC.

又因?yàn)镋C?平面FBD，F(xiàn)H?平面FBD，

所以EC∥平面FBD．

【變式1】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上是否存在一點(diǎn)E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請說明理由．

【變式2】如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，Q是AD的中點(diǎn)．M在線段PC上，PM=tPC，線段BC上是否存在一點(diǎn)R，使得當(dāng)t∈(0,1)時，總有BQ∥平面MDR？若存在，確定R點(diǎn)位置；若不存在，說明理由．

【變式3】如圖，在底面是平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，點(diǎn)E在PD上，且PE∶ED=2∶1，在棱PC上是否存在一點(diǎn)F，使BF∥平面AEC？證明你的結(jié)論．

1.4 利用平行關(guān)系求作滿足條件的直線

【典例】一木塊如圖所示，點(diǎn)P在平面VAC內(nèi)，過點(diǎn)P將木塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC，應(yīng)該怎樣畫線？

【解析】因?yàn)锳C與截面平行，

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理知，

截面與平面VAC的交線就平行．

同理，截面與平面VBC的交線、截面與平面VBA的交線都平行于VB．

所以得到如下作法：

在平面VAC內(nèi)過點(diǎn)P作直線DE∥AC，

交VA于D，交VC于E；

在平面VBA內(nèi)過點(diǎn)D作直線DF∥VB，交AB于F，

在平面VBC內(nèi)過點(diǎn)E作直線EG∥VB，交BC于G，

連接GF，則DE,DF,EG,GF就是所畫的線．

【評注】求作使截面平行于某直線，實(shí)質(zhì)是探討線面平行的問題．先假設(shè)作好滿足條件的線了，利用線面平行的性質(zhì)，則推導(dǎo)出同一平面內(nèi)的兩直線平行，從而將空間平行關(guān)系轉(zhuǎn)化為平面平行關(guān)系．

【變式1】一個長方體木塊如圖所示，要經(jīng)過平面A1C1內(nèi)一點(diǎn)P和棱BC將木塊鋸開，應(yīng)怎樣畫線?

【變式2】三棱柱ABC-A1B1C1，畫出平面A1BC1與平面ABC的交線l，并判斷l(xiāng)與A1C1的位置關(guān)系．

【變式3】如圖，有一塊長方體的木料，經(jīng)過木料表面A1B1C1D1內(nèi)的一點(diǎn)P，在這個面內(nèi)畫線段，使其余木料表面ABCD內(nèi)的線段EF平行，應(yīng)該怎樣畫線？

【變式4】在三棱柱ABC-A1B1C1中，E∈BC,F∈B1C1,EF∥C1C，點(diǎn)M∈側(cè)面AA1B1B,點(diǎn)M,E,F確定平面γ，試作出平面γ與三棱柱表面的交線.

【變式5】如圖，棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是棱AA1的中點(diǎn)，過C,M,D1作正方體的截面，則截面的面積是________．

2. 與垂直有關(guān)的探究性問題

2.1 探究使得線面垂直的條件

【典例】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=CD，E為PB的中點(diǎn)．在底邊AD上是否存在一點(diǎn)F，使EF⊥平面PBC？證明你的結(jié)論．

【解析】存在點(diǎn)F為AD的中點(diǎn)，使EF⊥平面PBC．

取PC的中點(diǎn)H，連接DH，EH.

因?yàn)镻D=CD，所以DH⊥PC.

因?yàn)镻D⊥底面ABCD，所以PD⊥BC.

因?yàn)榈酌鍭BCD是正方形，所以CD⊥BC，

所以BC⊥平面PCD.

又因?yàn)镈H?平面PCD，

所以BC⊥DH．

因?yàn)锽C∩PC=C，所以DH⊥平面PBC，

因?yàn)镋,F分別為PB，AD的中點(diǎn)，

所以FD

即FDEH，則四邊形EFDH是平行四邊形．

所以EF∥DH，故EF⊥平面PBC．

所以在底邊AD上存在AB的中點(diǎn)F，

使EF⊥平面PBC.

