淺談抽象函數的對稱性與周期性

薛永紅

[摘 要] 通過由淺入深、由易到難的方式對抽象函數的對稱性、周期性進行探究，總結出抽象函數對稱性、周期性的規律，得出“函數括號內和為定”則有對稱性，“函數括號內差為定”則有周期性的結論。

[關 鍵 詞] 抽象函數；和為定；差為定

[中圖分類號] G712 [文獻標志碼] A [文章編號] 2096-0603（2017）35-0063-01

抽象函數是中學函數的重要組成部分，是對學生嚴謹的邏輯思維能力、豐富的想象力以及函數知識靈活運用能力的綜合考查。因此，對抽象函數的對稱性與周期性進行探究是很有必要的。

一、抽象函數y=f（x）的對稱性

（一）關于直線對稱

抽象函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱？圳f（a-x）=f（a+x）（1）上式是抽象函數最基本的一個軸對稱關系，我們可理解為函數y=f（x）在直線x=a的左右兩邊相等，所以函數y=f（x）的圖象關于直線x=a對稱。

探究：若函數y=f（x）符合f（a-x）=f（b+x），不妨令a

由（1）式研究方式可知，該函數在x=a的左邊和x=b右邊相等（x>0時），或在x=a的右邊和x=b左邊相等（x<0時）。故易知該函數的圖象關于直線x=■對稱。

得f（a-x）=f（b+x）？圳函數y=f（x）的圖象關于直線x=■對稱（2）

觀察（1）（2）不難發現，（1）中（a-x）+（a+x）=2a，（2）中（a-x）+（b+x）=a+b，其中2a，a+b為定值，故得出“函數括號內和為定”則有對稱性，對稱軸為x=■=■。

推論：f（x）=f（2a-x）？圳y=f（x）的關于直線x=a對稱。

特殊的，若函數y=f（x）滿足f（x）=f（-x），則函數y=f（x） 的圖象關于直線x=0（y軸）對稱。此時稱該函數為偶函數。

（二）關于點對稱

抽象函數y=f（x）的圖象關于點（a，0）對稱？圳y=f（a-x）+f（a+x）=0 （3）

（3）上式是抽象函數最基本的一個點對稱關系，我們可理解為函數y=f（x）在點（a，0）的左右兩邊互為相反數，所以函數y=f（x）的圖象關于點（a，0）對稱。

探究：若函數y=f（x）符合f（a-x）=f（a+x）=2b，不妨令a

得f（a-x）+f（a+x）=2b？圳y=f（x）函數的圖象關于點（a，b）對稱（4）

推論：f（a-x）+f（b+x）=2b？圳函數y=f（x）的圖象關于點（■，c）對稱（5）

觀察（3）（4）（5）不難發現，該對稱性仍有“函數括號內和為定”則有對稱性的特征。

特殊的，若y=f（x）滿足f（x）+f（-x）=0，則函數y=f（x）的圖象關于原點（0，0）對稱。此時，稱該函數為奇函數。

二、函數的周期性

對于函數y=f（x），若f（x+T）=f（x）（T為不等于0的常數）恒成立，則這個就具有周期性，是個周期函數。常數稱為這個函數的一個周期。

探究：若函數y=f（x）滿足如下關系，則該函數是否具有周期性？

（1）f（x+T）=-f（x）；

（2）f（x+T）=■或f（x+T）=-■；

（3）f（x+a）=f（x+b）。

分析：由（1）得f（x+2T）=-f（x+T）=-（-f（x））=f（x），所以（1）具有周期性，周期為2T.

由（2）得f（x+2T）=■=f（x）或f（x+2T）=-■=f（x），所以（2）也具有周期性，周期為2T.

在（3）中令x=x-a得f（x-a+a）=f（x-a+b）？圳f（x）=f（x+b-a），所以（3）也具有周期性，周期為b-a。

分析不難發現，周期性具有“函數括號內差為定值”的特性，故得出“函數括號內差為定”則有周期性。

三、對稱性，周期性和奇偶性的綜合應用

定理1：若函數f（x）在R上滿足f（a+x）=f（a-x），且f（b+x）=f（b-x）（其中a≠b），則函數y=f（x）以2（a-b）為周期。

定理2：若函數f（x）在R上滿足f（a+x）=f（a-x），且周期為T，則函數y=f（x）關于x=■，x=a+T也對稱。

定理3：若函數f（x）在R上滿足f（x+T）=f（x），且f（-x）=f（x），則函數y=f（x）關于x=■對稱。

綜上所述，定義在R上的函數y=f（x）在對稱性、周期性和奇偶性這三條性質中，只要有兩條存在，則第三條一定存在。

總之，靈活應用函數的這三個性質，對學生邏輯思維能力、想象力以及函數知識靈活運用的能力的提升有很重要的作用。