【評注】“存在型”探索性問題就是指判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象(數(shù)值、圖形、函數(shù)等)的確定與否的問題.在數(shù)學(xué)命題中,這類問題常以“是否存在”“是否有”等形式的疑問句出現(xiàn)，以示結(jié)論有待于確定. 常用以下三種方法：

①先猜后證，即結(jié)合已知條件通過觀察得出猜想，再證明；

②先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；

③先假設(shè)存在，若推出合理結(jié)論則存在，若推出矛盾則不存在.

【變式1】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱長為2，AC=BC=1，∠ACB=90°，D是A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1上的動點(diǎn)，AB1，DF交于點(diǎn)E.要使AB1⊥平面C1DF，則線段B1F的長為

( )

【變式2】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)F在線段AA1上，當(dāng)AF=________時，CF⊥平面B1DF．

【變式3】假設(shè)平面α∩平面β=EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分別為B，D，如果增加一個條件，就能推出BD⊥EF，現(xiàn)有下面四個條件：

①AC⊥α；

②AC與α，β所成的角相等；

③AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；

④AC∥EF．

其中能成為增加的條件是________．(把你認(rèn)為正確的條件序號都填上)

【變式4】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC的中點(diǎn)．在線段AA1上求一點(diǎn)G，使得直線AE⊥平面DFG．

2.2使線面垂直的條件必須證明才被認(rèn)可

【典例】在四棱錐P—ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥平面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點(diǎn)．平面PAD內(nèi)是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請說明理由．

【解析】如圖，取PD中點(diǎn)E，連接EM，AE，

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥AB．

又AB⊥AD，PA∩AD=A，

所以AB⊥平面PAD，

又PD?平面PAD，

所以AB⊥PD．

因?yàn)镻A=AD，E是PD的中點(diǎn)，

所以PD⊥AE．又AB∩AE=A．

所以PD⊥平面ABME．

作MN⊥BE，交AE于點(diǎn)N．

所以MN⊥平面PBD．

易知△BME∽△MEN．

【評注】在立體幾何的平行關(guān)系問題中，“中點(diǎn)”是經(jīng)常使用的一個特殊點(diǎn)，通過找“中點(diǎn)”，連“中點(diǎn)”，即可出現(xiàn)平行線，而線線平行是平行關(guān)系的根本．在垂直關(guān)系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知圖形通過計算證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關(guān)系證明線線垂直，其中要特別重視平面與平面垂直的性質(zhì)定理．

【變式1】如圖，四棱錐P-ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，PA=PD=4，底面ABCD是邊長為4的正方形，M為PC的中點(diǎn)．在AB上是否存在一點(diǎn)N，使MN⊥平面PCD，若存在，試確定N的位置，若不存在，請說明理由．

2.3 面面垂直的條件探究性問題

【典例】如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為是正確的條件即可)

【解析】連接AC，BD，則AC⊥BD，

因?yàn)镻A⊥底面ABCD，又BD?平面ABCD，

所以PA⊥BD.

又PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC，

又PC?平面PAC，所以BD⊥PC.

所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，

即有PC⊥平面MBD.又PC?平面PCD，

所以平面MBD⊥平面PCD.

【評注】一般根據(jù)探索性問題的設(shè)問，首先假設(shè)其存在，然后在這個假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾就否定假設(shè)．

【變式2】如圖，在四棱錐S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD．四邊形ABCD為正方形，且P為AD的中點(diǎn)，Q為SB的中點(diǎn)．若SA=SD，M為BC的中點(diǎn)，在棱SC上是否存在點(diǎn)N，使得平面DMN⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．

2.4 面面垂直的結(jié)論探究性問題

【典例】如圖，P為正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABCD，四棱錐P-ABCD的五個面中互相垂直的面有________(任寫三組).

【解析】(1)考慮四個三角形所在平面分別與正方形所在平面的垂直關(guān)系：

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，

且PA?平面PAB，PA?平面PAD，

所以平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAD⊥平面ABCD.

(2)考慮四個三角形所在的平面之間的垂直關(guān)系：

因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.

又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，BC⊥AB，且PA∩AB=A，

所以BC⊥平面PAB.

因?yàn)锽C?平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAB.

同理，平面PDC⊥平面PAD.

綜上，可填：平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，

平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD中的任意三組.

【評注】注意線線垂直、線面垂直、面面垂直間的相互轉(zhuǎn)化:

【變式1】正三角形PAD所在平面與正方形ABCD所在平面互相垂直，O為正方形ABCD的中心，M為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足MP=MC，則點(diǎn)M的軌跡為

( )

參考答案與提示

1. 與平行有關(guān)的探究性問題

1.1 根據(jù)平行關(guān)系求比值

【變式1】2 【解析】如圖，連接AC，交DE于H，

連接GH.

因?yàn)镻C∥平面DGE，又因?yàn)镻C?平面APC，

平面APC∩平面DEG=GH，

【變式2】 4∶1 【解析】設(shè)AC∩BD=O，

因?yàn)镻B∥平面FAC，

又因?yàn)镻B?平面PBD，平面PBD∩平面FAC=FO，

所以DF∶FP=4∶1．

且EF?平面ABC，平面ABC∩平面ABD=AB，

根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理得EF∥AB，

所以點(diǎn)F為AC的中點(diǎn)，

連接A1C交AE于點(diǎn)G，

連接FG，由A1P∥平面ADE，又A1P?平面A1PC，

平面A1PC∩平面ADE=FG，

所以A1P∥FG，

在正方形BCC1B1中，可證得PC交C1B于正方形中心．

1.2 由平行關(guān)系確定動點(diǎn)所滿足的條件

【變式1】M在線段FH上運(yùn)動

【解析】如圖，連接FH,HN,FN，

由題意知HN∥平面B1BDD1，F(xiàn)H∥平面B1BDD1，則平面NHF∥平面B1BDD1.

所以當(dāng)M在線段FH上運(yùn)動時，有MN∥平面B1BDD1.

【變式2】【解析】當(dāng)BE=4ME時，

有C1D∥平面B1FM.

連接FM,B1M,FB1,AE.

在△ABE中，因?yàn)锽E=4ME，AB=4AF，

所以MF∥AE.

又因?yàn)樵诰匦蜛A1C1C中，

由D，E分別為AA1，CC1的中點(diǎn)，所以C1D∥AE，

又因?yàn)镸F∥AE，所以C1D∥FM.

又因?yàn)镃1D?平面B1FM，F(xiàn)M?平面B1FM，

所以C1D∥平面B1FM.

【變式3】【解析】如圖，當(dāng)N是BC的中點(diǎn)時，

有AN∥面BED.

取BD中點(diǎn)M，則MN∥CD且CD=2MN，

又因?yàn)镃D=2AE，AE∥CD，

所以MN∥AE且MN=AE.

所以四邊形AEMN為平行四邊形，

所以AN∥EM.

又因?yàn)锳N?平面BED，EM?平面BED，

所以AN∥面BED.

【變式4】【解析】如圖，當(dāng)D1為線段A1C1的中點(diǎn)，

連接A1B交AB1于點(diǎn)O，連接OD1．

因?yàn)樗倪呅蜛A1B1B為平行四邊形，

所以O(shè)為AB1的中點(diǎn)，所以O(shè)D1∥BC1．

又因?yàn)镺D1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，

所以BC1∥平面AB1D1．

1.3 先猜后證解決“是否存在”線面平行、面面平行

【變式1】【解析】存在點(diǎn)E，且E為AB的中點(diǎn),

使DE∥平面AB1C1．

取BB1的中點(diǎn)F，連接DF，

則有EF∥AB1，

又EF?平面AB1C1，

AB1?平面AB1C1，

所以EF∥平面AB1C1．

在平行四邊形BCC1B1中，D是棱CC1的中點(diǎn)，

又因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，

所以DF∥B1C1．

又DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1,

所以DF∥平面AB1C1．

又EF∩DF=F，

所以平面DEF∥平面AB1C1．

又DE?平面DEF，

所以DE∥平面AB1C1．

【變式2】【解析】存在點(diǎn)R，當(dāng)R為BC的中點(diǎn)時，滿足題意．

因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，

且R為BC的中點(diǎn)，Q是AD的中點(diǎn)，

所以BQ∥DR．又BQ?平面MDR，DR?平面MDR，

所以BQ∥平面MDR．

【變式3】【解析】存在點(diǎn)E．證明如下：連接BD.

設(shè)BD∩AC=O.取棱PC的中點(diǎn)F，

線段PE的中點(diǎn)M，

連接BF,MF,BM,OE.

因?yàn)镻E∶ED=2∶1，所以F為PC的中點(diǎn).

因?yàn)镸是PE的中點(diǎn)，E是MD的中點(diǎn)，

所以MF∥EC,BM∥OE.

因?yàn)镸F?平面AEC，CE?平面AEC，

所以MF∥平面AEC.

同理BM∥平面AEC.

因?yàn)镸F∩BM=M，所以平面BMF∥平面AEC.

又BF?平面BMF，所以BF∥平面AEC.

1.4 利用平行關(guān)系求作滿足條件的直線

【變式1】【解析】在平面A1C1內(nèi)，過點(diǎn)P作EF∥B1C1，分別交A1B1,C1D1于E,F．連接BE,CF，則BE,CF,EF就是所要畫的線.

【變式2】【解析】在平面ABC內(nèi)過點(diǎn)B作AC的平行線就得到平面A1BC1與平面ABC的交線l．

由A1C1∥AC，可得A1C1∥平面ABC．

又A1C1?平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面ABC=l，

所以A1C1∥l．

【變式3】【解析】在平面A1ABB1內(nèi)，

過點(diǎn)E作EM⊥AB，且與A1B1交于點(diǎn)M．

在平面B1BCC1內(nèi)，過點(diǎn)F作FN⊥BC，

且與B1C1交于點(diǎn)N．

連接MN，則MN∥EF．

在平面A1B1C1D1內(nèi)，

過點(diǎn)P作MN的平行線交A1D1于Q，

交C1D1于H，則QH∥EF，

則線段QH即為所求作的線段．

【變式4】【解析】在平面AA1B1B內(nèi)過點(diǎn)M作側(cè)棱的平行線分別交AB,A1B1于G,H，連接EG,FH，則EG,FH,GH,EF就是所作的平面γ與三棱柱表面的交線.

【變式5】【解析】如圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理知，

截面與平面A1ABB1的交線MN與D1C平行，

所以N為AB的中點(diǎn)，等腰梯形MNCD1就是截面．

根據(jù)平面幾何知識,可求得截面MNCD1的面積是

2.與垂直有關(guān)的探究性問題

2.1 探究使得線面垂直的條件

【變式1】A 【解析】設(shè)B1F=x，

因?yàn)锳B1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，

所以AB1⊥DF．

設(shè)Rt△AA1B1斜邊AB1上的高為h，

【變式2】a或2a【解析】B1D⊥平面ACC1A1，

所以B1D⊥CF．

要CF⊥平面B1DF，只要CF⊥DF即可．

令CF⊥DF，∠A1FD=∠ACF，∠AFC=∠A1DF，

設(shè)AF=x，則A1F=3a-x．

由Rt△CAF∽Rt△FA1D，

解得x=a或x=2a．(亦可由勾股定理求得)

故AF=a或2a．

【變式3】①③ 【解析】如果AB與CD在一個平面內(nèi)，

可以推出EF垂直于該平面，又BD在該平面內(nèi)，

所以BD⊥EF．

故要證BD⊥EF，只需AB，CD在一個平面內(nèi)即可，

只有①③能保證這一條件．

【變式4】【解析】所求G點(diǎn)即為A1點(diǎn).

證明如下：連接AD1，BC1，

由正方體的性質(zhì)可知，DA1⊥AD1，DA1⊥AB，

又AB∩AD1=A，

所以DA1⊥平面ABC1D1，

又AE?平面ABC1D1，

所以DA1⊥AE．

取CD的中點(diǎn)H，連接AH，EH，

由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH=H，

可證DF⊥平面AHE.

又因?yàn)锳E?平面AHE，

所以DF⊥AE．

又因?yàn)镈F∩A1D=D，

所以AE⊥平面DFA1，

即AE⊥平面DFG．

2.2 使線面垂直的條件必須證明才被認(rèn)可

【變式1】【解析】存在N為AB中點(diǎn)時，

使MN⊥平面PCD．

N為AB中點(diǎn)時，取PD的中點(diǎn)R，

連接MN，MR，AR，

所以RM，

所以RM∥AN且RM=AN，

所以四邊形ANMR是平行四邊形，

所以AR∥NM．

取AD的中點(diǎn)Q，因?yàn)镻A=PD，

所以PQ⊥AD．

因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以PQ⊥平面ABCD，

所以PQ⊥CD．

因?yàn)镃D⊥AD，PQ∩AD=Q，

所以CD⊥平面PAD.

因?yàn)锳R?平面PAD，

所以CD⊥AR，

所以PA=PD=AD=4，R為PD的中點(diǎn)，

所以AR⊥PD，

所以AR⊥平面PCD.

因?yàn)锳R∥NM，所以MN⊥平面PCD，

所以N為AB中點(diǎn)時，MN⊥平面PCD．

2.3 面面垂直的條件探究性問題

【變式1】【解析】連接AC，AC的中點(diǎn)即為點(diǎn)O，

連接SO，

由題知SO⊥平面ABCD，

取OC的中點(diǎn)H，連接FH，則FH∥SO，

所以FH⊥平面ABCD．又FH?平面EFH，

所以平面EFH⊥平面ABCD．

則連接EH并延長EH與DC交于M點(diǎn)．

所以O(shè)E=1，AB=2，AE=1，

【變式2】【解析】存在點(diǎn)N為SC的中點(diǎn)，

使得平面DMN⊥平面ABCD．

連接PC，DM交于點(diǎn)O，連接PM，SP，NM，ND，NO，

因?yàn)镻D∥CM，且PD=CM，

所以四邊形PMCD為平行四邊形，

所以PO=CO．

又N為SC的中點(diǎn)，所以NO∥SP．

易知SP⊥AD，

因?yàn)槠矫鍿AD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD，

且SP⊥AD，

所以SP⊥平面ABCD．

又NO∥SP，

所以NO⊥平面ABCD．

又NO?平面DMN，

所以平面DMN⊥平面ABCD．

2.4 面面垂直的結(jié)論探究性問題

【變式1】A 【解析】如圖，取AD的中點(diǎn)E，

連接PE，PC，CE.

由PE⊥AD知，PE⊥平面ABCD，

所以平面PEC⊥平面ABCD，

取PC，AB的中點(diǎn)F，G，

連接DF，DG，F(xiàn)G.

由PD=DC知，DF⊥PC，

由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，

又PC?平面PEC，所以DG⊥PC，

又DF∩DG=D，DF?平面DFG，DG?平面DFG，

所以PC⊥平面DFG．

若M在線段DG上，則FM⊥PC，

又點(diǎn)F是PC的中點(diǎn)，所以MP=MC.

因此線段DG上的點(diǎn)都滿足MP=MC.